精品解析：黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试题

大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试 数 学 出题：李万英 审题：张庆文 2026.4 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求出复数，再根据纯虚数和共轭复数概念，复数的模长公式逐项判断即可. 【详解】复数在复平面上对应的点为， A选项，由复数的几何意义可知，，A错误； B选项，，B错误； C选项，，C错误； D选项，，则是纯虚数，D正确. 故选：D. 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件结合任意角的三角函数的定义求出，然后代入计算即可. 【详解】因为角的终边过点， 所以， 所以， 故选：B 3. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，，再根据求解即可. 【详解】连接，如图所示： 因为分别为的中点， 所以， ， 因为为中点， 所以. 故选：C 4. 若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由三角形面积公式求出 ，再根据锐角三角形确定 ，进而求出 ．然后利用余弦定理求出 ，最后由正弦定理 求外接圆半径． 【详解】因为锐角 的面积为 ，且 ，，所以由三角形面积公式可得 将 ， 代入，得. 所以，即. 因为 是锐角三角形，所以，从而. 由余弦定理，得 . 代入 ，，，得 . 因此. 设 外接圆的半径为 ． 由正弦定理可得. 所以，故. 5. 已知的三个顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用和平面向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形， 所以，即， 所以， 即， 所以的坐标为. 故选：D 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件可得出关于、的值，结合两角差的正弦公式可求出的值. 【详解】由题意可得，解得， 因此. 故选：B. 7. 在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点，可得在直线，最小值即为到直线的距离，据此计算可得最小值. 【详解】作出示意如图所示：取的中点， 则，又，所以， 又，所以在直线上， 所以的最小值为到直线的距离，即， 因为，所以，且，所以， 所以，所以的最小值为. 故选：C. 8. 函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出取最大值时的所有的解，再解不等式，由解的个数决定出的取值范围． 【详解】设，所以，解得 ， 所以满足的值恰好只有5个， 所以的取值可能为0,1,2,3,4，由 ，故选C． 【点睛】本题主要考查正弦函数的最值以及不等式的解法，意在考查学生的数学运算能力． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 在复面内对应的点位于第一象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数代数形式的加减法运算求出、，再根据各选项分别求解判断选项正确性. 【详解】由题意得，所以. 对于A，，故A正确； 对于B，，故B不正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 一定可以作为一个基底 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数使得 D. 的夹角的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得. 【详解】对A：若，即，即，此时不能作基底，故A错误； 对B：， 故有最小值，故B正确； 对C：若，则有 即，即，即， 解得，即当时，，故C正确； 对D：由A知，若，则，即只能同向不能反向， 故的夹角不可能为，故D错误. 故选：BC. 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列； 对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值； 对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解． 【详解】由正弦定理可得． 设 ， 解得的周长为，故A正确； 由余弦定理得，， 故B正确； 由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确； 由中线定理得，即， ，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，且，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据复数运算及复数相等得出参数值，最后计算即可求解. 【详解】由，则， 所以，解得， 所以． 故答案为：2. 13. 如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________． 【答案】 【解析】 【详解】以为轴，建立直角坐标系，则，由的模为与与的夹角为，且知， ，可得，，由可得，，故答案为. 【 方法点睛】本题主要考查向量的坐标运算及两角和的余弦公式、同角三角函数之间的关系，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答，这种方法在求范围与最值问题时用起来更方便． 14. 已知的三个内角的对应边分别为，且．则使得成立的实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由三角形的面积公式和余弦定理以及两角和的正弦公式可得，再根据正弦定理可得，即可得到，由正弦函数的性质和基本不等式即可求出范围. 【详解】解：由三角形的面积公式可得，即 由余弦定理可得， ∴， ∴ ∵， 由正弦定理可得， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∵，当且仅当时取等号， ∴， ∴， 综上所述m的取值范围为， 故答案为. 【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理和三角形的面积公式以及基本不等式和正弦函数的图象和性质，考查了学生的转化能力和运算能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义计算可得； （2）利用诱导公式化简，再将（1）中的结论代入计算可得； 【小问1详解】 解：因为角的终边上点，又， 所以，，所以； 【小问2详解】 解： 16. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角. 【答案】（1）或. （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量线性运算的坐标表示和数量积的坐标表示列出方程，解方程即可； （2）根据共线向量的坐标表示列出方程，解之可得，结合数量积的定义计算即可求解. 【小问1详解】 已知， 所以. 又因为，所以有， 所以，解得或. 【小问2详解】 因为，所以. 又，所以， 解得，所以. 所以， 因为，所以. 17. 设平面向量，，函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若锐角满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简得到，再利用三角函数的性质求解； （2）由已知可得，进而得到，再利用诱导公式可得，进而利用二倍角的正弦公式可求解. 【小问1详解】 ， 由，得，故. 【小问2详解】 ，为锐角，所以， ． . 18. 已知，，分别是的内角，，的对边，． （1）求角； （2）若是锐角三角形，，，求的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用正弦定理可得，进而可求得，可求得角； （2）利用三角恒等变换和同角三角函数间的关系可求得，利用正弦定理可求得，可求的面积． 【小问1详解】 ， ， ， 由正弦定理得，，， ，． 【小问2详解】 ，， ， ， 由正弦定理知，，， ． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角B的大小； （2）若，，点D满足，求△ABD的面积； （3）若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理，进行边角互化得，再利用余弦定理可求得，从而可求出角， （2）由余弦定理求出，再根据向量的线性运算可得,根据三角形的面积公式可求得答案， （3）由已知和余弦定理可得三角形为等边三角形，再运用向量的数量积运算可求得的范围 【小问1详解】 法一：因为， 所以根据正弦定理得： ， ， 所以， 所以， 根据正弦定理，得.即， 根据余弦定理，得， 因为，所以， 法二：因为， 所以根据正弦定理，得， 根据余弦定理，得， 即， 根据余弦定理，得， 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理，得， 所以，即， 所以，因为，所以， 因为， 所以， 所以△ABC的面积为； 【小问3详解】 ∵，， ∴，即，由余弦定理得， 所以，即， 故是等边三角形， 所以， ∴，， ∴，， 设AB的中点为D，则 ∴ ， ∵， ∴， ∴的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆铁人中学2025级高一年级下学期第一次阶段考试 数 学 出题：李万英 审题：张庆文 2026.4 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚. 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效. 4．保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数在复平面上对应的点为，则（ ） A. B. C. D. 是纯虚数 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在矩形中，分别为的中点，为中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若锐角的面积为，且，，则外接圆的半径是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的三个顶点，则顶点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，动点满足，且，若为的中点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，当上恰好取得5个最大值，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，满足，，则（ ） A. B. C. D. 在复面内对应的点位于第一象限 10. 已知平面向量，则下列说法正确的有（ ） A. 一定可以作为一个基底 B. 一定有最小值 C. 一定存在一个实数使得 D. 的夹角的取值范围是 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，且，则__________． 13. 如图，在同一个平面内，向量的模分别为与的夹角为，且与的夹角为，若，则_________． 14. 已知的三个内角的对应边分别为，且．则使得成立的实数m的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知向量. （1）若，求实数的值； （2）若，求向量与的夹角. 17. 设平面向量，，函数． （1）当时，求函数的最小值； （2）若锐角满足，求的值． 18. 已知，，分别是的内角，，的对边，． （1）求角； （2）若是锐角三角形，，，求的面积． 19. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 （1）求角B的大小； （2）若，，点D满足，求△ABD的面积； （3）若，且△ABC的外接圆半径为2，圆心为O，P为⊙O上的一动点，试求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $