江苏扬州市新华中学2025-2026学年度第二学期高一数学期中考试试卷

扬州市新华中学20252026学年度第二学期 高一数学期中考试试卷 命愿人、审核人：平阳敏、王亚璇 满分，150分考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合愿目要求的. 1.已知0A=,3),0B=(4,-1)则B为() A.3-4) B.(4-3) c.(-34) D.（4,3) 2.海面上有相距10 amile的A,B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成6°的视角，从B岛想C岛和A岛 成75°的视角，则B,C间的距离为() A.10√5 nmile &.10V6 nmile 3 c.5√2amle D.5√6 amile 3.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin B+csinC<asinA,则△MBC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C纯角三角形 D.不确定 4.已知向量a,6满足同=l,=V反，且2ā-)16，则ā与6的夹角为() 2π 03x 4 则sin2a=（) 6.如图，在△MBC中，己知AB=8,AC=6,D为BC中点，则AD.BD=( A.7 B.-7 7.记△MBC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆半径为2√2，且 +c2=b'+√5ac,则△ABC面积的最大值为() k.1+√2 B.8 C.4+4W2 D.16+82 &已知角a,Be0引 且sinB=2cos(a+)sina,当anB取得最大值时，角a=() B.6 C. 二、多途愿（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 第1页共4页 9.下列等式正确的是() Asm26°c0s34+e0826sin34-日 B.29in222.5°-1=y2 csi加7°c0s75°=4 tan71°-tan26o D. 1+18n71°tan260 10.已知向量a=(L,2),b=(久，3)，则下列结论正确的是 人.若。、万可以作为基底，则入≠弓 B.若a--V2,则入=0 若6在a上的投影向量为a,则1=一 D.若a与方的夹角为二，则九=- 2 1L.在△MBC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列与△MBC有关的结论，正确的是() 4若a=2A=30°，则，b+2c sin B+2sin C B若a=4,且B=号时，满足条件的三角形有两锅，则be26 C若△MBC为锐角三角形，且B=石，则cosA+cosC的取值范围是 D.若a+b=cqsA+osB以c=1,则该三角形内切圆面积的最大值是3-22 4 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 2已知油9+5os9=2,0e0引则0- 3.在四边形ABCD中，B11CD,D=CD=BD=山AB=,则BC的值为 14.在边长为1的正方形ABCD中，C正=CD,F为战段BE上的动点，且C示=CB+CD,则 号+三的最小值为一若MW是正方形的内切圆的一条弦，当弦MW的长度最大时，则FM:FN的 最大值为 四、解容思（本题共5小题，共77分.） 5已知ae（;且如a2 3 (1)求sin2a的值，(2)若an(a+)=√5，求tanB的值， 第2页共4页 16.已知a,b,c分别是△1BC的内角么，B,C的对边，9=co9A b2-cosB CD求台，(2)若cosC-子AMBC的面积为5.求ab. 17.如图，在△ABC中，已知AB=2AC=4∠B4C=60,E,F分别为AC,BC上的点，且 -c,丽-c ()求丽， (2)求cos(AF,BE): O)若线段BE上一动点P满足2P丽+PA+PC=0,试确定点P的位置. 18.在0bcos -ccosB+C+wnC. 这三个条件中任选一个，补充在下面的问恩中，并进行解答， 问愿：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且一 (1)求角B: (2)己知b=√5，D为线段AC上的一点. ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值： ②若AD=2DC,求BD的最大值. 勿3页共4页 19.定义函数f(x)=asinx+bcosx的“积向量"为m=(a,b),向量m=(a,b)的“积函数"为 f(x)=asinx+bcosx. 6 D设向量m=3,的积函数为四，若/9且xe(石，求8ix的值 f⑨ (2)若向量m=(a,b)的“积函数"f(,)满足 4π tan 9 ,求二的值： a (3)已知mHn=1,设OP=1m+4(1>0,μ>0)，且O的“积函数”为h(x),其最大值为4，证明： f=+μ. 第4页共4页扬州市新华中学2025~2026学年度第二学期期中试卷 高一数学答案 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要 求的) 1.己知OA=(1,3),OB=(4,-1)则AB为() A.(3,-4) B.（4,-3) C.-3,4) D.（-43 【答案】A 2.海面上有相距1Oile的A,B两个小岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛 成75°的视角，则B,C间的距离为() A.10v3nmile B.10W6 nmile C.5√2 nmile D.5√6mile 3 【答案】D 【详解】由题意得，A=60°，B=75°，4B=10,则C=45,所以AB BC ,所以 sinC sinA 0x5 BC= 2=5√6，即B,C间的距离为5V6mile.故选：D 2 2 3.△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin B+csinC<asin A,则△ABC的形状为() A.锐角三角形 B.直角三角形 C钝角三角形D.不确定 【答案】C 【详解】因为2+c<d心，所以c0sA-+c-a<0,所以A>90°，所以△MBC的形状为钝角三 2bc 角形故选：C 4.已知向量ā，6满足=1，=V2,且2ā-)L6,则a与6的夹角为() A 2π 3 C. 3 n 【答案】A 【详解】因为2a-)16,所以2a-)b=2a.b-2=2a.万-2=0，得a.b=1,而 cos(a,b〉= a.B 1v2 所以ā与方的夹角为号 1 5.已知cos 4- -a= 3 则sin2o=() 2 2 7 A. 7 B. 9 C. D.- 9 9 【答案】D 6.如图，在△ABC中，已知AB=8,AC=6,D为BC中点，则AD.BD=() > A.7 B.-7 C.2 2 【答案】B 【详解】在AMBC中，血D为BC中点，得AD=B+AC,BD=Bc=CaC-A) 所以ADBD=AB+AC)4C-A8)=4C2-AB=62-8)=-7故选：B 7.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的外接圆半径为2√2，且 a2+c2=b2+√2ac,则△ABC面积的最大值为() A.1+√2 B.8 C.4+4V2 D.16+8N2 【答案】c【详解】因a+e=6+V反ac,则由余弦定理得，osB=Q+c2-6-巨 2ae 因B∈(0，)，则B= 6 ，设△ABC的外接圆半径为R,则R=2√5，由正弦定理 =2R得， 4 sin B b=2RsnB=4W5×2 =4,则a2+c2=b2+√2ac化简为a2+c2=16+√2ac, 2 闪16+vac=a+e2ac则c25=82+.等号成立时r=c-82V成之 acnB-c≤22列8=45+4则△BC重积的最大值为4-4 4 4 故选：C 8.已知角x,B∈ 0. 且sinB=2cos(a+B)sina,当tanB取得最大值时，角a=() 2 A. 2 B. c D. 6 4 3 【答案】B 【详解】己知simB=2cos(a+B)sina,可得：sinB=2(cosacos B-sinasin B)sin, sin B=2cosacos Bsina-2sin'asin B, 可得：sinB+2sin2 sin B=2 cosacos Bsin,得：sinR1+2sin2o)=2 cos acos Bsin, π 因为，B∈0 2 所以cosB≠0，simB≠0，等式两边同时除以cosB和1+2sin2au可得： tan B= 2cosasina ,上式可化为：tamB= sin2a 1+2sin'a 1+2sin2a 义因为a-上2a,代入上式可得.如p- sin2a sin2a 2 1+2x1-c0s2a 2-cos2a, 2 令t=tama,则sin2a=,2r 1+2’c0s2a=1-t2 i+P,代入tanB= sin2a 可得： 2-cos 2a 2t 2-}-20+r)-Q-51+3,因为a∈0， tanB=1+t2 2t 2t 2 ,所以t>0,则 1+t2 2t2 tan B= 1+3f31+ 根据均值不等式对于有：3t+之23×-23 t 当且仅当31=，即子=，1=，时等号成立 3 所以an,B=2s2_V5 233,即当t=Y3时，tanf取得最大值V3 3t+ 3 3 因为t=tanx= 5,且ae0, ，所以= 当tamB取得最大值时，角au= 6 6 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列等式正确的是() A.sin 26c+sn B2sim2.5-1=y2 1 C.sin75°cos75°=- tan71°-tan26° D. 4 =1 1+tan71°tan26 【答案】AD 【详解】对于A:sn26cos34p+c0s26°in3p=5m(26°+34p)=n60-J5 故A正确： 对于B:2sn22250-1=-cos45°=5，放B错误 2 1 对于C:sim75°cos75°=in50°sm80°-30)户，n30°=4，放c错误， 2 对于D: 1+tan71tan268-ta(71°-26°）=tan45°=1，放D正确. tan71°-tam26° 故选：AD 10.已知向量a=(1,2),五=(2,3)，则下列结论正确的是() 3 A.若a、五可以作为基底，则入≠ B.若a-=√2，则2=0 2 1- C若五在a上的投影向量为a,则2三 2 D.若a与方的夹角为2，则2=-1 【答案】AC 【详解】已知向量ā=(1,2)，b=（2,3),易知a、b均为非零向量， 3 对于A选项，若、万可以作为基底，则a、万不共线，可得2元≠3，解得元≠号，所以A对： 对于B选项，-b=(1-元，-1)，则a-=V1-2}+1=V2,解得1=0或2，所以B错： e5ai月收卧后-希同管- ab2+61 5=解得九一子·所以心对： 即 对于D选项.因为a与万的夹角为子则a-万=5cos买， 4 即+6=5x5x+9,整理可得 22-82-9=0 ,解得入=-1或9，所以D不对. 2+6>0 故选：AC 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为☑，b,c,下列与△ABC有关的结论，正确的是() A若a=2,A=30°，则，b+2C =2 sin B+2sin C B.若a=4,且B=元时，满足条件的三角形有两解，则b∈2√3,4) C.若△1BC为线角三角形，且B=行则cosA+cosC的取伯范围是 D若a+6=c(cosA+c)c=1,则该三角形内切园面积的最大值是3-22 4 【答案】BCD 【详解】对于A,根据正弦定理a=b三c =2R=4, sin A sin B sinC b+2c 得b=2 Rsin B,c=2 Rsin C.则 2Rsin B+2(2RsinC)=2R=4,A sin B+2sin C sin B+2sin C 对于B,根据三角形有两解的判定条件：a$inB<b<a,asin B=4×im60°=√3，故be2√5,4，B 正确. 时TeoA+eAo侣=4-子41and ,因为△4BC为锐角三角形，且B=T 0 2 2 inA=simA+π 2 6 3 则 cOsA+cosC的取值范围是 3 ,1],C正确. 2 对于D,因为a+b=c(cosA+cosB),所以sinA+sinB=sin C cos A+sin C cos B. sin(B+C)+sin(A+C)=sinC cos A+sin C cos B,sin B cosC+sin Acos=0, 有cosC(sinA+sin)=0,所以cosC=0,C=号R1BC中 a=ccos B=cos B b=csinB=inB,所以 a+b=sin B+cosB=sinB +因为80引uB+ 故a4+b≤V.三角形内切圆半径，=a+b-C_a+b-L≤V5-】,所以该三角形内切圆面积的最大值是 2 3-2W2 二π，D正确.故选BCD. 4 三、填空题（本题共3小题，每题5分，共15分） 12已知in9+5cas0=2.60写） 则0= 【答案】 6 3在四边形BCD中，AB/CD,AD=CD=BD=1,AB=,则BC的值为 【答案】V2 9 【详解】由题设∠BDC=∠BD,且cos∠ABD=AB+DB2-AD2 +1-13 2AB·DB 3 2×3x141 2 由BC=VDB2+DC2-2DB·DC cos BDC= /1+1- 3_V2 22 故答案为：V2 2 14.在边长为1的正方形BCD中，C2=1CD,F为线段BE上的动点，且CF=2CB+uCD,则 1+3的最小值为 :若MW是正方形的内切圆的一条弦，当弦N的长度最大时，则FM.FN的 A L 最大值为 【答案】16：4 【详解】根据题意由F为线段BE上的动点，可知F,B,E三点共线， 又CF=CB+uCD,可得CF=CB+3CE,因此1+3u=1,且>0，u>0, D 3u3 =16: 当且仅当入=4=时，等号成立，即，+二的最小值为16： 取内切圆的圆心为O,连接FO,如图所示： 易知弦MN的长度最大时，MN为直径，此时Od=: FMFN-(Fo+ov)(FO+ON)=(FO+OM)(FO-OM)-Fo'-ovFO' 显然当F可最大时，即F在点B处时， FO=2时，成N取得最大位 四、解答题（本题共5小题，共77分.） 15.已知∈ 2W2 (1)求sin2ax的值；(2)若tan(a+B)=√2，求tanB的值. 【详解】(1)因为∈ 2,π且sina= 2w2 所以c0sa=- 1 3 所以sinm2a=2 sin a cos0=- 4V2 …6分 9 （2)由(1)知：sima=22 1 ,C0S0=- 3 ,所以ama=-2V2, ba月=taa-小a15 √2+2W2 =-V2 …13分 16.已知a,b,c分别是△4BC的内角A,B,C的对边， b 2-cosB (1)求：(2)若cosC= ,△ABC的面积为V15,求a,b L 4 【详解】(1)因为=©osA b 2-cos B '由正弦定理得inA、cosA sin B 2-cos B 整理得到sin B cos A+cos Bsin 4=2sinA,即sin(B+A)=2sinA, 即sinC=2sinA,由正弦定理得c=2a,即C=2.…6分 (2)c-子得mC-isC= 4 ,又8e-bsnc=压，得b=8.…g分 由余经龙e-d+6:2csC,H白)加c-2a所以(2a=a-(8-1=0,整符 3a+4a2-64=0,即(3a2+16)(a2-4)=0,解得a=2或a=-2(舍)，b=4 所以a=2,b=4.…15分 17.如图，在△ABC中，己知AB=2,AC=4,B4C=60°，E,F分别为AC,BC上的点，且 正-}4c丽-}0 (1)求A: (2)求cos(AF,BE): (3)若线段BE上一动点P满足2PB+PA+PC=0,试确定点P的位置. 【详解】(1)依题意，记AB=a,AC=b, 因为AB=2,4C=4,∠B4C=60°，所以=2,6=4，a.五=2×4c0s60°=4， 因为丽背C,所以4-丽+亚-丽+c-西+ac-)号5+兮c-+}, 则-+-++-4+号6国55分 9°9 (2)因为4正=c,所以正=函+号4c=-丽+号4c=a+, 所以AF.BE= 6 6 则Cos(AF,BE= AF.BE 园 =0…10分 (3)因为AE=AC,所以8是AC的中点，故PA+PC=2PE, 2 因为2PB+PA+PC=0,所以2PB+2PE=0,即PB=-PE,所以P是线段BE的中点.…15分 18.在①bcos -c=ccosB:2S.3B4 BC:tam A+tanC+3=3tanAtanC, 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答， 问题：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c,且· (1)求角B: (2)已知b=√5，D为线段AC上的一点. ①若BD是边AC上的高，求BD的最大值； ②若AD=2DC,求BD的最大值. 【详解】(1)选择①：条件即bsinC=√3 c cos B,由正弦定理可知，sin BsinC=√3 sin Ccos B, 在△ABC中，B,C∈(0，π)，所以sinB≠0，sinC≠0， 所以sinB=V5cosB,且cosB≠0，即tanB=√5，所以B= 3 选择@：条件2SAo-V5a4-BC即2×)acsin B=VBca6osB,即inB=V5c0sB, 2 在A4BC中，B∈(0，π，所以sinB≠0，则cosB≠0，所以tanB=V5,所以B= 3 选择③：条件即tanA+tanC=V5(（tan AtanC-1),所以tanB=-tan(A+C)=: tan A+tanC=, 1-tan Atan C 在AMBC中，B∈(0，元)，所以B=元. …5分 3 (2O因为△MC面积S-5xBD-cmB,所以BD- ac 在△ABC中，由余弦定理得：b2=a2+c2-2 ac cos B 所以a2+c2-ac=3≥2ac-ac=ac,从而ac≤3当且仅当a=c=√3取等. 所以BD的最大值为2…11分 2 b ②由正弦定理得： =2R=2,R为△ABC外接圆半径， sin B 因为BDa+号C,则D:=c+r+2ac=AR6 sin'Cin4+2sinAsinc 3 3 1 9 421 3 、-sin AcosA 4211-cos2A31+cos2A,35 2 ×sin2A 2 94 4 4 23. 12 则BD的最大值为3+V5 …17分 3 19.定义函数f(x)=ainx+bcosx的‘积向量”为m=(a,b),向量m=(a,b)的“积函数”为 f(x)=asinx+bcosx. 1)设向量m=(5.1)的积函数为f),若f)-且x∈(-孕，求si的值： 6 63 ⑨ 4元 (2)若向量m=(a,b)的“积函数”f(x)满足 -=tan 9,求2的值： a (3)己知m=n=1,设OP=m+n(2>0,u>0),且OP的“积函数为h(x),其最大值为t,证明： t=2+u. +日号则m(c+马=3 【详解】(1)依题意，f)=V5sinr+cosx=2sim(c+乃= +6=5 由x∈（孕，得x+e0,5,则cos+1 63 6 65 isr=m+2-名=ne+)en(-gn95专}3v4分 661 6 “6525210 b (2)向量m=(a,b)的“积函数”为f(x)=asinx+bcosx,令二=tan8, asin元+bcos刀 sin元+bcos tan元 .元，b tan元+tane 9 则 9 °9二 9a= 9 11 ）asin +bcos- l心cs元bsn，an网 b 18 18 9 1-tanztano 0+刀=m+ 4π 于是tan(a+=tam 4 9 9 9 ，即0=m+号keZ 所以名m0=tn(c+孕=5.…1o分 (3)m=(cosa,sina),n=(cosB,sinB), OP=(cosa,sina)+ucosB,sinB)=(cosa+ucosB,Asina+usinB) h(x)=(acosa+ucosB)sinx+(Asina+usinB)cosx Asin(x+a)+usin(x+B),h(x)=Asin(x+a)+usin(x+B)+u, +a-径+2 当且仅当存在x,使得 时取等号，k,飞∈Z, x+B=+2k元 两式相减得a-B=2(化-飞2)π，则a=B+2km,k∈Z,即m=n, 因此h(x)=2sin(x+o)+usin(x+B)=(2+)sin(c+ax)≤2+u, 所以t=见+山.…17分