第二十二章 函数【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十二章 函数【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+12个题型讲练+真题实战练 共51题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 用描点法画函数图象 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点二 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点三 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点四 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 用表格表示变量间的关系 【例1】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据下图，将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ … (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ (3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？ 【答案】(1)6.6，13 (2) (3)隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根 【思路引导】（1）根据图示规律列式计算即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：，化简即可； （3）当时，代入y与x之间的关系式，求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意可以计算： 当立柱根数为1时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为2时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为3时，护栏总长度为（米）， 当立柱根数为5时，护栏总长度为（米） 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 6.6 9.8 13 … （2）解：由题意得y与x之间的关系式为 （3）解：当时，， 解得， 答：隔离护栏总长度为477米时立柱的根数为150根． 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【思路引导】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 【变式2】（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【规范解答】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 题型讲练二 用关系式表示变量间的关系 【例2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合与实践 主题 2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案 信息1 为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台． 信息2 某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台． 信息3 采购完成后，设备供应商赠送n张（且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元． (1)探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价． (2)计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果） (3)确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案． 【答案】(1)智能签到终端单价为40元，AI翻译终端单价为80元 (2)购买AI翻译终端21台，购买智能签到终端19台 (3)张兑换券中4张换取AI翻译终端、3张换取智能签到终端 【思路引导】（1）根据购买智能签到终端的数量与购买AI翻译终端的数量关系，设智能签到终端的单价为x元，列出方程：，解方程，并验证结果是否符合题意，最终得到结果； （2）根据两款终端的采购数量与花费总额，设购买AI翻译终端x台，列出方程：，解方程，得到结果； （3）设张兑换券中张用于换取AI翻译终端，则张用于换取智能签到终端，列出方程．再结合，得到的取值范围，并验证的取值，得到最后结果． 【规范解答】（1）解：设智能签到终端的单价为x元，则AI翻译终端的单价为2x元． 由题意得： 解得，， 经检验：当时，分母， 是原方程的解． ∴智能签到终端单价为40元，AI翻译终端单价为80元． （2）解：设购买AI翻译终端x台，则购买智能签到终端台； 由题意得：， 解得：， 购买AI翻译终端21台，购买智能签到终端19台． （3）解：设张兑换券中张用于换取AI翻译终端，则张用于换取智能签到终端， 由换取后两款终端的总数量将达到相等，得到等式： 化简得：， 可得，只能是偶数， 且n为正整数， 是正整数，且为偶数， ． 验证得，，换取AI翻译终端4台，智能签到终端：台， 两种设备总数：， 总费用：， 符合题意的换取方案， 获赠 7张兑换券，4张用于换取AI翻译终端、其余3张换取智能签到终端． 【变式1】（25-26八年级下·山西·期中）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． (2)选择哪种方案更优惠？ 【答案】(1)； (2)当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 【思路引导】（1）根据两种方案分别列代数式即可； （2）结合（1）所得式子，列方程和不等式求解即可． 【规范解答】（1）解：由题意得，， （2）解：当时，则，解得， 当时，则，解得， 当时，则，解得， 答：当购买香菇脆大于60瓶时，选择方案二更优惠；当购买香菇脆等于60瓶时，选择方案一、二一样优惠；当购买香菇脆大于30瓶且小于60瓶时，选择方案一更优惠． 【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______． (2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况； (3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由． 【答案】(1)高； (2)；梯形的面积由变化到 (3)是， 【思路引导】（1）根据题目的已知条件即可判断； （2）根据梯形的面积公式可得面积与高之间函数关系式，再把和代入即可解答； （3）根据两直线平行，同旁内角互补即可得到关系式． 【规范解答】（1）解：在这个变化过程中，自变量是梯形的高； （2）解：由题意得：， 梯形的面积与高之间的关系式为：； 当时，， 当时，， 当梯形的高由变化到时，梯形的面积由变化到； （3）解：在梯形中，上底边和下底边平行， （两直线平行，同旁内角互补）， 即， y是x的函数，． 题型讲练三 用图象表示变量间的关系 【例3】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【思路引导】①根据长方形的面积公式判断即可得到答案； ②根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小判断即可； ③根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小判断即可． 【规范解答】解：用长度一定的绳子围成一个长方形，长方形的面积y与一边长x，长方形的长宽之间存在关系，可以用x表示另一边长，根据面积公式得到的不是一次函数，故①不符合题意； 汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故②符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x，y随x增大逐渐减小，并且减小的变化量相等，是一次函数，故③符合题意． 【变式1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【规范解答】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 【答案】(1)10，2，1 (2)点A代表甲乙相遇． 甲、乙第二次相距5个单位长度． (3)不能，理由见详解 【思路引导】（1）根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为，即可求出乙位置坐标，根据当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动，设乙的速度为∶v，则，解方程即可得出乙的速度．根据点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，根据甲的速度和时间即可得出c点的值． （2）根据（1）可知：点A代表甲乙相遇． 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度，列出关于t的一元一次方程求解即可． （3）分别计算出甲乙分别到达对方最初的位置的时间加上中间运动休息的时间比较即可得出答案． 【规范解答】（1）解：根据运动开始前，甲乙相距的距离为20 ，甲所在位置坐标为， ∴乙位置坐标为：， 根据关系图可知， 当时，甲乙第一次相距5个单位长度，甲停止运动， 设乙的速度为：v， 故， 解得：． 根据关系图可知点A代表甲乙相遇，则当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行， ， 故答案为：10，2，1 （2）解：根据（1）可知：点A代表甲乙相遇．且， 当甲、乙相遇时乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动1秒后，甲乙相距2个单位，然后甲、乙均保持之前的速度继续前行， 设后，甲、乙第二次相距5个单位长度， ， 解得：， 则， 即甲、乙第二次相距5个单位长度． （3）解：不能，理由如下： 甲到达乙的位置需要的时间：甲先走了，路程为，然后停止运动，还需要走， 则甲到达乙的位置一共需要， 乙到达甲的位置需要的时间：乙先走，路程为：，然后停止运动，还需要走， 则乙到达甲的位置一共需要， 则甲、乙不能同时到达对方最初的位置． 题型讲练四 函数的概念 【例4】（25-26八年级下·河南新乡·期中）老师让同学们举一个是的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个，其中一定是的函数有（　　） ① x 1 2 0 1 y 1 2 3 4 ②； ③（是常数）； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据函数的定义：在某一变化过程中有两个变量x和y，对于变量x的每一个值，变量y都有唯一确定的值与它对应，那么y就是x的函数．依次判断即可． 【规范解答】解：①从表格中可以看出，当时，则或4，有两个值和它对应，不符合函数的定义，故y不是x的函数； ②从图像上可以看出除原点外对于x的每一个值y都有两个值与它对应，故y不是x的函数； ③（是常数），对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，故y是x的函数． ④，对于x的每一个值，y都有唯一的一个值与它对应，故y是x的函数． 因此y是x的函数的有2个． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【答案】B 【思路引导】本题考查函数的定义，解题思路是根据函数定义判断每个关系式：若对于x的每一个确定值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，据此逐一判断即可． 【规范解答】① 可整理为 ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故①中y是x的函数； ② ，对任意x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故②中y是x的函数； ③ ，对任意不为0的x的确定值，y都有唯一确定的值对应， 故③中y是x的函数； ④，即 ，当x取正数值时，例如，可得或，一个x对应两个不同的y值，y不唯一， 故④中y不是x的函数； 因此y是x的函数的是①②③． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 【答案】(1)78，382 (2)①；②1902；③至少需要54张这样的纸 【思路引导】（1）根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加可求空格； （2）①张白纸粘合起来时，纸条长度()在的基础上增加了个的长度，依此可得与的关系式；②将代入①中的关系式中求解即可；③把代入②中的关系式中，列方程求得的值即可． 【规范解答】（1）解：根据图形可知每增加一张白纸，长度就增加， ；． ∴将表格补充完整如下： 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … （2）解：①根据题意和所给图形可得出： ， 即． ②令，则 ； 故答案为：1902． ③由，可得 解得． 答：至少需要张这样的纸． 题型讲练五 函数解析式 【例5】（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【思路引导】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【规范解答】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，，E为边上一点，，连接． (1)_______，_______； (2)动点P、Q从点A同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动． 当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设点运动的时间为，在运动过程中，点、经过的路线与线段围成的图形面积为，求y关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）由矩形的性质得，由勾股定理可求，由等腰三角形的性质即可求解； （2）①当时，，，过作交于，由勾股定理得可求出，即可求解；②当时，由即可求解． 【规范解答】（1）解：四边形是矩形， ， ， ()， ∵， ∴， ； （2）解：由（1）知， ，， ①如图，当时， ，， 过作交于， ， ∴， ， ， ， 解得：， ； ②如图，当时， ，， ， 过作交于， 由①同理可求， ， ； 综上所述：． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期中）一辆汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，已知该汽车平均耗油量为． (1)写出表示y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)若A，B两地相距，当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车是否会报警请说明理由． 【答案】(1)，自变量的取值范围为； (2)汽车会报警，理由见解析 【思路引导】（1）利用油箱中的油量总油量耗油量，进而得出函数关系式，再求出x的取值范围，即可得出答案； （2）根据当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，求出当油箱中油量等于时，汽车最多行驶的路程与地到地往返的路程进行比较即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得与的关系式为， ∵， ∴， ∴自变量的取值范围为； （2）解：汽车会报警，理由如下： 当时，则， 解得， ∴汽车行驶超过就会报警，而往返两地路程为， ∵， ∴汽车会报警． 题型讲练六 求自变量的取值范围 【例6】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【思路引导】根据二次根式有意义的条件，可知，根据分式有意义的条件，可知，解不等式可得自变量的取值范围． 【规范解答】解：有意义， ， 解得：且． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【答案】 / 【思路引导】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；根据已知列方程，再根据三角形三边的关系确定x的范围即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两边之和大于第三边， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：，． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 【答案】（1）；（2），，是变量，400是常量 【思路引导】（1）根据二次根式有意义的条件就是被开方数大于或等于，分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得答案； （2）根据常量是变化过程中保持不变的量，变化过程中变化的量是变量，可得答案． 【规范解答】解：（1）根据题意，得解得． （2），其中，是变量，400是常量． 【考点剖析】本题考查了函数中自变量有意义的条件，常量与变量，解决本题的关键是熟练掌握这些概念． 题型讲练七 求自变量的值或函数值 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，结合表格中的数据回答问题： 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … (1)设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式； (2)求时，图形的周长； (3)求时，梯形的个数． 【答案】(1)（为正整数）； (2) (3) 【思路引导】（1）根据题意，得时，；时，；时，，根据规律，求解即可； （2）根据函数值的计算求解即可； （3）根据表达式求自变量的值即可 【规范解答】（1）解：根据题意，得时，；时，；时，，根据规律，得（为正整数）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，，解得． 【变式1】如图所示的是小华利用“”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答下列问题 (1)完成下表： 图n 图1 图2 图3 图4 图5 … 的个数m 4 7 ______ ______ ______ … (2)写出m与n的函数关系式，并求当时，m的值． 【答案】(1)填表见解析 (2)，88 【思路引导】（1）观察图形变化特点逐个填写即可； （2）根据（1）图形的变化特点得出规律，即可得出关系式，然后代入求值即可． 【规范解答】（1）解： 根据题意填表如下： 图n 图1 图2 图3 图4 图5 的个数 4 7 10 13 16 （2）解：第1个图中正六边形的个数有4个； 第2个图中的个数有（个）； 第3个图中的个数有（个）； 第4个图中的个数有（个）； 第5个图中的个数有（个）； 第n个图中的个数有（个）． 当时，． 【变式2】（25-26八年级下·山东·课后作业）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 【答案】(1)一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米 (2)有种购买方案 (3) (4)选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算 【思路引导】（1）设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）根据这批机器人每小时刚好可以清洁平方米得出，求出正整数解即可； （3）由可得，即可得出； （4）根据正整数解，分别代入，求出的值，比较即可得答案． 【规范解答】（1）解：设一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米， 由题意，得， 解得：， ∴一台型机器人每小时清洁平方米，一台型机器人每小时清洁平方米． （2）解：∵这批机器人每小时刚好可以清洁平方米， ∴， ∵、均为正整数， ∴，或，或，， ∴有3种购买方案． （3）解：∵， ∴， ∵型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台， ∴． （4）解：当时，（万元）， 当时，（万元）， 当时，（万元）， ∵， ∴选择购买台型机器人和台型机器人的方案最合算． 题型讲练八 函数图象识别 【例8】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了函数图象的识别，由铁块露出水面越多浮力越小得出答案是解题的关键．分析整个铁块上升的过程，由此即可得出结论． 【规范解答】解：当铁块上面的面还在水中时，弹簧秤的读数不变； 当铁块上面的面浮出水面，下面的面还在水下时，随着铁块上浮，弹簧秤的读数逐渐变大； 当铁块下面的面浮出水面时，弹簧秤的读数不变． 根据弹簧秤的读数保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．得出函数的图象．选项中C的图像与描述一致． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【答案】(1)B； C (2)A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快 【思路引导】根据函数图象给出的信息解题即可． 【规范解答】（1）解：由题意知，情境中小明中途有停留，且再出发时速度加快，故所对应的图象是B； 情境中小芳有返回家中停留后再出发，故所对应的图象是C； （2） 解：A：小明骑自行车去书店，在书店读了一会书，又骑自行车回家，回家时他骑行的速度较快． 【变式2】德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下列说法不正确的是（    ） 研究表明：按艾宾浩斯记忆规律复习，一天后记忆留存率为，一周后保持 A．y是关于x的函数 B．D点的实际意义是学习后24小时，记忆留存率为 C．根据图象，在、、、四段中，段遗忘的速度最快 D．若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少 【答案】D 【思路引导】根据函数的概念，点的坐标的意义，函数的图象及题意所提供的信息进行分析即可． 【规范解答】解：A．因为对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是关于x的函数，故此选项不符合题意； B．点的实际意义是学习第小时，记忆留存率为，故此选项不符合题意； C．根据图象，在“、、、”四段中，段遗忘的速度最快，故此选项不符合题意； D．若不复习，一天后记忆留存率为，而按艾宾浩斯记忆规律复习，一天后记忆留存率为， ∵， ∴若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少，故此选项符合题意． 题型讲练九 用描点法画函数图象 【例9】（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)0 (2)见解析 (3)0，0； ； 【思路引导】（1）把代入即可求得； （2）先描点，再连线即可； （3）观察图象即可解决问题． 【规范解答】（1）解：当时，， ∴． （2）解：函数图象如图所示． （3）解：观察该函数图象： 当时，函数有最大值是0． 对于图象上两点，若，则． 对于函数，当时，的取值范围是． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下： 天数t … 24 25 26 27 28 29 30 波动值s … 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3   数学活动： (1)①根据表中数据，通过描点，连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象； ②观察函数图象，当时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？ 数学应用： (2)根据研究，当时处于情绪高潮期，心情愉快；当时处于情绪低潮期，心情烦躁；当时为临界日，心情平稳．若小海从出生到今天的天数为5501天．则今天他心情如何？ 【答案】(1)①见解析；②当时，；当s的值最大时， (2)心情愉快 【思路引导】（1）①根据所给表格数据结合已有图象利用描点作图方法完成作图即可； ②根据函数图象即可解答； （2）根据图象知，周期为28天，可得，即小海从出生到今天5501天时与时的s相等，当时，，以此即可解答． 【规范解答】（1）解：①补全该函数的图象如图所示， ②根据图象知当时，； 当s的值最大时，； （2）解：根据图象知，周期为28天， （天）， 小海从出生到今天5501天时与时的s相等， 当时，， 所以小海处于情绪高潮期，心情愉快． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为1号磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为2号锰酸锂电池在对应温度下的相对容量． （电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为__________时两款电池相对容量相同； (3)在__________下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)由于北方冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述1号、2号两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 (4)小林爸爸买车时应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车，理由见解析 【思路引导】（1）根据表格中的数据画图即可； （2）（3）根据表格中的数据可得答案； （4）根据函数图象可得答案． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由表格中的数据可得，在温度为时两款电池相对容量相同； （3）解：由表格中的数据可知，或下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； （4）解：小林爸爸买车时应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车，理由如下： 由函数图象可知，在温度较低时，1号磷酸铁锂电池的容量相对于2号锰酸锂电池的容量大，故考虑到续航持久性，应该选择配置1号磷酸铁锂电池的汽车． 题型讲练十 从函数的图象获取信息 【例10】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析，当时，随的增大而减小 (3)8 【思路引导】（1）分点在上，点在上，两种情况讨论即可； （2）根据（1）中结论描点画图即可； （3）根据函数图象结合题意即可解答． 【规范解答】（1）解：当点在上，即时，则， 即 ， 当点在上，即时，，则 ， 即 ， 综上所述，y与x之间的函数表达式为：； （2）解：如图： 观察函数图象可知， 当时，随的增大而减小； （3）解：观察图象可知，当点E运动到点A时，即时，， 故此时面积为8． 【变式1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； (2)从美术馆到姑妈家的速度为 ． (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【答案】(1)离开家的时间； 离开家的距离；小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； (2) (3)或 【思路引导】（1）根据因变量和自变量的定义，以及函数图象即可得到答案； （2）根据图象，用从美术馆到姑妈家的路程除以时间，即可求解， （3）由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻，结合函数图象根据路程等于速度乘以时间建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：上述过程中，自变量是离开家的时间，因变量是离开家的距离，点A的实际意义为小明和家人驾车小时后到达离家处的美术馆； （2）解：从美术馆到姑妈家的速度为； （3）解：由图象可知，在段和段，存在离家的距离为的时刻， 当在段时，根据题意得， 解得， 当在段时，根据题意得， 解得； 综上所述，当小明和家人离开家或时，他们离家的距离为． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 【答案】 ①②④ 【思路引导】先读懂函数图象，获取相关信息，再利用行程问题的数量关系进行计算，根据图象纵坐标的最大值判断①；根据速度路程时间计算小华的速度判断②；求出小华行驶米所需时间，结合出发时刻计算相遇时刻判断；计算小华跑步到达学校所需时间，推算到达时刻与小明比较判断． 【规范解答】解：由图象可知，路程的最大值为， 小明家和学校距离米，故①正确； 小华乘坐公共汽车的时间为（分钟）， 小华乘坐公共汽车的速度是（米/分），故②正确； 当时，小华行驶的时间为（分钟）， 小华在时出发，即后分钟，为， 相遇时刻为经过分钟，即，故③错误； 当小华跑步速度为米/分时， 所需时间为（分钟）， 小华出发时间不变，仍为， 小华到达学校时的值为， 由图象可知小明到达学校时的值为， 他们可以同时到达学校，故④正确. 综上所述，正确的有①②④． 题型讲练十一 动点问题的函数图象 【例11】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【思路引导】由图象上点知，且点在点时，的面积为12，连接交于点，则可求出和，利用勾股定理求出，得到． 【规范解答】解：如图1，连接交于点， 由图2知，当时，点与点重合，，的面积为12， 四边形是菱形， ，且，， ， ， ， ， ． 【变式1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】分三个部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，第三部分从纪念馆返回学校，得出每个部分y随x的变化情况，结合函数图象可得答案． 【规范解答】解：整个函数图象可以分为三部分：第一部分从学校出发前往纪念馆，此时y随x的增大而增大； 第二部分在纪念馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，此时y不发生变化； 第三部分从纪念馆返回学校，此时y随x的增大而减小，且变化的速度比第一部分的慢； ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意； 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 【答案】 【思路引导】本题考查动点的函数图象，勾股定理，由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，当点运动到时，此时，当点与点重合时，此时，即：，设点运动到时，，进而得到，，利用勾股定理列出方程求出的值，进而求出的值即可． 【规范解答】解：如图， 由图象可知，当点到达点时，此时点与点重合，当点在上运动时，点的位置始终保持不变，的值为的长，为定值，随着的增大逐渐减小，当点运动到时，此时，，当点与点重合时，此时，，即：； 设点运动到时，，则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， 故答案为：． 题型讲练十二 函数的三种表示方法 【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【答案】(1)； (2)当时，．实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【思路引导】（1）观察表格数据，判断水位与时间的函数类型（一次函数），利用待定系数法求解析式，再结合漏刻容积确定自变量取值范围； （2）将代入函数解析式求解t，并解释实际意义． 【规范解答】（1）解：由表格可知，与是一次函数关系，设解析式为． 当时，，代入得； 当时，，代入得，解得． ∴函数关系式为． 漏刻容积为，底面积为，则最大水位． 令，则， 解得：． 自变量的取值范围为． （2）解：当时，，解得． 实际意义：当计时时长为时，漏刻的水位高度为． 【考点剖析】本题考查了一次函数的实际应用，解题关键是通过表格判断函数类型，利用待定系数法求解析式，并结合实际场景确定自变量范围． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【答案】D 【思路引导】本题考查的是利用表格表示函数，根据表格信息逐一分析各选项即可． 【规范解答】解：由表格信息可得：箭尺读数y随供水时间x的增加而增加，正确，故A不符合题意； 由表格信息可得：当时，，每增加1小时，箭尺读数y增加， ∴箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为， ∴B正确，D错误，B不符合题意，D符合题意； 由可得： 当时，，C正确，不符合题意； 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据函数的概念：对于自变量的每一个值，因变量都有唯一的值与它对应，逐一判断即可解答． 【规范解答】解：表达式中，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，故是的函数，符合题意； 等边三角形的周长，故等边三角形的周长是边长的函数，符合题意； 由表格信息可得：对应的每一个值，都有唯一的值与之对应，故是的函数，符合题意； 如图中，对于的每一个取值，不是都有唯一的值与之对应，故不是的函数，不符合题意． 综上，正确的是． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【规范解答】解：由题意得，与的函数关系式为． 2．