广东惠州市泰雅实验高中2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025一2026学年惠州市泰雅实验高中高二下学期第一次月芳试题 数学 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在 答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写 在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 批 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、 0 龄 草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 如 合题目要求的) 尔 1.已知集合A={x2x>4},B={x4x+3≤15}，则A∩B= 钢 A.{x2x≤3} B.{x2≤x<3} C.{x|1<x≤5} D.{x1≤x<5} 长 揪 2.若复数=ai(a∈R),且-…8=-2+i,则引= K A号 B.①0 2 蜜 O 数 3 C.立 D.2 杯 3.已知函数f(x)=sin(πlnx),则f(1) 痴 A受 B.x c D.2π 阁 4.已知数列{an}满足a1=3,an+1=1一 1(n∈N),则a22s= a 点 A-吉 R号 C.2 D.3 5.设f(x)是函数f(x)的导函数，在同一平面直角坐标系中作出f(x)与f'(x)的大致图象， 据图分析一定错误的是 C C B 高二数学第1页（共4页） 6.设双曲线C:兰-=1(@>0，b>0)的焦距为2c,若a',,2成等差数列，则该双曲线的渐 近线方程为 A.y=土3 3 8, C.y=士x D.y=±√2x 7.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中 任意一个数字相乘时，乘积仍然由1,4,2,8,5,7这6个数字组成.若从1,4,2,8,5,7这6个 数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则这些四位数中大于7000的偶数的个数为 A.75 B.66 C.60 D.36 8.若曲线f(x)=alnx(a>0)与g(x)=x2有且仅有一条公切线，则实数a的值为 A.e B.√e C.2e D.2√e 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.关于(2x一1)6的展开式，下列说法正确的是 A.展开式共有6项 B.展开式的二项式系数之和为64 C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大 10.福建省动植物园举行花卉展览，三明某花卉种植园有2种兰花、2种三角梅共4种精品花 卉，其中“绿水晶”是培育的兰花新品种，4种精品花卉将全部送到A,B展馆参展，每种只能 送到一个展馆，且每个展馆至少有1种花卉参展，则下列说法正确的是 A.若“绿水晶”送到A展馆，则有7种安排方法 B.若“绿水晶”不送到A展馆，则有6种安排方法 C.若A展馆需要送3种花卉，则有4种安排方法 D.若2种三角梅不能送到同一个展馆，则有6种安排方法 11.已知函数f(x)=x3一a.x2十a一1，则下列说法正确的是 A.当a=0时，f(x)的对称中心为(0，一1) B.若f(x)在R上单调递增，则一√3≤a≤√3 C.曲线y=|f(x)十1|不可能是轴对称图形 D.若g(x)=f(x)一a一3有三个不同的零点，则a<一3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若cos(a+元)=0 10,则cos2a= 13.已知a,b,c,d成等差数列，函数f(x)=x3+3bx2+cx+b2在x=一1时有极值0，则 d-a= 14.已知(1十2.x)°展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为，则2 a 高二数学第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=x一nx+号 (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)求f(x)在区间[1，e]上的值域. 16.(本小题满分15分) 在等比数列{an}中，a1a2=12,a3=18. (1)求{am}的通项公式； (2)求{nan}的前n项和Sm. 17.(本小题满分15分) 如图，在直四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，AB=BC=3,AD=CD=4,AA1=BD=5. (1)证明：BD⊥平面AAC1C; (2)估算平面A1BC与平面AA1CC夹角的余弦值.（结果保留分数） 参考数据：/20809≈144. D C 高二数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知椭圆C:二十是=1(a>b>0)的右顶点为A(2,0),离心率为3 2 (1)求C的方程； (2)若过点P(5,0)且斜率不为零的直线l与C交于M,N两点，点M关于y轴的对称点为Q. (ⅰ)求△AMN面积的最大值； (1)记直线AN,AQ的斜率分别为，6：，证明：会为定值。 努 O 些 些 烯 & 19.(本小题满分17分) 擗 已知函数f()=a(x-1)e+7a>-1. O (1)讨论f(x)的单调性； 烟 (2)若f(x)≥-2对x∈[0，十∞)恒成立，求实数a的取值范围； (3)i证明：当≥2且CN时，号+号+…+<2 3·5·7·…·(2m-1) 喀 2·4·6·…·(2m-2) O 闙 烯 高二数学第4页（共4页）2025一2026学年惠州市泰雅实验高中高二下学期第一次月考试题 数学 命题要素一览表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.核心素养： ①数学抽象②逻辑推理 ③数学建模 ④直规想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 核心素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) II ⅢvvM@@③④⑤⑥ 档次 系数 集合的交运算，解不含参数 1 选择题 5 易 0.95 的一元一次不等式 选择题 共轭复数，复数的模 0.85 3 选择题 5 导数的运算法则 易 0.80 选择题 周期数列 易 0.75 函数与导函数图象之间的 5 选择题 5 易 0.70 关系 利用数列的性质求双曲线的 6 选择题 中 0.65 渐近线 分类加法计数原理与分步乘 选择题 0.60 法计数原理的综合运用 选择题 公切线问题 0.45 9 选择题 二项式的展开式及系数 易 0.75 10 选择题 6 排列组合中的分组分配问题 中 0.68 11 选择题 6 利用导数研究函数的性质 中 0.55 12 填空题 诱导公式，二倍角公式 易 0.80 13 填空题 5 由函数极值求参 易 0.72 14 填空题 5 二项式系数的最值 中 0.55 求函数在某一点处的切线方 15 解答题 13 程，及函数在闭区间上的 多 0.75 值域 (数学) 等比数列通项公式的基本量 16 解答题 15 分 0.68 计算，错位相减法求和 证明线面垂直，求平面与平 17 解答题 15 中 0.55 面夹角的余弦值 18 解答题 椭圆的方程，定值问题 中 0.50 含参函数单调性的分类讨 19 解答题 17 论，由不等式求参，证明不 中 0.35 等式 ·2 参考答案及解析 ·高二数学· 参考答案及解析 高二数学 一、选择题 正，再负，再正，而C恒在x轴上方，也不符合，故D 1.A【解析】由2x>4,得x>2,由4x十3≤15，得x≤ 错误.故选D 3,所以A∩B={x2<x≤3}.故选A. 6.B【解析】因为a,b,c成等差数列，所以2b=a 2.C【解析】因为z=a十i,所以=a-i,因为之一x·乏 十c2,又c2=a2+B,所以26=a2+a2十b2=2a2+ =-2十i,所以a十i-(a+i)(a-i)=a+i-a2-l 6,则=2a2,所以只= ,则该双曲线的渐近线方 =一2十.即d-a-1=0,解得a=15,则a一司 b 2 程为y=士号=士号放选B =±，-引=√a)+1=故 7.C【解析】满足条件的四位数需满足：千位为7或8， 选C. 且个位为偶数.①千位为7时，个位从2,4,8中任选 3.B【解析】由题得f(x)=王·cos(dnx),则f) 一个，有3种选择，中间两位从剩余4个数字中选并 排列，有A?=12种选择，此时组成的四位数有3×12 =πcos0=元.故选B. =36个：②千位为8时，个位不能与千位重复，只能 4.D【解析】因为a1=3,a1=1-1,所以a4=1 a 从2,4中选，有2种选择，中间两位从剩余4个数字 -号=1=1-=-=1 1=3, 中选并排列，有A?=12种选择，此时组成的四位数 有2×12=24个，所以满足条件的四位数共有36十 a,=1一士=1-子-号，所以a}是以8为周期的 24=60个.故选C. 数列，则a226=a75×3+1=a1=3.故选D. 8.C【解析】设曲线g(x)=x2上的切点为(x1,x), 5.D【解析】对于A,C是f(x)的图象，C是f(x)的 因为g'(x)=2x,所以切线方程为y一x= 图象，当x<0时，f(x)单调递减，对应f(x)<0(C2 2x1(x-x1),即y=2x1x-x2.设曲线f(x)=alnx 在x轴下方)，当x>0时，f(x)单调递增，对应f'(x) 上的切点为(xaln),因为f(x)=是，所以切线 >0(C2在x轴上方)，符合规律，故A正确：对于B, C是(x)的图象，C2是f(x)的图象，f(x)>0恒 方程为y-anx=a(x-x),即y=ax十 成立，对应f(x)单调递增，故B正确；对于C,C,是 a(lnx2-1).因为曲线f(x)=alnx(a>0)与g(x) f(x)的图象，C是f(x)的图象，f(x)恒正且单调 =x有且仅有一条公切线，所以 递增，对应f(x)单调递增，且斜率越来越大（越来越 陡)，完全符合C的趋势，故C正确；对于D,图中C j2a= ,即a=4x-4x1nx有唯一 恒在x轴上方，C2恒在x轴下方，两曲线的单调性都 -x=a(In x2-1) 是先增、再减、再增，若C是f(x)的图象，对应导函 正实根.令h(x)=4x2-4x2lnx,x>0,则h'(x)=8.x 数f(x)应先正，再负，再正，而C2恒在x轴下方，不 -8 xIn x-4x=4x(1-2lnx),令h'(x)=0,得x= 符合；若C是f(x)的图象，对应导函数f(x)应先 √E,当0<x<√时，h'(x)>0,h(x)单调递增；当x> 1 ·高二数学· 参考答案及解析 √时，h'(x)<0,h(x)单调递减，所以h(x)mx= 为f(x)=x8-ax2十a-1,所以f(x)=3x2-2ax, h()=4e-4eX号=2e,又当x一0时，h()→0， 若f(x)在R上单调递增，则f'(x)=3x2-2a.x≥0 恒成立，则△=(-2a)2≤0→a≤0→a=0,故B错 h(e)=4e2-4elne=0,作出h(x)的图象如图所示， 误：对于C,y=|f(x)+1=|x3-ax2十a|,当a 0时，y=|f(x)+1|=|x3|,令H(x)=x3|,因 2e 为H(-x)=|(-x)3|=|x3|=H(x),所以 H(x)=|x3|为偶函数，其图象关于y轴对称，所 以存在实数a,使得曲线y=|f(x)十1|是轴对称图 形，故C错误；对于D,令g(x)=f(x)-a-3=x e ax2一4=0，当x=0时，显然-4=0不成立，当x≠0 因为a=4x-4x1nx2有唯一正实根，且a>0,所以 时，x3-ar2-4=0→a=二4，令h(x)=二 a=2e.故选C. (x≠0)，则K(x)=工十8，当x>0时，h(x)>0, 二、选择题 h(x)单调递增，当x<-2时，h'(x)>0,h(x)单 9.BCD【解析】展开式共6十1=7项，故A错误：展开 调递增，当一2<x<0时，h'(x)<0,h(x)单调递 式的二项式系数之和为2=64，故B正确；令x=1, 减，且h(-2)=-3,当x→0时，h(x)→-∞，作出 则(2x一1)=1，所以展开式各项的系数之和为1，故 h(x)的图象如图所示， C正确：因为展开式共7项，所以展开式中第4项的 二项式系数最大，故D正确.故选BCD. 10.AC【解析】对于A,若“绿水晶”送到A展馆，则将 y=h(x) 剩下3种花卉分到A,B展馆即可，且B展馆至少有 -2 一种，则有C十C十C=7种安排方法，故A正确： -3 对于B,若“绿水晶”不送到A展馆，则必须送到B展 y=a 馆，然后将剩下3种花卉分到A,B展馆即可，且A 展馆至少有一种，则有C十C十C=7种安排方 若g(x)=f(x)一a-3有三个不同的零点，则直线y 法，故B错误；对于C,若A展馆需要送3种花卉，则 =a与h(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可 在4种精品花卉中选3种送到A展馆即可，有C= 知a<-3,故D正确.故选AD. 4种安排方法，故C正确：对于D,若2种三角梅不 三、填空题 能送到同一个展馆，则将其分别送到A,B展馆，有 12. 4 A量=2种安排方法，将2种兰花送到A,B展馆，每 【解标】由cos(a十π)=-cosa=, 10,得 种兰花都有2种安排方法，则2种兰花共有2×2=4 10 cos a ,则c0s2a=2coa-1=2× 种安排方法，所以有2×4=8种安排方法，故D错 10 误.故选AC. 10 -1=一合故答案为-号 5 11.AD【解析】对于A,当a=0时，f(x)=x3-1,则 13.21 【解析】由题得f(x)=3x2+6bx十c,且f(-1) f(x)十f(-x)=x3-1十(-x)3-1=-2,所以 -1+3b-c+=0 =0,f(-1)=0,即 ,解得 f(x)的对称中心为(0，一1)，故A正确；对于B,因 3-6b+c=0 ·2· 参考答案及解析 ·高二数学· .当b=1,c=3时，f(x)=x3+3x2+ 则3-(e-1+是)）=4-e->0, e 则f(1)>f(e), (12分) 3x十1，f'(x)=3x2+6x十3=3(x十1)2≥0，此时 所以f(x)在区间[1，e]上的值域为[3-ln2,3]. f(x)单调递增无极值，舍去；经验证b=2,c=9符 (13分) 合题意，因为a,b,c,d成等差数列，所以d一a= 16.解：(1)设{am}的公比为q(q≠0)， 3(c一b)=21.故答案为21. 因为a1a2=12,a3=18, 14.12【解析】(1十2x)展开式的二项式系数为C(k 所以a7q=12,a192=18, =0,1,…,6),则a=C=20,(1十2x)i展开式的系 C2*≥C+12+1 所以（学）g=12.则g=27, 数为C2(k=0,1,…,6),令 lC2≥C-125-1k= 所以q=3, (4分) 1,2,…,5,得 则a1=18=2, (5分) 61 61 1·(0-7·2≥(k+1)1·26-+·2+ 所以an=a1g”-1=2·3m-l. (6分) 6！ 6! 1·6-k元·2≥-11.6-（-D·2- (2)由(1)可得na=2n·31, 则Sn=2(1·3°十2·3十十n·3”-1), 2 6-k≥k十 3Sn=2(1·3十2·32+…+n·3"), (10分) 即 ,解得号<k<号，所以k=4,所以6 两式相减得2S=2[n·3-(3十3+…十3-1)]， (12分) =C2=240,则会-0-12.故答案为12 则S=n·3"-(1十3十…十3-1) 四、解答题 =·3”- 等-(a)·+ (15分) 15.解：(1)因为f(x)=x-nx十2 17.解：(1)由AD=CD,AB=BC,知BD为AC的垂直 平分线，所以BD⊥AC, (2分) 所以f✉)=1号 (2分) 由直四棱柱的性质知AA:⊥平面ABCD, 则f(1)=-2, 因为BDC平面ABCD, 又f(1)=3, (3分) 所以BD⊥AA, (3分) 所以曲线y=∫(x)在点(1，f(1))处的切线方程 又AC∩AA=A,AC,AAC平面AACC, 为y-3=-2(x-1),即2x十y-5=0. (5分) 所以BD⊥平面AACC. (5分) 2)因为f()=1-士-吕= (2)设AC∩BD=O, 2 以O为原点，O心，O方，AA的方向分别为x轴、y轴、 (x+1)(x-2x∈[1，e], x ~轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，(6分) 所以当1≤x<2时，f(x)<0,f(x)单调递减： A142 当2<x≤e时，f'(x)>0,f(x)单调递增，(9分) 因为f(x)=x-ln+2 所以f1)=3,f(2)=3-ln2,f(e)=e-1+2 (11分) ·3· ·高二数学· 参考答案及解析 因为AB=3,AD=4,BD=5, 所以SaMx=号|AP·l- 所以0D=,0B=号，则OA=0C-号， (7分) 号0n+为)-4为 则D(0,90),B(o.-号0小，c(号0,0) 10m 4×21 m2+4 m2+4 A(-号0,5 =6Vm2-21 m2十4 (9分) 所以武=（号，号，），Ac=(4,0,-5),ò 令t=√m-21(t>0),则m2=t2+21, (0,5,0). (9分) 6t 所以SAwN=P十25】 6 6 3 1.25 易知平面AACC的一个法向量为BD=(0,5,0), 2/t t (10分) (11分) 设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,2), 当且仅当t=5,即m2=46时取等号， n·BC=014x+3y=0 所以△AMN面积的最大值为号. (13分) 则 ,即 n·A1C=024x-252=0 (ⅱ)由题可得Q(-x1y), 取x=75,得y=-100,z=72, 直线AN的斜率，一”2，直线AQ的斜率：一 则n=(75,-100,72), (12分) 设平面ABC与平面AAC1C的夹角为8， -1-2 (14分) 则cos0=|cos(Bi,n)1= |BD·n |BD1×|n 所以会() =-y(x1十2) y1(xg-2) =-(my十7)=_my2十72 500 10025 (15分) 5√75+100+7214436 (14分) y1(y2+3) my y2+3y1 所以估算平面ABC与平面AA,CC夹角的余弦值 因为y1十y= 10m 21 m十4M=m千4， 为器 (15分) 所以y1y= 21 (y十y), (16分) 21 18.解：(1)由题意可得a=2,e=二= (y+)+7y 2 21 10(M+)+3y 所以c=√3，则b=√a2-c2=1, 21 49 所以C的方程为号+-1.。 01+10 7 (3分) 921 3 10y-10 (2)(1)由题意可知1的斜率存在且不为0， 所以会为定值子。 (17分) 设l:x=my十5(m≠0)，M(x1y),N(x2y), (x=my+5 联立 +y=1 ,得(m2十4)y2+10my十21=0， (5分) x 则△=16(m2-21)>0,得m2>21, +==n (7分) ·4· 参考答案及解析 ·高二数学· 19.解：D因为f(x)=a(x-1)e+号r,a>-1, 增，在(n(-）,+∞)上单调递减。 所以f(x)=axer十x=x(ae十1)， (1分) 1 当x→+o∞时，a(x-1)e→-o∞，2x2→+o∞， 当a≥0时，ae十1>0， 所以当x∈(-∞，0)时，f(x)<0,f(x)单调递减： a(1-1)c的增速比分x快， 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增. 所以f(x)→-o∞，不满足f(x)≥ (11分) (3分) 当-1<a<0时，令f(x)=0,得x=0或x= 综上，实数a的取值范用为[0，] (12分) n(-)>0, (3)由(2)可知当a=号时，f(x)=之(x-1)e+ 所以当x∈(-∞，0)时，f(x)<0,f(x)单调递减； 1 当xe(0,n(-日)）时，f(x)>0,f(x)单调 当0G1时得e<生告 (13分) 递增； 当x∈(n(-）,+∞)时，f(x)<0,fx)单调 令x=2 ,n≥2且n∈N*, 递减。 (5分) 得e 1+() 综上，当a≥0时，f(x)在（一∞，0）上单调递减，在 4m+1=1+2+1 1 1一2n 4n2-2 4n2-2 (0,十∞)上单调递增； 1 12n-1 当-1<a<0时，f(x)在(-o0,0)上单调递减，在 =1+ 2<1+2m—2-20-2, 2m-2+2m+ (o,la(-)上单调递增，在(n(-a),+o)上 (15分) 单调递减。 (6分) 两边同时取对数得<”号 2m-21 (2)因为f(x)≥-号对x∈[0，+0)恒成立， 则（+++）<h是+h子+n+ 所以当xe[0,十oo)时，f(x)n≥-子， (7分) +n号-h2:82分16分y 2n-2 由(1)知，当a≥0时，f(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以当n≥2且n∈N时：名+号+…十日< 所以f(x)mn=f(0)=-a, (17分) 则-a≥-合解得a≤，所以0<a≤名：(9分) 2h3::80》 当-1<a<0时，f()在[o,n(-)）上单调递 ·5