浙江兰溪市第五中学2025-2026学年高三下学期数学周测(6)

兰溪市第五 参考 1.D:=1-1=-1-i,复 2 数之的虚部是一1. 2.A sin (0+)=cos[-(0+ ]=o(-0)=os(0-)=3 os0-)=号 3.B:极差为19-1=18，平均数为 号1+3+m+17+19)=号40+m), ∴号(40十m)=18,解得m=5 4.B若a⊥b,则(m十3)2一5(2m+1)= m2-4m十4=(m-2)2=0→m=2.若|m 2,则m=2或m=一2.故“|m=2”是“a⊥b” 的必要不充分条件 5.Af(x)定义域为R,f(-x)= =2x一3sim工=-f(x),故f(x)为奇函数，排 erter 除C,D.当x>0时，f(x)>0,故排除B,故 选A 6.B易知AO=√2，故PA=2,AC=22, 故AB=2,则正四棱锥的表面积为2十4× 停xg=4+1E 7.A由2X3=2,解得a=3,A(3.0), k=产3为直线AP的斜率， .当直线AP与半圆x2十(y一1)2= 1(x>0)相切时，k最小， 此时设直线AP的方程为y=k(x一3)， -1-3k1=1. √k2+1 解得长=子或k=0(会去.仙=是 8.C设抛物线的准线为l,过点A,B分 别作l的垂线，垂足分别为C,D,过点A作直 线BD的垂线，垂足为G,AG交x轴于点E (图略) 盒产-品2，C-乡 因为1AF=3,所以BF=, 所以1AC=3,BD1-三，EF=3-p, 中学周测(6) 答案 易知△AEro△GB,所以品-. 即3。=3-2，解得p=2, 所以抛物线的准线方程为x=一1. 9.BCD对于A项，当a=0时，f(x)= |cosx,其最大值为1，最小值为0，f(x)的最 大值与最小值的差为1，故A项错误； 对于B项，当a=1时，f(x)=|cosx+1 =1+cosx,f(π-x)=|cos(π-x)+1|= |1-cosx|=1一cosx,因此对任意x∈R, f(x）十f(π-x)=2=2a,故B项正确： 对于C项，fx+)=os5+x)+a la-sin zl,f(-z)=|cos(2-x)+a= la十sinx,当x=元时，f(x+罗)=f(受 x)=a,故C项正确： 对于D项，当a=0时，f(x)=|cosx|,取 T=受，x。=至，使得对任意n∈乙，都有 f(xo)=f(x。十nT),故D项正确 10.ABD对于A,如果甲必选物理，那么 甲的不同选科方法种数为C=10,故A正确； 对于B,在甲选了物理的条件下，甲还需从 化学、生物学、政治、历史、地理中选2门，共有 C=10种选法，其中选化学的选法有C=4 种，故在甲选了物理的条件下，甲选化学的概 率是音号故B正确： 对于C,乙、丙两人至少有一人选化学包含 乙、丙两人都选化学，故C错误： 对于D,乙选物理的概率为 1 C2,丙选物 C21 理的概率 为。2，因为乙选物理和丙选物理 相互独立，所以乙、丙两人都选物理的概率是 11.ACD (y)3=8xiy 8,+明≤2，当且仅当 y=1时取等号，.A项正确 xo|≤2，∴.满足xo∈Z且yo∈Z的 点P共有(-1，-1)，(-1,1)，(0,0)，(1， 一1)，(1,1)这5个，B项错误. 曲线E:(x2+y2)3=8x2y2关于x轴、 y轴、坐标原点、y=士x对称，∴.C项正确. :曲线E具有对称性，∴只需研究曲线E 在第一象限上的点的横坐标或纵坐标为整数 的情况，令x。=1,则(1+y2)3=8y2,不妨设 y>0,则有1+y2=2y, 令y=1,>0,则1+2=21，∴(t-1)· (2+1-1)=0,解得1=1或1=5-1 2 1+y=2y有两个正根1,5。 ∴结合曲线的对称性可知在第一象限，横 坐标或纵坐标为整数的点共有3个：(1,1)，（1， .( ∴，整个曲线上横坐标或纵坐标为整数的 点共有13个， ∴.任取一点P(xo,y),该点满足xo∈Z 且%∈之的概率为D项正确 12.{x一4≤x<0!因为集合A={x 4x-x2>0}=[0,4],全集U={x-4≤x≤ 4,所以CA={x|-4≤x<0. 13.2:x为方程xe十e21nx-2e2= 0的根， ∴x8eo=e2(2-lnxo),∴xe= .令g(x)=xe(x>0),则g'(x） e(x十1)>0，∴·g(x)在(0，十o∞)上单调递增 Tg(hn)-i o lnxo,∴.xo十lnxo=2. 14压+灯因为器A家兰 所以b2+e2=2 ecos A+36 sin A,b+c- bc b2+c2+2bc 2bccos A+3bcsin A+2bc_ bc bc 2cos A+3sin A+2=13 sin(A+)+ 丽+2，其中0<9<登m9=后 2 3 c0s93 当且仅当A十9=受，即A=-9时，等 号成立 又6+c_6+c+2c≥26c+2c=4. bc bc bc 当且仅当b=c时，等号成立， 此时，sin(A+o)= 2 =sinp,得A+ √13 9=π一p, 即当A=π-20时，取得最小值4，故 b+'∈[4，v3+21. bc 15.解：(1)因为a1=3,a+1=a,所以 an>0,所以logsa+1=3log3am… 因为a1=3,所以loga1=1, 所以{log3a.是首项为1，公比为3的等比 数列， 所以logsa=1×3-1=3"-1,即b.= 3”-1.(3分) 设数列{cn}的公比为q. 由题意知c1=b1=1,c5=b2=3, 所以c1·g=q=3. 又因为c.>0,所以g=3,所以c。= (3）-1. 因为bn=c,所以31=(3)，1 所以dn=4n-3.(7分) ad_4n一3 (2)由(1)可得6=3， 所以8=司++…+ 1 3+ 3 0-®.得号5.=1+4x(分++…叶 3)-3=1+4× 1-(》门 3" 1 4n-3=3-4n+3 3· 94n+3 所以5，-22x3.13分) 16.解：(1)完整的2×2列联表如下： 每天“云课堂”学每天“云课堂”学 习时长超过6习时长不超过6合讨 小时 小时 优秀 20 5 25 不优秀 10 15 25 合计 30 20 50 (4分) (2)由上表中的数据可得 X2=50×(20X15-10×5)2 25×25×30×20 ≈8.333> 7.879. 所以有99.5%的把握认为学生成绩优秀 与否与每天“云课堂”学习时长有关.(7分) (3)由题意可知，X的所有可能取值为0， 2,4,6 且P(x=0)=C8×(号)”×号)°=27 P(x=2)=Cx('×)-号， P(X=)-CG×()'×》'-号 P(X=6)=CG×(}°×°= 所以随机变量X的分布列为 X0246 所以EX)=0×+2号+4×号+6x 84(5分) 17.(1)证明：连接CA1,交AC1于点O,连 接OE,在直棱柱中，AC=AA1=2,显然O是 CA1的中点，又E是BC的中点，故OEBA1, 又OEC平面AEC1,BA1士平面AEC1,则 BA1/平面AEC1.(5分) (2)解：根据直三棱柱ABC-A,B,C,中 ∠BAC=90°，可构建如图所示的空间直角坐 标系， 所以平面ABB,A1的一个法向量为m= (0,1,0),又E(1,1,0).C1(0,2,2).所以AE (1,1,0),AC=(0,2,2).设n=(x,y,2)是平 面AEC,的法向量， AE·n=x+y=0, 则 令y=一1，则 AC·n=2y+2=0, n=(1,-1,1). 所以平面AEC1与平面ABB,A,的夹角 的余弦值为m,m1=册设- (11分) (3)解：由B1(2,0,2),知AB=(2,0,2), 监品到平面AC,的矩高为”严 言9as分 a=2 18.(1)解：由题意可得 (》解 + a2=b2+c2, 圆E的能金方程为号1分列 (2)①证明：先求椭圆在其上一点处的切 线方程， 设椭圆上一点为(xo,yo),xo≠0，yo≠0， 椭圆在该点处的切线方程为y一y。=k(x xa）. [y-yo=k(r-xo), 得(3+4k2)x2+ 8k(y0-kx)x+4(yo-kxo)2-12=0, ∴△=[8k(y-kxo)]2-4(3+4k2)· [4(y0-kxo)2-12]=0, .(4-x)k2+2 kxoyo+(3-y)=0, 即号发+2张+要=0，k 3.x0 4yo 故切线方程为y一=-3（红一），即 4yo +g=1. 4 3 A(zA.yA),B(z8,yB),M(4.t), 则椭圆E在点A(xA,yA)的切线AM的 方程为+罗-1，在点B(%处的切 3 线BM的方程为华+=1 由直线AM,BM过点M(4,t),得 +学=1 4 3xA十yA=3, 即以 3xB十tyB=3, 故点A(xA,yA),B(xB,yB)在直线3.x十 ty=3上， 故直线AB的方程为3x十y=3. 当t=0,即M(4,0)时，直线AB的方程为 x=1,则MF2⊥AB: 当：≠0时，直线AB的方程为y=；十 至又F,.0).则k,=后 km·k想=台·(-)=-1，即 MF2⊥AB. 综上所述，MF:⊥AB.(11分) ②解：由①可知，直线AB的方程为3x十 ty=3. 3x+y=3, 得(t2+12)y2-6ty =1, 27=0. 显然，△>0， -27 yA十ya+12yAa=P+12 易知直线AB过点F2,又MF,⊥AB, ÷SaB-2·AB·MF, -(-4 -27 V(4-1)+7_2(2+9WP+9 t2+12 令m=√P+9,m≥3， 则SAMm=2(+9WP+9 =2m3 2+12 m2+3 2 当m=3时，S6取得最小值(17分) 19.解：(1)由g(x)=x+(2a-1)cosx, 得g'(x)=-(2a-1)sinx+1,g"(x) -(2a-1)cos x. 由曲线y=g(x)在点(0，g(0)处的曲率 为得- (1+1)4 解得a=0或a=1. 又a<号∴a=0.(4分) (2)由(1)得g(x)=x-cosx,g'(x)= 1+sin x. f(x)=esim(受+x）=co, 对任意的x∈[-受，0小，m时(x) g'(x)≥0， 即对任意的x∈[-受，0]，me cos sinx-1>≥0恒成立. 当x=一时，m·0+1-1=0≥0，不等 式恒成立， 当x∈(-受.0]时，c0sx>0,原不等式可 化为m≥sinx+1 ecosx 令Au)-他-吾刘 则h'(x)= (cos r)e'cos x-e'(cos x-sin x)(sin x+1) (e'cos r)2 =1-sin rcos r-cos r+sin x e'cos'x =1-cosx01+sinr≥0. e'cos'x h(x)在区间（一受，0上单调递增， ∴h(x)mx=h(0)=1, m≥1. 综上所述，实数m的取值范围为[1，十○). (10分) (3)xn+1>xn十2x.证明如下： 方程f(x)=g'(x)可化为e'cos sin x-1=0. 令p(x)=e'cos-sinx-1,则p'(x)= e (cos x-sin x)-cos x. 当x∈(2mx+5,2mx+2)(n∈N)时， cos x<sin x,cos x>0, ∴g'(x)<0, g女)在区间(2mx+子，2mx+)(u∈ N”)上单调递减 又：g2mx+》 =cos(2mx+3）-sim(2mx+g）-1 --1>2xg 2 1>0, g(2mx+)=-2<0, ∴.对确定的n∈N”,存在唯一xo∈ (2m元+号，2m+),使得(x)=0, 又x.∈(2mx+5,2mx+), x1-2x∈(2mx+5,2mx+）. 则(x+1一2x) =em-2 cos (x+-2x)-sin (+ 2π)-1 =e'cos z+-sin+-1 ecos +-ecos =(e--e)cos<=(). 由(x)单调递减，可得x+1一2π>xm, ∴.xm+1>xm十2元.(17分)兰溪市第五中学周测(6) 班级 姓名 学号 得分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1,若复数之满足=1（为虚数单位），则文的虚部是 A.i B.1 C.-i D.-1 2.若sim(0+)=3,则cos(0-）= 1 A. 号 22 D、 3.已知一组从小到大排列的数据：1,3，m,17,19.若其极差等于平均数的2倍，则m的值为 A.4 B.5 C.6 D.8 4.已知向量a=(m十3,2m十1)，b=(m十3，一5)，则“|m=2”是“a⊥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 函数f)2牛兰的图象大致为 A B C D 6.已知正四棱锥P-ABCD的底面正方形的中心为O,高PO=√2，∠PAO=45°，则该四棱锥的表 面积是 A.4+22 B.4+4√3 C.4+4√2 D.4+2√3 7.如图，在半径为2的圆中，P(x,y)是阴影部分内（包括边界）的动点，第一象限内的阴影部分为 y 坐圆、A为双曲线31(@>0)的右顶点，过双曲线的焦点并垂直于实轴的弦的长是2 设直线AP的斜率为k,则k的最小值为 3 A.- 4 4 B.- 3 -2 2 c.-3 D.- 2 8.过抛物线y2=2z(p>0)的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，O为坐标原点，若。三 2,AF=3,则抛物线的准线方程为 A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=|cosx十a,则下列结论正确的有 A.对任意a∈R,函数f(x)的最大值与最小值的差为2 B.存在a∈R,使得对任意x∈R,f(x)十f(π-x)=2a C.当a≠0时，存在非零实数x,使得f(x十)=f(-x) D.当a=0时，存在T∈(0，π)，xo∈R,使得对任意n∈Z,都有f(xo)=f(xo十nT) 10.甲、乙、丙三人准备从物理、化学、生物学、政治、历史、地理6门学科中任选3门学习，则下列结 论正确的是 A.如果甲必选物理，那么甲的不同选科方法种数为10 B.在甲选了物理的条件下，甲选化学的概率是 C.乙、丙两人至少有一人选化学与这两人都选化学是对立事件 D乙、丙两人都选物理的概率是 11.如图，这是曲线E:(x2+y2)3=8x2y2,设P(xo,yo)和Q(x1,y1)为曲线E上的任意两点，且 满足P∈{(xo,yo)xo∈Z或yo∈Z,则下列结论正确的有 A.x+y≤2 B.满足xo∈Z且yo∈Z的点P(xo,yo)共有4个 C.曲线E关于直线y=士x对称 D,住取一点P(x3),该点满足∈乙且y∈乙的概率为 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设全集U={x|-4≤x≤4}，集合A={xy=√4x-x2},则CuA= 13.若xo为方程xe十e2lnx-2e2=0的根，则xo十lnxo= 14.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=3 esin A,则b+c的取值范围 bc 为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知数列{am}满足a1=3,am+1=a,记bn=log3am,在{bn}中每相邻两项之间都插人3个正 数，使它们和原数列一起构成一个新的正项等比数列{cn},记数列{b,}中的第n项是数列{cn} 中的第d,项 (1)求数列{bn}及{d,}的通项公式： (2)求数列6 的前n项和Sn 16.(15分) “云课堂”是基于云计算技术的一种高效、便捷、实时互动的远程教学课堂形式.使用者通过互 联网界面进行简单的操作，可快速高效地与全球各地的学生、教师、家长等不同用户同步分享 语音、视频及数据文件.随着计算机虚拟技术的不断成熟，虚拟课堂在各大院校以及企业中的 应用更广泛、灵活、智能，对现今教育体制改革和职业人才培养起到重要的推动作用.某大学 采取线上“云课堂”和线下面授相结合的形式授课现为调查学生成绩优秀与否与每天“云课 堂”学习时长是否有关，某团队随机抽取50名学生进行学习时长统计，并按学生每天“云课堂” 学习时长是否超过6小时分为两类，得到下面的2×2列联表： 每天“云课堂”学习时长超过6小时 每天“云课堂”学习时长不超过6小时 合计 优秀 5 不优秀 10 合计 50 已知从这50人中随机抽取1人，此人成绩优秀且每天“云课堂”学习时长超过6小时的概率为 0.4. (1)请将上面的2×2列联表补充完整（不用写出计算过程）. (2)是否有99.5%的把握认为学生成绩优秀与否与每天“云课堂”学习时长有关？ (3)该校通过“云课堂”学习的学生，在期末测试时被要求现场完成答题，每答对一道题积2分， 答错积0分，每人有3次答题机会（假设每个人都答完3道题）.已知甲同学每道题答对的 概率为号，3道题之间答对与否互不影响设甲同学期未测试的得分为X,求X的分布列 与数学期望. 附：X2= n(ad-bc)2 a+b)(c+d)(a+c)(b+d,其中n=a+b+c+d. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 Ia 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17.(15分) 如图，在直三棱柱ABC-A1B,C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA,=2,E是BC的中点. (1)求证：A1B平面AEC1. (2)求平面AEC1与平面ABBA1的夹角的余弦值. (3)求点B1到平面AEC1的距离. 18.(17分) 设指园上芳+芳 =1(a>>0),点P,P:分别为E的左，右焦点，椭圆的离心率e号，点 P(1,多)在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程 (2)M是直线x=4上任意一点，过M作椭圆E的两条切线MA,MB(A,B为切点). ①求证：MF2⊥AB, ②求△MAB面积的最小值. 19.(17分) 定义：若h'(x)是h(x)的导数，h"(x)是h'(x)的导数，则曲线y=h(x)在点(x,h(x)处的曲 率K= h"(x) 已知函数f(x)=esin(+x),g(x)=x十(2a-1)cosx(a<), 1+[h'(x)]2} 线y一g在点0，g(o)处的曲率为票. (1)求实数a的值； (2)若对任意x∈[-，0]，mf(x)≥g'(x)恒成立，求实数m的取值范围； (3)设方程f(x)=g'(x)在区间(2mπ+3,2mπ+)(n∈N)内的根为x1,x2,,,…,试 比较xm+1与xn十2π的大小，并给出证明.