（25-26八年级下·北京·期中）下列图形中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】函数的定义是当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【规范解答】解：A选项：如下图所示， 当自变量取一个值时，有个与它相对应， 不能表示是的函数， 故A选项符合题意； B选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故B选项不符合题意； C选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故C选项不符合题意； D选项：当自变量取一个值时，有唯一一个因变量与它相对应， 能表示是的函数， 故D选项不符合题意． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 【答案】D 【规范解答】解：由表格得，鸭的质量每增加0.5千克，烤制时间增加20分， ∴当时，的值为． 4．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 【答案】B 【思路引导】通过分析图象中随的变化情况，确定点在不同边上的运动路程，从而求出矩形的边长，进而计算三角形的最大面积． 【规范解答】解：由图（2）可知，当时，随的增大而增大，此时点在上运动， ； 当时，保持不变，此时点在上运动， ； 四边形是矩形， ； 当点在上运动时，的底边不变，高为，此时面积最大， 的最大值为． 5．（25-26八年级下·重庆·期中）为了准备校园文化艺术节的舞台布置，小七需要完成一段背景墙的绘制．他先画了一段时间，后来因为要参加半期测试被迫停工几天．复工后，小七加快了绘制进度，最终按时完成了任务．下面能反映该工程尚未绘制的背景墙长度（米）与时间（天）的函数关系的大致图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】根据题意，图像先下降，中间有一段不变，然后再下降，且下降的速率大于第一段，据此进行判断即可. 【规范解答】解：由题意，尚未绘制的背景墙长度（米）与时间（天）的函数关系的大致图像是 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 【答案】 【思路引导】根据长方形的周长公式列出等式，整理即可得到与的关系式． 【规范解答】解：∵长方形的周长为， ∴ 整理得：． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为_________． 【答案】 【思路引导】根据活动方案，应付款等于加上超出元的部分的费用之和，列出函数关系式即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∵超过100元的部分按八折优惠， ∴． 8．（25-26八年级下·北京·期中）为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲，乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强； ②在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是_____． 【答案】 ② 【规范解答】解：①在这段时间内，甲企业图象比乙企业图象陡峭，甲企业污水治理能力比乙企业强，故①错误； ②在时刻，甲企业图象在乙企业图象上方，甲企业污水排放量比乙企业高，故②正确； ③在时刻，甲、乙两企业图象均在污水达标排放量虚线上方，均未达标，故③错误； ④在，，这三段时间中，甲企业图象在最陡峭，污水治理能力最强，故④错误． 9．（25-26八年级下·上海·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 【答案】①② 【思路引导】通过图像可得小明家距离学校1200米，小华家也是，得知距离时间即可算出速度． 【规范解答】解：①、由图可得小明家距离学校1200米， ②、小华从家到学校用时5分钟，距离为1200米路程除以时间可得速度，即米每分钟， ③、平均速度是路程除以总时间，为60米/分． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 【答案】/厘米 【思路引导】过点C作于点H，设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接，由函数图象得，点C到的距离是线段的长，进而求得，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理即可求解． 【规范解答】解：如图，过点C作于点H， 设运动3秒时点P运动到点D，运动5秒时运动到点E，连接， 由图2知，和时的函数值都为4，即，当时，函数值最小，即点C到的距离为线段的长， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，． 即点C到的距离是． 11．（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据题意列出解析式即可； （2）代数求值即可． 【规范解答】（1）解：设矩形的一边为，则另一边长为 y关于x的函数关系式为； （2）解：将代入得， ， ∴所围苗圃的面积是． 12．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 【答案】(1) (2)7个 【思路引导】（1）根据表格中n和l的变化规律即可得解； （2）令，解方程，求出n即可得解． 【规范解答】（1）解：由上表可以看出， 钩码的个数n每增加1个，弹簧长度l增加5毫米， ； （2）解：当时，， 解得， 答：悬挂的钩码数量为7个． 13．（21-22七年级下·宁夏银川·期中）一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 【答案】(1)反映了所挂物体的质量与弹簧的长度两个变量之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量 (2)弹簧不挂物体时的长度是，随着x增大，y逐渐增大，y与x的关系式为 (3) 【思路引导】（1）根据表格即可确定两个变量之间的关系； （2）根据表格可知，x每增加，弹簧长度增加，即可求出y与x的关系式； （3）将代入函数关系式求解即可． 【规范解答】（1）解：由表格数据可得，上表反映了所挂物体的质量与弹簧的长度之间的关系，所挂物体的质量是自变量，弹簧的长度是因变量； （2）解：∵当所挂物体质量时，弹簧长度， ∴弹簧不挂物体时的长度是． 观察表格可知，x每增加，y增加， ∴随着x增大y逐渐增大. 结合弹簧原长可得y与x的关系式为； （3）解：∵，符合挂重要求， 把代入得，， 答：当挂重为时，弹簧的长度是． 14．（25-26八年级下·重庆·期中）“五一”假期，小雯一家自驾去离家310公里的某景区旅游，她们离家的距离y（）与小车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示． (1)从小雯家到该景区一共用了多少时间？ (2)求出发1小时至3小时之间行驶速度是多少？ (3)小雯一家出发2.5小时时离目的地有多远？ 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）根据函数图象即可求解； （2）利用路程差除以时间差即可求解速度； （3）先求出2.5小时行驶的路程，再由总路程减去行驶的路程即为出发2.5小时后距离目的地的距离． 【规范解答】（1）解：由函数图象可得，从小雯家到该景区一共用了； （2）解：由函数图象可得，， ∴出发1小时至3小时之间行驶速度是； （3）解：由函数图象可得，， 答：小雯一家出发2.5小时时离目的地有． 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)游泳馆距离小刚家①_____________米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了②_____________米； (2)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 【答案】(1)2000，4000 (2)14分钟 【思路引导】（1）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米； （2）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案． 【规范解答】（1）解：由图象可知，游泳馆距离小刚家米． 行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米； （2）解：由图象可知： 最初速度：（米/分钟）， ∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆， ∴拿装备后速度为（米/分钟）． ∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）． ∴（分钟）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第二十二章 函数【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+12个题型讲练+真题实战练 共51题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 用表格表示变量间的关系 题型二 用关系式表示变量间的关系 题型三 用图象表示变量间的关系 题型四 函数的概念 题型五 函数解析式 题型六 求自变量的取值范围 题型七 求自变量的值或函数值 题型八 函数图象识别 题型九 用描点法画函数图象 题型十 从函数的图象获取信息 题型十一 动点问题的函数图象 题型十二 函数的三种表示方法 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 常量和变量 1.变量：在一个变化过程中，数值 发生变化 的量称为变量。 2.常量：在一个变化过程中，数值 始终不变 的量称为常量。 变量与常量一定存在于一个变化过程中，有时可以相互转化。 知识点二 函数的概念和函数值 1.函数的概念： 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量和，并且对于的每一个确定的值，都有 唯一确定 的值与之对应，那么我们就说是 自变量 ，是的 函数 ，又称因变量。 说明：对于函数概念的理解：①有两个变量；②一个变量的数值随着另一个变量的数值的变化而发生变化；③对于自变量的每一个确定的值，函数值有且只有一个值与之对应，即单对应。 2.函数值： 在一个函数中，若存在时，则就是自变量为时的 函数值。 知识点三 函数自变量的取值范围 1.自变量的取值范围： 在函数表达式中，自变量的取值必须使相应的函数表达式有意义。 2.常见的几种函数解析式中自变量的取值范围： ①整式型函数表达式：自变量取值范围为 一切实数 。 ②分式型函数表达式：自变量取值范围为 分母不为0的一切实数 。 ③根式型函数表达式：自变量取值范围为 被开方数大于等于0的一切实数 。 ④零次幂与负整数指数幂函数表达式：自变量取值范围为 底数不为0的一切实数 。 3.在实际问题中与几何图形中的自变量取值： 在实际问题与几何图形中，既要满足函数表达式有意义，也要满足实际问题的实际意义，还要满足几何图形的几何意义。 知识点四 函数的表示方法 1.解析式法 定义：用含有 自变量x 的式子来表示函数的方法叫做解析式法。 优点：能准确的反应整个变化过程中两个变量的关系。 缺点：对于一些特点的函数关系无法用解析式法表达。 判断式子是否为函数关系，需判断一个自变量是否只能求出唯一的函数值。 2.列表法 定义：把一系列 自变量x 的值与对应的 函数值y 列成一个表来表示函数关系的方法。 优点：可以由表格知道的已知自变量的相应函数值。 缺点：自变量的值不能一一列出，也不容易看出两个变量之间的对应关系。 3.图像法 定义：用图像来表示函数关系的方法。 优点：能直观形象的表达函数关系。 缺点：有些图像只能得到近似的函数关系，不能得到确定的函数关系。 判断图像是否为函数图像需确认一个自变量是否对应一个函数值。即作x轴的垂线，与图像只能有一个交点。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 用表格表示变量间的关系 【例1】某市为了规范车辆分流，在道路中央安装隔离护栏（如图所示），已知每根立柱宽为0.2米，立柱间距为3米． (1)根据下图，将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 … 护栏总长度/米 0.2 3.4 ______ 9.8 ______ … (2)设有x根立柱，护栏总长度为y米，则y与x之间的关系式是什么？ (3)若总长477米的街道需要安装隔离护栏，请问需要安装立柱多少根？ 【变式1】（25-26七年级上·辽宁大连·期末）物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【变式2】（25-26八年级上·贵州·期中）国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型讲练二 用关系式表示变量间的关系 【例2】（25-26八年级下·广东深圳·期中）综合与实践 主题 2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案 信息1 为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台． 信息2 某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台． 信息3 采购完成后，设备供应商赠送n张（且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元． (1)探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价． (2)计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果） (3)确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案． 【变式1】（25-26八年级下·山西·期中）实践活动：为了让学生走出教室，走进大自然，切身深入了解山西文化，某山西省实验中学走进香菇龙头企业的韦禾农业集团有限公司，开展了“舌尖上的香菇，研究中的成长”实践活动．巧遇该企业搞促销活动，请你用所学知识解决下列问题： 该企业对香菇酱和香菇脆开展优惠活动，每盒香菇酱定价160元，每瓶香菇脆定价20元，优惠方案有以下两种： 方案一：买一盒香菇酱送一瓶香菇脆； 方案二：香菇酱和香菇脆都按定价打九折． 现某客户需要购买香菇酱30盒，香菇脆x瓶（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款元与x的函数关系式是_________；若该客户按方案二购买，需付款元与x的函数关系式是__________． (2)选择哪种方案更优惠？ 【变式2】（25-26八年级下·河北衡水·月考）如图，梯形的上底长是，下底长是，当梯形的高由大变小，梯形的面积也随之发生变化． (1)在这个变化过程中，自变量是______． (2)直接写出梯形的面积与高之间的函数关系式，并通过计算说明当梯形的高h由变化到时，梯形的面积S的变化情况； (3)嘉嘉发现当高变化时，梯形中与的大小也在变化，若，，y是否为x的函数？若是，直接写出函数关系式；若不是，请说明理由． 题型讲练三 用图象表示变量间的关系 【例3】（25-26八年级上·浙江丽水·期末）下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【变式1】（25-26八年级上·江苏镇江·期末）某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A．B． C． D． 【变式2】（24-25六年级下·山东威海·期末）甲、乙是数轴上两点，甲所在位置坐标为，速度为每秒2个单位长度．甲、乙同时匀速相向而行，当第一次相距5个单位长度时，甲停止运动，乙保持之前的速度继续前行．当甲、乙相遇，乙停止运动，甲保持之前的速度继续运动．1秒后，甲、乙均保持之前的速度继续前行，若到达对方最初的位置则停止运动．甲、乙相距的距离与甲、乙运动时间之间的关系如图，根据图象回答： (1)运动开始前乙位置坐标为___________；点的值为___________；乙的速度为___________； (2)直接写出图中点表示的实际意义以及何时，甲、乙第二次相距5个单位长度： (3)甲、乙能否同时到达对方最初的位置，若能，请求出时间：若不能，请说明理由． 题型讲练四 函数的概念 【例4】（25-26八年级下·河南新乡·期中）老师让同学们举一个是的函数的例子，同学们分别用表格、图象、函数表达式列举了如下4个，其中一定是的函数有（　　） ① x 1 2 0 1 y 1 2 3 4 ②； ③（是常数）； ④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列关于变量x，y的关系中：①；②；③；④．其中y是x的函数的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③ D．①③④ 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将若干张40cm长的长方形纸按如图所示的方法粘合成纸条，粘合部分的宽为． (1)将表格补充完整． 纸的张数 1 2 3 4 … 10 … 纸条的长度 40 116 154 … … (2)设张纸粘合后的纸条长为． ①与之间的关系式为 ； ②将50张纸粘合后的纸条长为 ； ③若小明需要粘合长为的纸条，则至少需要多少张这样的长方形纸？ 