命题大赛 期末练习题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高中数学期末试卷以核心素养为导向，融合数学史（如牛顿三叉戟函数）与空间几何等情境，设置选择、填空、解答题梯度，考查集合、复数、导数等知识，注重推理能力与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题|集合运算、复数模、充分条件|基础巩固，如第3题考查充分不必要条件，体现推理意识| |填空题|3题|解三角形、向量数量积、线面角|能力提升，如14题结合三棱锥线面角，考查空间观念| |解答题|5题|向量运算、函数图像、立体几何、导数应用|创新应用，19题以牛顿三叉戟函数为背景，融合导数与方程根问题，培养数学语言表达与创新意识|

一、选择题 1.已知集合={}，B={}，则= .{1,2,3,4} B.{1,2} C.{2,3,4} D.{3,4,5} 2.已知复数()z=,则|z|= A.5 B. C.2 D. 3.“x＞y”的一个充分不必要条件是 A. B C. D. 4.已知a=log23，b=lg()，c=，则 A.a＜b＜c B.b＜a＜c C.c＜a＜b D.b＜c＜a 5.如图，已知单位圆B的圆周上有一点C，∠ABC=，C绕点B逆时针旋转α弧度后位于劣弧AE内，且到线段AB的距离是，则= A. B. C. D. 6.已知向量，则在上的投影向量是 A. B. C. D. 7.已知三棱锥的每条棱长度都是，且四个顶点都在球的表面上，则球的表面积是 A. B.2 C.3 D. 8.已知函数满足，，且当时，，且当6＜＜＜9时，，则= A.-1 B.0 C. D.1 二、选择题 9.已知正数，满足，则 A. B. C.≥3+2 D. 10.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是等边三角形，且平面⊥平面，，分别是△和△的重心（中线的交点），则 A.，是异面直线 B.四棱锥的体积是 C.到平面的距离为 D.二面角的正切值是 11.已知函数且在区间(,)上有且仅有一个最大值和一个最小值，则 A.= B.是图象的一个对称中心 C.在区间[0,1]上的值域是[] D.若=,的最小值为，则 三、填空题 12.已知△中，角、、的对边分别是、、，满足，，，则 . 13.如图，在直角△中，=，=3，=4，是的中点，，则 . 14.如图，在三棱锥中，，，⊥平面，∠=120°，，分别是，的中点，则直线与平面所成角的正弦值是 . 4、 解答题 15.已知向量||3，||4，. 求||；若向量与垂直，求的值. 16.如图，已知△中，内角的对边分别是，△的面积. 求角的大小；若，，是上一点，，，求. 17.已知函数的部分图象如图所示. 求函数的解析式； 方程在区间[]只有一个实数解，求的取值范围. 18.如图，已知四棱锥中，底面是菱形，是菱形的中心，，，是上的动点，，是，的中点. 证明：平面⊥平面； 证明：∥平面； 若菱形的边长是2，°，二面角的余弦值为，求四棱锥的体积. 19.历史上，英国物理学家、数学家、天文学家牛顿是率先对三次方程进行系统研究的人，他详细研究了方程，该方程可化为函数，牛顿还描述了该函数的图象特征：该函数图象以轴、和的图象作为渐近线，而轴是趋向于相反部分的渐近线。牛顿形象地把此类函数命名为三叉戟函数。事实上，把这类函数推广成一般形式为： ，该函数是以轴、、为渐近线。如：的图象如图所示：当时，取得最小值. 求函数的零点； 已知函数， 当时，方程有三个不等的实数根，求的取值范围； 当时，对于任意的，总存在，使得≥成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 考查知识点 考查方法 分值 能力要求 预估难度 了解 理解 掌握 1 选择题 集合 集合的交并补运算 5 √ 0.9 2 选择题 复数 复数的乘除法与模运算 5 √ 0.8 3 选择题 简易逻辑 充分条件与必要条件 5 √ 0.7 4 选择题 指数与对数运算 比较指数、对数大小 5 √ 0.7 5 选择题 三角函数的定义 利用三角函数的定义求值 5 √ 0.7 6 选择题 投影向量 给定三角形求投影向量 5 √ 0.6 7 选择题 空间几何体的表面积体积 求外接球的表面积 5 √ 0.5 8 选择题 函数的三大性质与三角函数 给定周期、对称性求值 5 √ 0.4 9 选择题 基本不等式 给定等式，判断不等式 6 √ 0.6 10 选择题 立体几何 四棱锥中的求值问题 6 √ 0.45 11 选择题 三角函数 给定解析式，判断性质 6 √ 0.2 12 填空题 解三角形 利用余弦定理求边 5 √ 0.8 13 填空题 向量数量积运算 给定向量求数量积 5 √ 0.7 14 填空题 立体几何 求线面角 5 √ 0.35 15 解答题 向量 求平行、垂直、夹角 15 √ 0.8 16 解答题 解三角形 给定几何图形求边角面积 15 √ 0.7 17 解答题 三角函数 给定函数图像求解析式值域 15 √ 0.5 18 解答题 立体几何 证明平行垂直，求角，高，体积 15 √ 0.45 19 解答题 综合创新 对勾函数 17 √ 0.2 $ 1、 选择题 1、C 2、B 3、A 4、D 5、A 6、D 7、C 8、B 二、选择题 9、ACD 10、BC 11、BC 三、填空题 12、5 13、 14、 4、 解答题 15、（1）∵=²，||3，||4 ∴，∴|| （2）∵，∴ ∴19，∴ 16、（1）∵，∴，∵ ∴ （2）∵，，，∴由余弦定理：，又 ∵，∴，∴ 17、（1）由图可知，，∴，∴，又， ∴，∴，又，∴ ∴ （2）令，当时，，则，∴的充要条 件是，在内只有一个实数解， ∵在上单调递增，在上单调递减，∴当时，使得 仅有一个实数解，又∵，，，，∴ 18、（1）略 （2）略 （3）作PH⊥CD于H，交FG于M，连接OM，OH，则OH⊥CD，易证得二面角的平面角是∠MOH，作MN⊥OH于N，∵F，G是PC，PD的中点，∴M是PH的中点，易证得MN∥PO，∴PO=2MN，∴cos∠MOH=，∴tan∠MOH=，又OH= ∴ON= 19、（1）令，解得，∴的零点是； （2）当时，，∴，∵有三个不相等的实数根，∴的图象有三个不同的交点，又当时，取得最小值，结合图像可知，当＞，即0＜＜时，的图象有三个不同的交点，∴的取值范围是； 当时，≥对任意的，总存在成立，则≥， 令，当，单调递减，当，单调递增，∴当时，∈， ∴任意的，总存在成立，使得≥成立，可以转化为：任意的，总存在成立，使得≥成立， 又时，单调递增，∴的最小值为4， ∴存在成立，使得≥成立，即成立 ∴，又∵，在上单调递增，在上单调递减，∴当时，，∴ ∴的取值范围是 学科网（北京）股份有限公司 $