江苏南京市金陵中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷

金陵中学2025～2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题：从品 审题：朱骏 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 设，则（ ） A. 511 B. 512 C. 1023 D. 1024 2. 已知随机变量，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若直线被圆截得的弦长为，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 已知在平行六面体中，向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A. 5 B. 6 C. 4 D. 8 5. 某学校一同学研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，该同学记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（ ） A. 样本中心点为 B. C. 时，残差为 D. 相关系数 6. 若圆锥的底面直径与球的直径相等，且圆锥的体积与球的体积相等，则圆锥的侧面积与球的表面积之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知随机变量和，其中，且.若的分布列如下表，则（ ） 1 2 3 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（ ） A. B. C. 5 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是双曲线：右支上一点，，分别是的左、右焦点，为坐标原点，，则（） A. 的离心率为2 B. 的渐近线方程为 C. D. 的面积为3 10. 已知甲箱中有2个红球和3个黑球，乙箱中有1个红球和3个黑球（所有球除颜色外完全相同），某学生先从甲箱中随机取出2个球放入乙箱，再从乙箱中随机取出1个球，记“先从甲箱中取出2个球中恰有个红球”为事件（），“从乙箱中取出1个球是黑球”为事件，则（ ） A. B. C. D. 11. 如图，曲线（）上的点与轴非负半轴上的点，（）构成一系列斜边在轴上的等腰直角三角形，记为，，…，（为坐标原点）.设的斜边长为，点，的面积为，，则（ ） A. 数列的通项公式 B. 数列的通项公式 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 学校要从4名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为，则______. 13. 已知一道解答题有两小问，每小问5分，共10分.现每十个人中有六人能够做出第一问，但在第一问做不出的情况下，第二问做出的概率为0.1；第一问做出的情况下，第二问做不出的概率为0.6.用频率估计概率，则此题得满分的概率是______；得0分的概率是______. 14. 已知和分别是函数（且）的极小值点和极大值点．若，则a的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是50岁以上人群，该病毒进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间，潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对400个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为，如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，50岁以上人数占，长期潜伏人数占25%，其中50岁以上长期潜伏者有60人. （1）请根据以上数据完成列联表，并判断是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关； 列联表，单位：人 50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计 长期潜伏 非长期潜伏 总计 （2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，现在很多省市对入境旅客一律要求隔离14天，请结合原则通过计算概率解释其合理性； 附： 若，， 16. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求证：． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 18. 椭圆的离心率是，点是椭圆上一点，过点的动直线与椭圆相交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）当直线的斜率为1时，求的面积； （3）在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使恒成立？存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 19. 近年来，数学标准化测试中出现了一种新题型：多项选择题.假设该类型题目在，，，这4个选项中仅有两个或三个为正确选项.题目得分规则为：全部选对的得6分，部分选对得部分分（有两个选项正确时每个正确选项得3分，有三个选项正确时每个正确选项得2分），有选错的得0分. （1）假设某道多项选择题有三个正确选项，某考生因不会做而随机蒙选一种答案，可以只含一个选项、只含两个选项或只含三个选项，且蒙选每种答案的可能性相等，记该考生本题得分为，求的分布列和数学期望； （2）若某次测试共有（）道多项选择题.记事件（）为正确选项有个，第（且）题事件的概率为.假设各题的正确选项个数有如下规律：第一题正确选项为两个的概率为；若第（且）题正确选项为两个，则第题正确选项为两个的概率为；若第（）题正确选项为三个，则第题正确选项为三个的概率为. ①证明：为等比数列，并求出； ②若某考生第题蒙选，记表示该生第题的得分，求出. 金陵中学2025～2026学年第二学期期中考试 高二数学试卷 命题：从品 审题：朱骏 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】1 【13题答案】 【答案】 ①. 0.24## ②. 0.36## 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】 50岁以下(含50岁) 50岁以上 总计 长期潜伏 40 60 100 非长期潜伏 80 220 300 总计 120 280 400 ，有以上的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）因为， 所以潜伏期超过14天的概率很低，因此14天是合理的 【16题答案】 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知， 所以． 所以 ， 因为， 所以，即数列为单调递增数列， 又， 所以，即. 【17题答案】 【答案】（1） （2）且. 【18题答案】 【答案】（1） （2） （3）存在， 【19题答案】 【答案】（1）的分布列为 期望为； （2） ①由题意知， 所以， 又，所以， 所以是以为首项，以为公比的等比数列． 所以， 所以． ②. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $