精品解析：甘肃白银市2026年九年级数学质量监测试卷

九年级数学质量监测试卷 考生注意： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟． 2.请将答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分．） 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得， 数轴表示如下所示： 2. 多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】二次三项式即多项式的最高次项的次数为2，且多项式含3个非零项，据此列条件计算即可． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， ∴， 解得． 3. 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：． 4. 直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线a上一点到圆心O的距离等于半径， ∴圆心O到直线a的距离小于或等于半径， ∴直线a与⊙O的位置关系是相切或相交. 故选D． 5. 如图，，是的平分线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，结合角平分线求得，再根据平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴． 7. 如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，作于点，作于点，在中，解三角形求得，，再利用勾股定理求得，由等腰三角形的性质求得，再解直角三角形即可求解． 【详解】解：连接，作于点，作于点， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴，， 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，C为的中点， ∴，， ∴， ∴． 8. 如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图 2，设，过点作于，连接，根据垂径定理得到，再利用几何概率的求法得到，则，接着利用勾股定理，在中有，在中有，所以，则，于是可表示出，然后根据几何概率的求法计算区域的面积与整个面积的比即可； 【详解】解：如图 2，设， 过点作于，连接，则， ， ， 整理得， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， 在中，， 在中，， ． 9. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质和已知条件，证明，利用“割补法”，用大三角形的面积减去三个全等小三角形的面积，得到的面积关于的函数解析式．根据二次函数的解析式，分析其开口方向、对称轴及顶点坐标，从而确定函数图象． 【详解】是等边三角形， ，， ， ，，， ． 在、和中， ， ， ． 过作于点， 在中，，， ， ， ， ， 二次项系数， 函数图象开口向上， 对称轴为直线， 当时，取得最小值， ． 当或时，． 综上所述，函数图象为开口向上的抛物线，且经过和，观察选项，只有B选项符合． 10. 已知二次函数的图象过点和，且与直线交于两点，其横坐标分别为，，且，则有下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④对于任意实数m，有．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二次函数与x轴的交点确定对称轴，写出函数表达式，再结合交点横坐标差求出a的值，最后逐一判断结论即可． 【详解】∵二次函数 过点 和 ∴对称轴为， 可设函数为 ， 得 ，， 将代入函数得 ， ∴，， ∵， ∴ 平方得 ， 解得 ，开口向下， 逐一判断结论： ① ，故①错误； ② ， ∵，∴ ，故②正确； ③ ∵，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小，故③正确； ④∵，开口向下，对称轴为， ∴当时，，当时，函数值随的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， ∴不等式不成立，故④错误． 综上，正确结论共2个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 【答案】36 【解析】 【分析】利用m是方程的一个根，求得，将原式整理得到，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴，即， ∴ ． 12. 已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 【答案】或 【解析】 【分析】分当在上时， 当在上时，不符合题意，当在上时，当在上时，不符合题意，再进一步分析求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在长方形中，，， ∴，，， ∵， ∴， 当在上时，， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 当在上时，如图， ∴， 当和相似， ∴或， ∴或， 解得：（舍去）或（经检验符合题意）， 当在上时，不符合题意， 综上：t的值为或． 13. 如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据角度关系证明，确定点在以为直径的圆上运动；然后根据点圆模型确定最大时三点共线；过点作于点，证明，，求出，,再求． 【详解】解：∵四边形是矩形 ， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆上运动 ∴设的中点为，则为圆心， ∴， 当B，O，Q三点共线，且在延长线上时，取得最大值， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 过点作于点，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 14. 若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为小正方形的边长的2倍，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，设直角三角形的较短直角边长为，则可表示出较长直角边，由勾股定理可表示出直角三角形的斜边的平方，求得的关系，表示出及即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，设直角三角形的较短直角边长为，则较长直角边为， 由勾股定理得直角三角形的斜边平方为， 由题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， ∴， ∵，， ∴． 16. 如图，点是等边三角形边上一动点（与点、点不重合），连接，把绕点逆时针方向旋转到，连接交于点，，点是中点，连接，则线段的长度最小时，的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，结合等边三角形的性质证明，从而得出，，确定点的运动轨迹，根据垂线段最短可知当时最小，在中利用含角的直角三角形性质求出的长，进而得出的长． 【详解】解：如图，连接， 由旋转的性质可知，， ∵是等边三角形， ∴，， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点在射线上运动， ∵点是中点，， ∴，， 当时，线段的长度最小，如图， 在中，， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度最小时，的长为． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 化简：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 19. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为：． 20. 下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在内部任取一点； ②以点为圆心，长为半径画圆，分别交射线于点； ③连接，分别以点为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点（点在两侧）； ④作射线，交于点，作射线． 所以射线就是所求作的射线． 根据小智设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接． ， 点在的垂直平分线上． ，即． ___________（___________）（填推理的依据）． ___________． 是的角平分线． 【答案】（1） 如图所示；射线即为所求； （2） 证明：连接，，，． ，， 点，在的垂直平分线上． ，即． （垂径定理）（填推理的依据）． ． 是的角平分线， 【解析】 【分析】本题是考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，垂径定理，角平分线的定义，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意作出图形即可； （2）连接，，，．根据线段垂直平分线的判定定理得到点，在的垂直平分线上．求得，即．根据垂径定理得到，再由同弧或等弧所对圆周角相等得出，最后根据角平分线的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 一个不透明的布袋中装有6个只有颜色不同的球，其中1个黄球、3个蓝球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率；（要求画树状图或列表） （2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）画出树状图得到所有等可能性的结果，再得出两次摸出的球恰好都是红球的结果数，最后根据概率公式求解即可； （2）摸到黄球的概率等于黄球的个数除以球的总数，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，共有30种等可能性的结果数，其中两次摸出的球恰好都是红球的结果数有2种， ∴两次摸出的球恰好都是红球的概率为； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 22. 如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，且时，操作平台G到l的距离为米，求的值．（注：） 【答案】 【解析】 【分析】过点G作于点H，过点F分别作于点M，交于点P，于点N，解得到，证明四边形和四边形都是矩形，得到米，， 则米；证明；解得到米，则米，据此可得，可证明，据此可得答案． 【详解】解：如图，过点G作于点H，过点F分别作于点M，交于点P，于点N， 则， 在中，，， ∴米； ∵四边形为矩形，点B，C在地面l上， ∴，， ∴， ∴四边形和四边形都是矩形， ∴，， ∵转动点E到l的距离为2米， ∴米， ∴米； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； 在中，米， ∴， ∴米， ∵操作平台G到l的距离为米， ∴米， ∴， ∴； ∵，且， ∴， ∴． 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下： 调查问卷 2025年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他 崇拜偶像人数统计表 偶像类型 人数 百分比 A．娱乐明星 15 B．英雄人物 12 C．科学家 D．其他 崇拜偶像人数统计图 （1）请补全统计表和条形统计图并填空______； （2）若该校共有1800名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？ （3）请你针对中学生崇拜偶像问题，提出积极的合理化的建议． 【答案】（1）补全统计图和统计表如下： 偶像类型 人数 百分比 A．娱乐明星 15 B．英雄人物 12 C．科学家 24 D．其他 9 （2）1080人 （3）帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家 【解析】 【分析】（1）用A的人数除以A所占百分比可得样本容量，进而求出B的人数占比和C的人数，再求出C的人数后补全统计图和统计表，并求出n即可； （2）用总人数乘样本中崇拜英雄人物和科学家所占百分比之和即可； （3）围绕所统计的条形统计图给出合理化建议． 【小问1详解】 解：人， ∴参与调查的人数为60人， ∴选择B．英雄人物的人数占比为， ∴选择C．科学家的人数占比为， ∴选择C．科学家的人数为人，； 补全统计图和统计表略 【小问2详解】 解：人， 答：崇拜英雄人物和科学家的共约1080人； 【小问3详解】 解：由统计图可知，崇拜英雄人物的比例比崇拜娱乐明星的比例还低，学校要帮助学生树立正确的人生观和价值观，让更多的学生崇拜英雄人物和科学家． 24. 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出点A的坐标得到，的长，解直角三角形求出的长，则可求出点M的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点N的坐标，连接，根据，得到，则当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵轴， ∴点M的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 把点M的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 25. 如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，则， ， 于点， ， ，，且， ， ， 是的半径，且， 是的切线． （2）的长是 【解析】 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、切线的判定定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，则，所以，由，，且，得，则，即可证明是的切线； （2）作于点，则，所以，则，由，求得，则，所以，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点，则， ， ， ， 的半径为5， ， ， ， ， ， ， 的长是． 26. 综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形变换中的数学结论．如图，在矩形中，，．点G在边上，将沿折叠，点C的对应点为H，连接． 【猜想证明】 （1）若先将矩形对折得到折痕，再展开，点H刚好落在折痕上． ①如图1，请判断是什么特殊的三角形，并说明理由． ②如图2，若与的交点为M，连接，交于点N，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若先将矩形对折两次得到三条折痕，再展开，点H刚好落在最上面一条折痕上，请你直接写出的面积． 【答案】（1）①是等边三角形，理由如下： ∵矩形，，，沿折叠，点C的对应点为H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； ②，理由如下： 由①得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图所示： 由①得是等边三角形， 同理是等边三角形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， 由①得，， 同理得：， ∴， ∴， ∴； （2）的面积为． 【解析】 【分析】题目主要考查矩形与折叠，解三角形，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． （1）①根据矩形及折叠的性质得出，再由各边长及三角函数得出，确定，得出，再由等边三角形的判定即可证明； ②由①得：，，利用相似三角形的判定和性质得出，确定，连接，再利用菱形的判定和性质得出四边形为菱形，，结合等边三角形的判定和性质证明即可； （2）过点H作，根据折叠的性质得出，再由相似三角形的判定和性质得出，，得出，结合图形求面积即可． 【详解】解：（1）①略 ②略 （2）过点H作，如图所示： ∵矩形，，，折叠， ∴， ∴， 根据题意得四边形为矩形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为：． 27. 抛物线过点，点，顶点为C，与y轴相交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，求出的面积范围； （3）连接，过点P作于点M，且，求此时M点坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （）直线解析式为，过点作轴交于点，点，则点，，进而根据，得到，据此根据二次函数的性质求解即可； （3）解直角三角形得到，设交轴于点，延长交轴于点，连接，过点作轴于点，求出，，则可证明，得到；证明点为的中点．得到，则可证明；解直角三角形求出，，则；求出直线的解析式为．联立，解得或，则；过点M和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T，证明，推出，证明，推出，则；证明，推出，则． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，点， ， 解得． 抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的表达式为，则， ∴ 直线解析式为； 如图所示，过点作轴交于点， 设点，则点， ∴， ∴ ， ∵，， ∴当时，有最大值，最大值为，当时，随m的增大而增大，当时，随m的增大而减小， 当时，， 当时，， ∴当时，； 【小问3详解】 解：在中， ， 设交轴于点，延长交轴于点，连接，过点作轴于点， ∵， ， ∴， ， ∴， ∴ ， 在中，， ， ， ； ，， ， ∴， ∴点为的中点． ∴， ∴； 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得． ∴直线的解析式为． 联立，解得或 ∴； 如图所示，过点M和点P分别作x轴的垂线，垂足分别为S，T， ∴； ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∴； 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学质量监测试卷 考生注意： 1.全卷满分150分，考试时间120分钟． 2.请将答案写在答题卡上，否则不给分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分．） 1. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 多项式是关于x的二次三项式，则m的值是（ ） A. B. C. 2 D. 2或 3. 如图，这是某绿色植物的细胞结构图，该绿色植物细胞的直径约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 5. 如图，，是的平分线，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图（1），一只圆形平盘被同心圆划成M，N，S三个区域，随机向平盘中撒一把豆子，计算落在M，N，S三个区域的豆子数的比．多次重复这个试验，发现落入三个区域的豆子数的比显示出一定的稳定性，总在三个区域的面积之比附近摆动．如图（2）将一根筷子放在该盘中位置，发现三个圆弧刚好将五等分．我们把豆子落入三个区域的概率分别记作，，，已知，则等于（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形的三边上，分别取点D、E、F，使．若，，四边形的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象过点和，且与直线交于两点，其横坐标分别为，，且，则有下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而减小；④对于任意实数m，有．其中结论正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 如果m是方程的一个根，那么代数式的值为______． 12. 已知：如图，在长方形中，，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿运动，当再运动到点A时静止．设点P的运动时间为t秒，当t的值为______秒时，和相似． 13. 如图，在矩形中，，，点P在的延长线上，点Q在直线上，连接，，若，则取最大值时，______． 14. 若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 15. 如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为小正方形的边长的2倍，则的值为______． 16. 如图，点是等边三角形边上一动点（与点、点不重合），连接，把绕点逆时针方向旋转到，连接交于点，，点是中点，连接，则线段的长度最小时，的长为______． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：，其中． 19. 解不等式组：． 20. 下面是小智设计的“作一个锐角的角平分线”的尺规作图过程． 已知：锐角． 求作：射线，使得平分． 作法：如图， ①在内部任取一点； ②以点为圆心，长为半径画圆，分别交射线于点； ③连接，分别以点为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧交于点（点在两侧）； ④作射线，交于点，作射线． 所以射线就是所求作的射线． 根据小智设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明． 证明：连接． ， 点在的垂直平分线上． ，即． ___________（___________）（填推理的依据）． ___________． 是的角平分线． 21. 一个不透明的布袋中装有6个只有颜色不同的球，其中1个黄球、3个蓝球、2个红球． （1）任意摸出1个球，记下颜色后不放回，再任意摸出1个球，求两次摸出的球恰好都是红球的概率；（要求画树状图或列表） （2）现再将n个黄球放入布袋，搅匀后，使任意摸出1个球是黄球的概率为，求n的值． 22. 如图1是一辆高空作业升降车在某次工作时的实景图，图2是它的示意图．已知点A，B，C，D，E，F，G在同一平面内，四边形为矩形，点B，C在地面l上，，是可以伸缩的起重臂，转动点E到l的距离为2米．当米，米，且时，操作平台G到l的距离为米，求的值．（注：） 四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 某校为了解学生对偶像崇拜的情况，从本校学生中随机抽取60名学生，进行问卷调查，并将调查结果收集整理如下： 调查问卷 2025年6月 你崇拜的偶像是（ ）（单选） A．娱乐明星 B．英雄人物 C．科学家 D．其他 崇拜偶像人数统计表 偶像类型 人数 百分比 A．娱乐明星 15 B．英雄人物 12 C．科学家 D．其他 崇拜偶像人数统计图 （1）请补全统计表和条形统计图并填空______； （2）若该校共有1800名学生，其中崇拜英雄人物和科学家的共约多少人？ （3）请你针对中学生崇拜偶像问题，提出积极的合理化的建议． 24. 如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． （1）求反比例函数的表达式； （2）点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，是的弦，直径，垂足为点，为上的一点，连接，交线段于点，作，交延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径为5，，求的长． 26. 综合与探究 【问题背景】 活动课上，同学们以矩形为背景，探究图形变换中的数学结论．如图，在矩形中，，．点G在边上，将沿折叠，点C的对应点为H，连接． 【猜想证明】 （1）若先将矩形对折得到折痕，再展开，点H刚好落在折痕上． ①如图1，请判断是什么特殊的三角形，并说明理由． ②如图2，若与的交点为M，连接，交于点N，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】 （2）如图3，若先将矩形对折两次得到三条折痕，再展开，点H刚好落在最上面一条折痕上，请你直接写出的面积． 27. 抛物线过点，点，顶点为C，与y轴相交于点D，点P是该抛物线上一动点，设点P的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，连接，求出的面积范围； （3）连接，过点P作于点M，且，求此时M点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $