第八章成对数据的统计分析 章末复习导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学导学案聚焦“成对数据的统计分析”单元，围绕相关关系、回归分析、独立性检验三大核心概念，设定理解相关关系、掌握回归模型、应用独立性检验等学习目标。通过“相关关系-回归分析-独立性检验”三模块递进设计，结合合作探究与自主梳理，构建从概念辨析到模型应用的完整学习路径。 亮点在于“问题链驱动的深度探究”，如“相关关系与函数关系的区别”合作探究培养数学思维，“非线性回归模型转化”任务发展数学眼光，典例分析与习题巩固强化数学语言表达。自查自纠和分层习题支持学生个性化学习，为教师提供单元复习的结构化指导，促进深度学习与能力提升。

第八章成 对数据的统计分析 章末复习导学案 【学习目标】 1. 理解两个变量的相关关系（正相关、负相关、线性相关、非线性相关），能通过散点图进行判断. 1. 掌握一元线性回归模型，会利用最小二乘法求经验回归方程，会用残差和 评价模型拟合效果. 1. 了解将非线性回归模型转化为线性回归模型的方法（如取对数、倒数、平方等变换）. 1. 理解分类变量与列联表，掌握 列联表的制作与等高堆积条形图的解读. 1. 掌握独立性检验的基本思想，能计算 统计量，并根据小概率值 的临界值作出推断. 【学习重点】 1. 散点图与相关系数 的判断. 2. 最小二乘法求经验回归方程 . 3. 决定系数 和残差分析. 4. 非线性模型转化为线性模型的方法. 5. 独立性检验的步骤：零假设、列联表、 计算、比较临界值、结论. 【学习难点】 1. 理解回归模型中的随机误差 及其意义. 2. 非线性模型的变量代换技巧. 3. 区分 检验与反证法的异同，理解小概率事件原理. 4. 根据实际问题正确表述零假设和结论. 本章内容分为以下板块： 1. 成对数据的相关性 (1) 相关关系（正、负、线性、非线性） (2) 样本相关系数 1. 回归分析 (1) 一元线性回归模型 (2) 最小二乘估计 (3) 残差分析、决定系数 (4) 非线性回归转化为线性回归（变量代换） 1. 分类变量与列联表 (1) 分类变量、 列联表 (2) 等高堆积条形图 1. 独立性检验 (1) 零假设 (2) 统计量 (3) 临界值与检验规则 学习任务一 相关关系与样本相关系数 【合作探究】 1. 相关关系与函数关系的区别： (1) 函数关系：确定性的， 确定时 唯一确定. (2) 相关关系：非确定性的， 确定时 有多个可能取值. · 举例：身高与体重（相关），圆的半径与面积（函数）. 1. 散点图的作用： · 通过散点图可以直观判断两个变量是正相关、负相关还是无关，是线性相关还是非线性相关. (1) 正相关：点从左下到右上分布. (2) 负相关：点从左上到右下分布. (3) 线性相关：点大致分布在一条直线附近. (4) 非线性相关：点分布在某条曲线附近. 1. 样本相关系数 ： · 公式：. (1) 正相关， 负相关. (2) 越接近 1，线性相关程度越强；越接近 0，线性相关程度越弱. (3) 时完全线性相关（所有点共线）. (4) 表示没有线性相关，但可能有非线性相关. 【自主梳理】 1. 相关关系是一种不确定的关系，函数关系是确定的关系. 2. 散点图是判断相关关系的直观工具. 3. 样本相关系数 的取值范围是 ，其绝对值反映线性相关强度. 学习任务二 一元线性回归模型与回归分析 【合作探究】 1. 一元线性回归模型：，其中 为随机误差，. (1) 称为斜率参数，表示 每增加 1 单位， 的均值增加 单位. (2) 称为截距参数，表示 时 的均值. 1. 最小二乘估计： · 经验回归方程 ，其中 · 回归直线必过点 . 1. 残差分析： · 残差 .残差图（横坐标 或 ，纵坐标 ）应随机分布在带状区域，无趋势.若出现规律性（如曲线、漏斗形），则模型不合适. 1. 决定系数 ： · . · 越接近 1，模型拟合效果越好，解释的变异比例越大. 1. 非线性回归模型的转化： (1) 指数型 ：取对数 ，令 ，得线性 . (2) 对数型 ：令 ，得 . (3) 幂函数型 ：取对数 ，令 ，得 . (4) 倒数型 ：令 ，得 . 【自主梳理】 1. 经验回归方程用于预测和解释变量关系. 2. 残差图和 是评价模型优劣的重要工具. 3. 非线性问题常通过变量代换转化为线性回归解决. 学习任务三 分类变量与独立性检验 【合作探究】 1. 分类变量：取值表示类别（如性别、是否吸烟），数值无运算意义. · 列联表：列两个分类变量的交叉频数. 1. 等高堆积条形图：每个条高度为 1，内部按另一变量的比例分割.若各条形的内部比例差异大，则两变量可能有关. 1. 独立性检验： (1) 零假设 ：两个分类变量独立（即 ）. (2) 计算 ，其中 . (3) 给定显著性水平 （小概率值），查临界值表. (4) 若 ，则拒绝 ，认为两变量有关联，且犯错误的概率不超过 ； · 若 ，则没有充分证据拒绝 ，可以认为两变量独立. 1. 常用临界值：（ 对应 2.706， 对应 3.841， 对应 6.635， 对应 7.879， 对应 10.828） 【自主梳理】 · 独立性检验用于判断两个分类变量是否有关联. · 步骤：列联表 → 计算 → 与临界值比较 → 结论. · 注意：样本量较小时 近似可能不准确；结论只说明是否有关，不说明因果关系. 【自查自纠】（正误判断） 1. 相关系数 为正时，表示两个变量一定线性相关. （ ） 1. 残差图中残差点应随机分布在横轴两侧，无明显趋势. （ ） 1. 越接近 1，模型拟合效果越好. （ ） 1. 非线性回归模型不能转化为线性回归模型. （ ） 1. 独立性检验中，若 大于临界值，则两变量一定有关. （ ） 答案：1.×（可能非线性相关） 2.√ 3.√ 4.× 5.×（犯错误概率不超过 ，但仍有犯错可能） 【典例分析】 例1（相关性与回归）： 某研究收集了 10 对数据 ，计算得 ，，，. (1) 求 关于 的经验回归方程. (2) 计算样本相关系数 ，并判断相关程度. 解： (1) ，，回归方程 . (2) 由 未知，但 ，需要 .若补充 ，则 ，完全正相关. 例2（独立性检验）： 某校调查了 200 名学生，得到性别与是否喜欢运动的列联表如下： 性别 喜欢运动 不喜欢运动 合计 男 80 40 120 女 30 50 80 合计 110 90 200 在 下判断性别与是否喜欢运动是否有关. 解： ：性别与喜欢运动独立. 计算 . 临界值 3.841，16.5 > 3.841，拒绝 ，认为性别与喜欢运动有关. 【习题巩固】 1. 对变量 有观测数据 ，若 ，则下列说法正确的是（ ） · A. 与 正相关，相关程度较强 · B. 与 负相关，相关程度较强 · C. 与 不相关 · D. 无法判断 1. 在线性回归模型中， 的含义是（ ） · A. 残差平方和 · B. 总偏差平方和 · C. 回归平方和占总平方和的比例 · D. 相关系数 1. 对于非线性模型 ，通过取对数转化为线性模型，应设（ ） · A. ，得 · B. ，得 · C. ，得 · D. ，得 1. 独立性检验中，计算的 ，临界值 ，，则（ ） · A. 在 下认为有关，在 下也认为有关 · B. 在 下认为有关，在 下认为无关 · C. 在 下认为无关，在 下认为有关 · D. 都认为无关 1. （选做）某研究所为了检验某型号飞机零件的抗拉强度，测得零件长度 （cm）与抗拉强度 （MPa）的 10 组数据，通过计算得 ，，，，. · (1) 求经验回归方程. · (2) 求样本相关系数 ，并判断相关程度. · (3) 当 时，预测 的值. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A 1. C 1. A 1. B 1. (1) ，，； · (2) ，完全正相关； · (3) 时 （MPa）. 学科网（北京）股份有限公司 $