题型讲练五 函数解析式 【例5】（25-26八年级下·北京西城·期中）已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【变式1】（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，在矩形中，，，E为边上一点，，连接． (1)_______，_______； (2)动点P、Q从点A同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动． 当有一点到达终点时另一点也随之停止运动，设点运动的时间为，在运动过程中，点、经过的路线与线段围成的图形面积为，求y关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围． 【变式2】（25-26八年级下·福建厦门·期中）一辆汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：）的增加而减少，已知该汽车平均耗油量为． (1)写出表示y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围； (2)若A，B两地相距，当油箱中油量少于时，汽车会自动报警，则这辆汽车在由A地到B地，再由B地返回A地的往返途中，汽车是否会报警请说明理由． 题型讲练六 求自变量的取值范围 【例6】函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B．且 C．且 D． 【变式1】（25-26八年级上·安徽安庆·期末）已知等腰三角形的周长为16，腰长为x，底边长为y，则y与x的函数关系式为__，自变量x的取值范围是__． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）（1）已知函数，求自变量的取值范围． （2）运动员在一圈的跑道上训练，请直接写出他跑一圈所用的时间（单位：s）与跑步速度（单位：）之间的关系，并指出其中的变量和常量． 题型讲练七 求自变量的值或函数值 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，结合表格中的数据回答问题： 梯形的个数 1 2 3 4 5 … 图形的周长 5 8 11 14 17 … (1)设图形的周长为，梯形的个数为，试写出与的函数解析式； (2)求时，图形的周长； (3)求时，梯形的个数． 【变式1】如图所示的是小华利用“”拼成的一列有规律的图案，仔细观察并找出规律，解答下列问题 (1)完成下表： 图n 图1 图2 图3 图4 图5 … 的个数m 4 7 ______ ______ ______ … (2)写出m与n的函数关系式，并求当时，m的值． 【变式2】（25-26八年级下·山东·课后作业）随着人工智能不断研究，智能机器人已经进入我们的生活中．某公司研发出型和型两款扫地机器人投放市场．已知台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米，台型机器人和台型机器人每小时刚好可以清洁平方米． (1)一台型机器人和一台型机器人每小时各清洁多少平方米？（列方程组解应用题） (2)某家居店计划向机器人公司购进一批型和型（两种型号均要有）扫地机器人，这批机器人每小时刚好可以清洁平方米，若设型机器人有台，型机器人有台，请问有几种购买方案． (3)在（2）问的前提下已知型机器人的售价为1万元一台，型机器人的售价为万元一台，设购买总费用为万元，请计算与之间的函数关系式． (4)在（3）条件下，家居店选择哪种方案合算？ 题型讲练八 函数图象识别 【例8】（25-26八年级下·广西南宁·期中）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧秤匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数与时间的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式1】（25-26八年级下·全国·单元测试）如图所示的三个图象中，有两个能近似地刻画如下，两个情境： 情境a：小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，中途自行车出了故障，只好停下修车，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶； 情境b：小芳离开家不久，发现作业本落在家里，于是返回家找作业本，再去学校． (1)情境所对应的图象是___________，情境所对应的图象是___________； (2)请为你在（1）中选择后所剩下的图象写一个适合的情境． 【变式2】德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．下列说法不正确的是（    ） 研究表明：按艾宾浩斯记忆规律复习，一天后记忆留存率为，一周后保持 A．y是关于x的函数 B．D点的实际意义是学习后24小时，记忆留存率为 C．根据图象，在、、、四段中，段遗忘的速度最快 D．若不复习，一天后记忆留存率会比按艾宾浩斯记忆规律复习的少 题型讲练九 用描点法画函数图象 【例9】（25-26八年级下·北京·期中）小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）德国医生菲里斯和奥地利心理学家斯瓦波达经过长期临床观察发现，从出生之日起，人的情绪呈周期性变化，在前30天内，情绪的部分数据及函数图象如下： 天数t … 24 25 26 27 28 29 30 波动值s … 2.2 3.8 5.7 7.8 10 12.3 14.3   数学活动： (1)①根据表中数据，通过描点，连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象； ②观察函数图象，当时，s的值为多少？当s的值最大时，t的值为多少？ 数学应用： (2)根据研究，当时处于情绪高潮期，心情愉快；当时处于情绪低潮期，心情烦躁；当时为临界日，心情平稳．若小海从出生到今天的天数为5501天．则今天他心情如何？ 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）电动汽车作为一种高效、清洁的新型交通工具，得到了世界各方的高度关注．电动汽车电池容量易受温度等外界环境影响，下表给出了两种额定容量相同的电动汽车电池在不同温度下的相对容量．以下是部分实验数据：x为温度（单位：），为1号磷酸铁锂电池在对应温度下的相对容量，为2号锰酸锂电池在对应温度下的相对容量． （电池额定容量是指在一定放电条件下电池能够存储的电能总量，相对容量指的是电动车实际能储存的电量除以额定容量）． 0 10 20 30 40 50 0.93 0.98 1.00 1.00 0.99 0.98 0.96 0.95 0.72 0.85 0.93 0.98 0.99 1.0 0.98 0.97 (1)在同一平面直角坐标系中，已经画出与的函数图象，请画出与的函数图象； (2)在温度为__________时两款电池相对容量相同； (3)在__________下2号锰酸锂电池的相对容量与在下1号磷酸铁锂电池的相对容量相等； (4)由于北方冬季天气较冷，小林爸爸准备购买一台电动汽车送小林上学，考虑到续航持久性，你认为小林爸爸买车时应该选择配置上述1号、2号两种电池的哪一种电池（不考虑价格等因素），请说明你的理由． 题型讲练十 从函数的图象获取信息 【例10】（25-26八年级下·福建南平·期中）如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 【变式1】（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）某周日上午，小明和家人一起驾车从家出发去美术馆，在馆内参观后，驾车去姑妈家．在姑妈家停留一段时间后，以的平均速度返回家中．如图所示的是他们离开家的距离与离开家的时间的关系图，根据图象解答下列问题： (1)上述过程中，自变量是 ，因变量是 ，点A的实际意义为 ； (2)从美术馆到姑妈家的速度为 ． (3)当小明和家人离开家多久时，他们离家的距离为． 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图．则下列说法： ①小明家和学校距离1200米； ②小华乘坐公共汽车的速度是240米/分； ③小华乘坐公共汽车后与小明相遇； ④小华的出发时间不变，当小华由乘公共汽车变为跑步，且跑步的速度是100米/分时，他们可以同时到达学校．其中正确的是___________．（填序号） 题型讲练十一 动点问题的函数图象 【例11】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在菱形中，动点从点出发，沿着运动至终点，设点运动的路程为，的面积为，若与的函数图象如图2所示，则图中的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1】（25-26八年级下·上海闵行·期中）在清明祭英烈活动中，某中学组织学生代表，前往上海一大会址参与研学活动．队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达纪念馆，随即在馆内聆听“南陈北李相约建党”的历史渊源，历时50分钟．讲解结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离校的时间为分钟，离学校的距离为米，那么下列图象能大致反映与关系的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期末）如图1，在中，，动点P从点A出发，沿着的路径运动到点C停止，过点P作，垂足为Q．设点P的运动路程为x，的值为y，y随x变化的函数图象如图2所示，则的长为______． 题型讲练十二 函数的三种表示方法 【例12】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，小珍依据漏刻的基本原理做了一个底面积为，容积为的圆柱形漏刻（浮子体积忽略不计），观测并记录了水位（单位：）与时间（单位：）之间的数据如下： 0 1 2 3 4 5 … 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 … (1)请写出水位与时间之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围． (2)当时，求对应的时间，并说明它表示的实际意义． 【变式1】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）九章算术中记载浮箭漏出现于汉武帝时期，如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺度数计算时间．某学校实验小组仿制了一套浮箭漏，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表数据，则下列说法错误的是（    ） 供水时间x（） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（） 6 18 30 42 54 A．箭尺读数y随供水时间x的增加而增加 B．箭尺读数y和供水时间x之间的关系式为 C．当， D．供水时间x每增加1小时，箭尺读数y增加 【变式2】（25-26八年级下·北京·期中）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是（    ） 表达式中，是的函数；     等边三角形的周长是边长的函数； 下表中，是的函数；             1 2 3 6 3 2 下图中，曲线表示是的函数 A． B． C． D． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·湖南长沙·期中）汽车油箱中有汽油，如果不再加油，那么油箱中剩余的油量（单位：）随行驶路程（单位：）的增加而减少．已知该汽车平均每千米耗油．当时，与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·北京·期中）下列图形中不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·黑龙江大庆·期末）某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据： 鸭的质量/千克 1 2 3 4 烤制时间/分 40 60 80 100 120 140 160 180 设鸭的质量为x千克，烤制时间为t分钟，估计当时，的值为（  ） A．190 B．200 C．210 D．220 4．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（   ） A．12 B．21 C．30 D．78 5．（25-26八年级下·重庆·期中）为了准备校园文化艺术节的舞台布置，小七需要完成一段背景墙的绘制．他先画了一段时间，后来因为要参加半期测试被迫停工几天．复工后，小七加快了绘制进度，最终按时完成了任务．下面能反映该工程尚未绘制的背景墙长度（米）与时间（天）的函数关系的大致图像是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一根长为的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（）与宽x（）之间的关系式为________． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）某商场为了增加销售额，推出了“春节期间大酬宾”活动，活动内容是：“凡春节期间在该商场一次性购物超过100元者，超过100元的部分按八折优惠．”在酬宾活动中，小张到该商场为单位购买了单价为30元的办公用品x件（），则应付款y与商品件数x的关系式为_________． 8．（25-26八年级下·北京·期中）为满足人民对美好生活的向往，造福子孙后代，环保部门要求相关企业加强污水治理能力．污水排放未达标的企业要限期整改，甲，乙两个企业的污水排放量与时间的关系如图所示．我们用，表示时刻某企业的污水排放量，用的大小评价在至这段时间内某企业污水治理能力的强弱．已知甲、乙两企业在整改期间排放的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论： ①在这段时间内，乙企业的污水治理能力比甲企业强； ②在时刻，甲企业的污水排放量比乙企业高； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都已达标； ④在这三段时间中，甲企业在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是_____． 9．（25-26八年级下·上海·期中）小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7∶40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程（米）和所用时间（分钟）的关系图，则下列说法中正确的是______． ①小明家和学校距离米 ②小华乘公共汽车的速度是米/分 ③小明从家到学校的平均速度为米/分 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）如图1，在中，，点P从点A出发沿以的速度匀速运动至点B，图2是点P运动时，的长度y（单位：）随时间x（单位：s）变化而变化的函数图象．根据所给信息，点C到的距离是_______． 11．（25-26八年级下·河北沧州·月考）如图，用长为的篱笆（虚线部分）两面靠墙围成矩形的苗圃．在其中一边开了一个宽的门． (1)设矩形的一边为，面积为，求y关于x的函数关系式； (2)当时，求出所围苗圃的面积是多少？ 12．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）如图，测定某弹簧的长度与所挂重物函数关系的装置．弹簧不挂任何重物时的长度为120毫米．在弹簧下端依次挂上不同个数的钩码，待钩码静止后，量出弹簧的长度l．得到的数据记录在下面的表格中： 钩码的个数n/个 0 1 2 3 4 … 10 弹簧长度l/毫米 120 125 130 135 140 … 170 (1)如果用n表示悬挂的钩码数量，l表示弹簧长度，在弹簧的弹性限度内，请你写出弹簧长度l与钩码个数n之间的函数表达式； (2)弹簧长度l为155毫米时，求悬挂的钩码数量． 13．（21-22七年级下·宁夏银川·期中）一名同学在用弹簧做实验，在弹簧上挂不同质量的物体后，弹簧的长度也不同，实验数据如下表： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 12 12.5 13 13.5 14 14.5 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)弹簧不挂物体时的长度是多少？如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？关系式为？ (3)如果弹簧最大挂重为，你能预测当挂重为时，弹簧的长度是多少？ 14．（25-26八年级下·重庆·期中）“五一”假期，小雯一家自驾去离家310公里的某景区旅游，她们离家的距离y（）与小车行驶时间x（h）之间的函数图象如图所示． (1)从小雯家到该景区一共用了多少时间？ (2)求出发1小时至3小时之间行驶速度是多少？ (3)小雯一家出发2.5小时时离目的地有多远？ 15．（25-26八年级下·福建厦门·期中）星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)游泳馆距离小刚家①_____________米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了②_____________米； (2)为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $