2026年上海市高考数学模拟卷3

**基本信息** 2026年上海高考数学模拟卷三，通过集合运算、函数定义域等基础题，“广义坐标系”新定义题，及《红楼梦》知识竞赛统计分析综合题，考查数学眼光、思维与语言，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|含集合、复数、导数驻点等，如7题导数驻点考查运算能力|梯度分布，12题长方体轨迹问题体现空间观念| |选择题|4/18|含不等式性质、新定义“广义坐标系”，如15题新定义考查抽象能力|创新情境，16题函数关联区间考查推理意识| |解答题|5/78|含立体几何面面垂直、统计直方图（《红楼梦》竞赛）等，如19题统计分析体现数据观念|综合应用，21题导数不等式恒成立考查数学思维与模型意识|

2026年上海市高考数学模拟卷三 一、填空题（本大题共12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1.已知集合，，则可用列举法表示为　　 . 2.函数的定义域是　　 . 3.已知为虚数单位，，若，则　　 . 4.已知，且　　 . 5.若一元二次不等式的解集是，则　 　. 6.已知，，则　　 . 7.设，，若是函数的一个驻点，则　　. 8.已知椭圆的左、右焦点分别为、，过右焦点的直线交于、两点，若，，则的值为　 　. 9.5个男生与3个女生排成一列，要求女生不相邻且不排在两端，不同的排法有　　 种. 10.已知，其中为虚数单位.从组合数中取出一个数记作，从展开式中项的系数中取出一个数记作.若的概率为　　 . 11.已知、、、是共面向量，和是两个互相垂直的单位向量，若，，则在方向上的数量投影的最大值为　 　. 12.在长方体中，，，为棱的中点，动点满足，则点的轨迹与长方体的侧面的交线长等于　 　. 二、选择题（本大题共4小题，满分18分，第13、14题各4分，第15、16题各5分） 13.对于任意实数、、，当 时，下列不等式总是成立的是（ ） A. B. C. D. 14.关于空间中不重合的两条直线，下列说法中错误的是（ ） A.这两条直线可能既共面，又共点 B.这两条直线可能共面但不共点 C.这两条直线可能共点但不共面 D.这两条直线可能既不共面，又不共点 15.我们把由平面内夹角成的两条数轴构成的坐标系，称为“广义坐标系”.如图所示，分别为正方向上的单位向量.若向量，则称有序实数对为向量的“广义坐标”，可记作， ，下面表述正确的个数（ ） （1）； （2）； （3）的充要条件是； A.0 B.1 C.2 D.3 16.对于函数，，若存在区间，使得对任意，都有，则称为函数的关联区间，区间长度为.已知，，给出以下两个命题： 命题①：当时，函数不存在区间长度为2的关联区间； 命题②：当时，函数存在无穷多个关联区间； 则下列选项中正确的是（ ） A.①、②均为真命题 B.①为真命题，②为假命题 C.①为假命题，②为真命题 D.①、②均为假命题 三、解答题（本大题共5题，满分78分） 17.（满分14分，第1小题6分，第2小题8分）如图所示，在四棱锥中，底面，四边形为直角梯形，其中，，，．点、、分别为线段、、的中点． （1）证明：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）已知． （1）若，求函数的单调区间； （2）若是函数的极小值点，求的取值范围． 19.（本题满分14分，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了“我知红楼“知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：、、、，并作出如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本数据的第62百分位数所在区间的组中值； （3）若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差． 20.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知椭圆，短轴长为2，左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于、两点，其中、分别在轴上方和下方，，，直线与直线交于点，直线与直线交于点． （1）若△的周长是，求椭圆的方程． （2）在（1）的条件下，定点在轴的负半轴，过的动直线交椭圆的于点、，以为直的圆恒过轴上方的定点，求点的坐标． （3）若，求实数的取值范围． 21.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）设，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若不等式恒成立，求的值； （3）若不存在不等式，点得不等式正位任意不等式恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由． 参考答案 一、填空题 1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.； 二、选择题 13.D；14.B；15.C；16.C； 三、解答题 17.（1）连接，交于点，连接， 由题意得，， 所以四边形是平行四边形，所以是的中点， 又是的中点，所以， 因为、分别为、的中点，所以， 又，、平面， ，、平面，所以平面平面． （2）因为底面，，所以、、两两垂直， 故以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，，所以， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 18（1）函数的定义域为， 导函数， 因为，因此在区间上恒成立， 所以当时，，严格减； 当时，，严格增； 所以的减区间为，增区间为． （2）由（1）得当，为函数的极大值点，不合题意； 下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意； 当时，，则在上严格减，在上严格增， 则为函数的极大值点，不合题意； 当时，，则在上严格减，在上严格增， 为函数的极小值点，符合题意； 综上，． 19（1）由题意得，解得； （2）因为， ， 所以样本数据的第62百分位数在内，从而其组中值为 75； （3）样本数据落在的个数为， 落在的个数为，， 方差 20.（1）由题意得，解得，则椭圆的方程为； （2）当斜率存在时，设过点的直线方程为， ，， 由得， 则△， 所以，， 易得，即， 此时， 因为，， 所以， 因为为任意实数，所以， 解得，，（满足△，即， 当直线的斜率不存在时，为椭圆的短轴，此时满足条件， 综上所述，点的坐标为； （3）易得点、分别为△，△的重心， 设，，设点，， 由重心性质及面积公式得， ， 而， 所以， 则，即，即， 设直线，由得， 所以，， 所以， 所以对任意的恒成立， 即，故实数的取值范围为． 21.（1）由题意得， 则曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为； （2）因为函数，， 所以，且． 当时恒成立，此时在上严格增， 故当时，，这与矛盾； 当时，令，解得， 所以在上严格减，在上严格增， 即，若，则，从而与矛盾； 所以； （3）由（2）得当时，，即， 所以，当且仅当时取等号，所以，． ， 即； 因为为整数，且对于任意正整数，成立， 当时，，所以的最小值为3． 学科网（北京）股份有限公司 $