精品解析：浙江金华市方格外国语学校2025-2026学年高二年级第二学期四校期中联考数学学科试题

2025学年第二学期四校期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. 180 B. 60 C. 25 D. 15 2. 若随机变量，则的值为（ ） A. 0.8 B. 4 C. 5 D. 3 3. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 二项式展开式的常数项为（    ） A. B. 60 C. 120 D. 240 6. 的二项展开式中，第项的系数是（　　） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中的值为 3 4 5 6 3 4 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选）设某大学的女生体重Y（单位：kg）与身高X（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg B. 回归直线过点 C. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D. 两变量Y与X正相关 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，且，则____________． 13. 已知，则_______． 14. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的经验回归方程为，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导函数 （1） （2） （3） （4） 16. （1）证明：； （2）化简：． 17. 某市学生校车由“通达”和“运达”两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了两家公司200天校车早上是否准时到校情况，并统计了如下列联表： 准时到校天数 未准时到校天数 通达 96 8 运达 84 12 （1）根据上表，分别估计“通达”和“运达”两家公司早上准时到校的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，判断校车早上准时到校与校车所属的公司是否有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 18. 一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的概率分别是，和. （1）求小明闯到第三关的概率. （2）记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量，求的分布列及数学期望. 19. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （1）求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期四校期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. （ ） A. 180 B. 60 C. 25 D. 15 【答案】D 【解析】 【分析】根据组合数公式计算可得. 【详解】. 故选：D 2. 若随机变量，则的值为（ ） A. 0.8 B. 4 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项分布的期望公式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 3. 学校组织社团活动，要求每名同学必须且只能参加一个社团，现有4个社团供5名同学选择，则不同的选择方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数原理即可求得不同的选择方法种数. 【详解】由题意可得，每名同学共有4种选择，故不同的选择方法有种. 故选：A 4. 若随机变量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 5. 二项式展开式的常数项为（    ） A. B. 60 C. 120 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式进行求解即可. 【详解】展开式的通项为：， 令得， 所以展开式的常数项为， 故选：B． 6. 的二项展开式中，第项的系数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，得出结论． 【详解】的二项展开式中，第项为， 故该项的系数为， 故选：D． 7. 甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门作为选修课，则3名同学所选课程不全相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题采用正难则反的方法，先求出选课总数，再求出反面，3名同学所选课程全相同有多少种，再减去即可. 【详解】甲、乙、丙3名同学从4门课程中任选一门有（种）选法， 3名同学所选课程全相同有4种，所以3名同学所选课程不全相同的概率为， 故选：D. 8. 若关于的线性回归方程是由表中提供的数据求出，那么表中的值为 3 4 5 6 3 4 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由表可得样本中心点的坐标为，根据线性回归方程的性质可得，解出，故选C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则的值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BC 【解析】 【分析】利用组合数的计算即可求解 【详解】因为，所以或，解得或. 故选：BC. 10. 设函数的导函数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，可得解析式，分析选项，即可得答案. 【详解】易得， 所以，， 故选：AD. 11. （多选）设某大学的女生体重Y（单位：kg）与身高X（单位：cm）具有线性相关关系.根据一组样本数据，用最小二乘法建立的线性回归方程为，则下列结论中正确的是（ ） A. 若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg B. 回归直线过点 C. 若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg D. 两变量Y与X正相关 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据线性回归方程的含义可判断A，B，C；根据回归方程的系数可判断两变量Y与X正相关，判断D. 【详解】用所给的线性回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论， 故该大学某女生身高为170cm，则可说其体重大约为58.79 kg，故A不正确； 由最小二乘法的计算公式可知，回归直线过样本中心点，B正确； 依据线性回归方程中的含义可知，X每变化1个单位，Y相应变化约为0.85个单位，C正确； 回归方程中X的系数为0.85，，因此Y与X正相关，D正确. 故选：BCD 非选择题部分 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知随机变量，且，则____________． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得，则，由二项分布可知，根据题意列式求解即可. 【详解】因为，且， 可知，即，则， 又因为，则， 且，即，解得. 故答案为：. 13. 已知，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据问题结构特征对二项式赋值即可求解. 【详解】令， 则二项式展开式左边，右边， 故. 故答案为：1. 14. 如图是一组数据的散点图，经最小二乘法计算，与之间的经验回归方程为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据散点图求出样本中心点坐标，再将中心点坐标代入可求得答案 【详解】，， 将（2，6）的坐标代入，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的导函数 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据导数的四则运算以及复合函数求导法则计算即可. 【小问1详解】 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 【小问4详解】 16. （1）证明：； （2）化简：． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】利用排列数的计算公式即可证明和化简； 【详解】（1）略 （2）原式． 17. 某市学生校车由“通达”和“运达”两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了两家公司200天校车早上是否准时到校情况，并统计了如下列联表： 准时到校天数 未准时到校天数 通达 96 8 运达 84 12 （1）根据上表，分别估计“通达”和“运达”两家公司早上准时到校的概率； （2）根据小概率值的独立性检验，判断校车早上准时到校与校车所属的公司是否有关？ 附：， 0.100 0.050 0.010 k 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）通达准时到校概率为；运达准时到校概率为 （2）没有的把握认为校车早上是否准时到校与校车所属的公司有关 【解析】 【分析】（1）根据表中数据，统计“通达”公司、“运达”公司共有多少天，准时到校有多少天，从而可求解准时到校的概率； （2）先画列联表，再计算，从而可判断. 【小问1详解】 根据表中数据，“通达”公司共有104天，准时到校共有96天， 设“通达”公司校车准时到校为事件，则； “运达”共有96天，准时到校共有84天， 设“运达”公司校车准时到校为事件，则. 所以，“通达”公司校车准时到校的概率为； “运达”公司校车准时到校的概率为. 【小问2详解】 列联表如下： 准时到校天数 未准时到校天数 合计 通达 96 8 104 运达 84 12 96 合计 180 20 200 所以， 根据临界值表知，没有的把握认为校车早上是否准时到校与校车所属的公司有关. 18. 一个闯关游戏共三关，游戏规则：闯过第一关才能进入第二关，闯过第二关才能进入第三关，闯过三关或闯关失败则游戏结束且各关闯关是否成功是相互独立的．小明玩这个游戏，他能过一、二、三关的概率分别是，和. （1）求小明闯到第三关的概率. （2）记游戏结束时小明闯关成功的次数为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意当小明第一、二关闯关成功时能够闯到第三关，根据相互独立事件的概率公式计算可得； （2）依题意的可能取值为、、、，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望. 【小问1详解】 依题意小明闯到第三关即第一、二关均闯关成功，故概率； 【小问2详解】 依题意的可能取值为、、、， 则，，， ， 所以的分布列为： 所以. 19. 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的. （1）求进入商场的1位顾客恰好购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （2）求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率； （3）设表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求的分布列、及. 【答案】（1）0.5 （2）0.8 （3） 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ，. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（2）根据给定条件，利用对立事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（3）求出的所有可能值，利用二项分布求出概率分布列和期望作答. 【小问1详解】 事件表示“顾客购买甲种商品”，事件表示“顾客购买乙种商品”， 则：，. 由题意可知，与相互独立，故，. 购买一种商品包含“买甲不买乙”和“买乙不买甲”，即，且这两个事件互斥，因此：. 【小问2详解】 “至少购买一种”的对立事件是“两种都不买”，即. 所以:. 【小问3详解】 由题意可知，表示3位顾客中至少购买一种商品的人数，每位顾客“至少买一种”的概率为， 故（二项分布）. ①分布列 二项分布概率公式： 分布列： 表格 0 1 2 3 0.008 0.096 0.384 0.512 ②期望 二项分布期望公式： ③方差 二项分布方差公式： . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $