湖南衡阳市祁东县第一中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试题

**基本信息** 以国民体质调查、知识问答比赛等真实情境为载体，融合统计、概率、立体几何等模块，考查数据意识、运算能力与推理意识，适配高二期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、线性回归、向量|基础概念与运算结合| |多选|3/18|统计图表、等比数列、条件概率|多维度辨析与数据分析| |填空|3/15|导数切线、二项式定理、排列组合|空间想象与逻辑推理| |解答|5/77|独立性检验与分布列、解三角形、立体几何二面角、概率期望与数列证明、抛物线综合|真实情境建模（如体质调查）、跨模块综合（如概率与数列）、创新探究（如抛物线斜率讨论）|

祁东一中2026年上期中考试 高二数学 扫描关注错趣 班级 姓名 学校 考场号 贴条码区域 座位号 注意事项 谁推考证号 1答题前请将姓名、班级、考场、座号和准 考证号填写清楚。 [0] 0 0 [0] 07 [1] 2.客观题答题，必须使用2B铅笔填涂，修改时 [1] L1] 1] [1 [2 2 2 2] 2] 2 [2 用橡皮擦干净。 [3] 3] [3] 3] [3] 3 31 3.主观题必须使用黑色签字笔书写 [4] 4] [4] 4] 4] [4] [4] 4必须在题号对应的答题区域内作答，超出 [5] 5 [5 L5] [5] [5] [5] [5] 5j 答题区域书写无效， [6] 6 61 6 6] 6 6] 6 61 [6 5保持答卷清沾完整。 [7 7 71 71 7 [7 [8 8 [8 8 [8] [8] [8] [8] t8) [9] [9] [9] 97 [9 [9 9 9 [9 正确填涂☐ 错误填涂 考生禁填 缺考☐ 违规☐ (由监考老师填涂) 、 单项选择题（共8题，共40分） 1【A]【BJCI[DI 5 IA][B]ICI[D] 2 【AJ[B]IC]IDI 6[A]IB][C】IDj 3 IAI IBIICIIDI 7[A】[B][C][DJ 4[AJ[B]【CJ[Dj 8【A】[B][C][DJ 二、多项选择题（共3题，共18分） 9[A】[B]IC][DJ 10[A】[B][C][DJ 11 [A][B]IC]ID] 填空题 12 13 14、 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第1页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 主观题（共5题，共77分） 15.(13分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第2页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第3页共6页 请保持答题卡干净整洁，不要污损 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) A D B C B 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 第4页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第5页共6页 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的作答区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 第6页共6页 祁东一中2026年上期中考试高二数学试题卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分）命题人：汪爱玲，审稿人：蒋天赋 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。(每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。) 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知两个变量x和y之间具有较强的线性相关关系，且y关于x的经验回归方程为，由它计算出成对样本数据对应的残差为0.12（残差=观测值-预测值），则（ ） A．0.28 B．0.56 C．0.34 D．0.48 4．已知非零向量，满足，且，则与的关系是（ ） A．垂直 B．共线 C．夹角为 D．夹角为 5．为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（ ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 6．甲､乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A． B． C． D． 7．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（ ） A．35 B．36 C．42 D．50 8．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，，，分别为圆锥的母线，，，则三棱锥体积的最大值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分。(在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。) 9．某部门30名员工一年中请假天数（未请假则请假天数为0）与对应人数的柱形图（图中只有请假天数为0的未显示）如图所示，则（ ） A．该部门一年中请假天数为0的人数为10 B．该部门一年中请假天数大于5的人数为10 C．这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4 D．这30名员工一年中请假天数的平均数小于4 10．已知为等比数列的前项和，为的公比且，，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．在三个地区暴发了流感，这三个地区分别有的人患了流感，假设这三个地区的人口数之比为，现从这三个地区中任意选取一个人，下列结论正确的是（ ） A．若此人选自地区，则其患流感的概率为0.05 B．此人患流感的概率为0.0485 C．若此人患流感，则其选自地区的概率为 D．若此人患流感，则其选自地区的概率为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。 12．已知函数．则曲线在点处的切线方程为_____________． 13．在的展开式中，项的系数为_____________． 14．如图，现有两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，将8人（含甲、乙、丙）随机安排在这两排座位上，则甲、乙、丙3人的座位互不相邻（相邻包括左右相邻和前后相邻）的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．(13分《国民体质测定标准（2023年修订）》将体质情况综合评级为优秀、良好、合格和不合格四个等级．某地区为了解国民体质情况是否与爱好运动有关，从该地区体质达到“合格”及以上的人群中随机抽取了人进行问卷调查，得到如下列联表： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 (1)求的值，并依据小概率值的独立性检验，分析体质情况是否与爱好运动有关； (2)在体质情况综合评级为“合格”的对象中，按是否爱好运动进行分层，用比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取6人作进一步调查，再从这6人中随机抽取2人线下访谈，记这2人中“爱好运动”的人数为X，求X的分布列及数学期望． 附：，其中． 16．(15分)记的内角的对边分别为，已知，点与分别在直线的两侧，且． (1)求证：； (2)若，求． 17．(15分)如图，在直三棱柱中，D为的中点． (1)证明：平面． (2)若，求二面角的余弦值． 18．(17分)某校组织知识问答比赛，每名参赛选手都赋予6分的初始积分，每答对一题加1分，每答错一题减1分，已知小王每道题答对的概率为，答错的概率为，且每道题答对与否互不影响． (1)求小王答3道题后积分小于6的概率； (2)设小王答4道题后积分为X，求E(X)； (3)若小王一直答题，直到积分为0或12时停止，记小王的积分为i（i=0，1，2，…，12)时，最终积分为12的概率为Pi，则P0=0，P12=1， (i) 证明：数列{ Pi+1 −Pi }（i=0，1，2，…，11）为等比数列； (ii) 求P6的值． 19．(17分)设抛物线E：的焦点为F，过点的动直线l交抛物线E于，两点，点，当直线垂直于轴时，． (1)求抛物线E的标准方程； (2)若直线l过点T，求的面积； (3)若直线平分，求直线l的斜率． 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《祁东一中2026年上期中考试高二数学试题卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B B A C D B ACD AD 题号 11 答案 ABC 12．(1) 13．10 14． 1．C 【分析】根据条件得到，再利用集合的运算，即可求出结果. 【详解】由，得到，所以，又， 所以， 故选：C. 2．C 【分析】根据条件，利用复数的运算法则，得到，再利用复数的几何意义，即可求出结果. 【详解】因为，其对应的坐标为， 故选：C. 3．B 【分析】先根据回归直线估计得出预测值，再残差计算求解计算求参. 【详解】因为y关于x的经验回归方程为， 所以预测值为，又因为残差=观测值-预测值， 所以， 所以. 故选：B. 4．B 【分析】由题意结合数量积定义直接计算得即可得解. 【详解】设已知两个向量的夹角为θ， 由题 ， ，所以共线. 故选：B. 5．A 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 6．C 【分析】利用独立重复事件，分析获胜情况，即可求出概率. 【详解】甲第一局获胜并最终以获胜，说明甲､乙两人在5局比赛中，甲胜了4局，输了1局， 并且输掉的这局为第二局或第三局或第四局，故概率为. 故选：C 7．D 【分析】以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，最后求和得到总安排数. 【详解】有四类不同的安排情形： ①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱， 有种不同的安排方法； ④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱， 有种不同的安排方法； 综上，不同的安排方法共有种. 【点睛】本题是分类加法计数原理 + 分组分配问题，核心方法是按特殊元素或位置分类，结合均匀 或不均匀分组与排列计算. 8．B 【分析】根据已知条件求得母线长，以及长度，从而确定为底面圆直径；再求三角形面积的最大值，即可求得三棱锥体积的最大值. 【详解】因为，，故母线， 又，故，故为底面圆直径； 对三角形，设边上的高为，则其面积， 当且仅当为弧的中点时取得最大值； 故三棱锥体积. 9．ACD 【分析】根据柱形图逐一判断各个选项即可. 【详解】对于A,该部门一年中请假人数为0的人数为，A正确． 对于 B,该部门一年中请假天数大于5的人数为，B错误． 对于C,因为，且请假天数为0的人数为10，请假天数为4的人数为6， 所以这30名员工一年中请假天数的第40百分位数为4，C正确． 对于D,这30名员工一年中请假天数的平均数为，D正确． 故选：ACD. 10． AD 11．ABC 【分析】应用条件概率计算判断A，应用全概率公式计算判断B，根据贝叶斯公式计算判断C，D. 【详解】设“此人患流感”，， 所以，故A正确； 所以，故B正确； 若此人患流感，则其选自地区的概率为，故C正确； 若此人患流感，则其选自地区的概率为，故D错误， 故选:ABC. 12．(1) 13．10 【分析】依据多项式乘法的法则得到含项只需要其中三个因式取第四个因式不取即可. 【详解】展开式中项的产生， 可以看作，，，四个括号中三个括号取， 一个括号取常数，所以项的系数为. 14． 【分析】先按3人的座位在第二排的人数进行分类，再根据分类计数原理与古典概型概率公式可得. 【详解】甲、乙、丙3人的座位互不相邻的情况分为三种： 第一种，这3人都在第二排，共有种不同的安排方法；    第二种，这3人中2人在第一排，1人在第二排， 共有种不同的安排方法；    第三种，这3人中1人在第一排，2人在第二排， ①若第一排的这1人安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法，    ②若第一排的这1人不安排在中间的位置， 则有种不同的安排方法．      故甲、乙、丙3人的座位互不相邻的概率为． 故答案为：. 15．(1)，体质情况与爱好运动有关. (2)的分布列为： 0 1 2 . 【分析】（1）求出参数值并完善表格，根据公式计算的值后可得正确判断； （2）先确定的所有可能取值，根据超几何分布计算概率后结合期望公式可求. 【详解】（1）由表中数据可得，表格完善如下： 体质情况组别 合格 良好及以上 合计 爱好运动 不爱好运动 合计 设：体质情况与爱好运动无关， 则， 根据依据小概率值的独立性检验，否定，故体质情况与爱好运动有关. （2）易知名体质情况“合格”对象中有人爱好运动，人不爱好运动， 故的所有可能取值为0，1，2， ，，， 即所求分布列为 0 1 2 所以的期望. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先应用正弦定理得出，再结合两角和差的正弦公式，最后结合角的范围即可证明； （2）应用正弦定理边角转化，再结合余弦定理计算即可. 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， 或， 或（舍去），． （2）在中，， ，， 在中， ，， 在中，由余弦定理得：， ，. 17．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点E，连接，运用中位线性质得到，后运用线面平行判定证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点坐标，求出平面法向量和平面法向量，后运用向量夹角公式计算即可. 【详解】（1）证明：连接交于点E，则E为的中点． 连接．因为D为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）取的中点O，连接． 因为，所以，且． 以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为， 则 令，得． 易知平面的一个法向量为． ． 由图可知，二面角为钝角， 所以二面角的余弦值为． 18． 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据题意得到，解出即可； （2）首先计算出的方程：，再将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，最后利用面积公式即可得到答案； （3）设直线，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再利用，代入计算得，最后代入，以及韦达定理式即可得到方程，解出即可. 【详解】（1）由题意，当点横坐标为2时，点到准线的距离为3， 即，解得， 所以拋物线的标准方程为：． （2）点，设． 此时直线的斜率为，的方程可写为． 与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，，， 此时面积为． （3）设直线的斜率为，显然，则设直线方程为：， 将其与抛物线方程联立得：． 由韦达定理，. 由题意：． 又，所以． 又因为，， 代入化简得：． 即． 又，故． 即，解得：． 第 2 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $