2026年九年级中考数学复习训练专题：等腰三角形问题（二次函数综合）

2026年九年级中考数学复习训练专题：等腰三角形问题（二次函数综合） 1．（2023·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)设点是直线上方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，与直线交于点． ①连接，求四边形的面积与的函数关系式，并求出的最大值； ②连接．在①的条件下，试判断四边形的形状，并说明理由； ③是否存在点，使得以为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·山西晋城·三模）综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，交线段于点E，过点P作，垂足为F． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的最大值及此时点P的坐标； (3)当取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（21-22九年级下·广东广州·月考）如图1，已知抛物线（m是常数）的顶点为P，直线． (1)求证：点P在直线上； (2)已知直线与抛物线的另一个交点为Q，当以O、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，求m的值； (3)如图2，当m＝0时，抛物线交x轴于A、B两点，M、N在抛物线上，满足，判断MN是否恒过一定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由． 4．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图，抛物线与坐标轴交于点、、，点P为抛物线上动点，设点的横坐标为t． (1)若点C与点A关于抛物线的对称轴对称，求C点的坐标及抛物线的解析式； (2)若点P在第四象限，连接、及，当t为何值时，的面积最大？最大面积是多少？ (3)在对称轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（22-23九年级上·广西贵港·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，点P为直线上方抛物线上的动点，连接，，直线与抛物线的对称轴l交于点E．      (1)求抛物线的解析式； (2)求的面积最大值； (3)点M是抛物线的对称轴l上一动点．是否存在点M，使得为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（23-24九年级上·江西赣州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E．连接，已知点A，D的坐标分别为，．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使，若存在，请求点F的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，当是等腰三角形，请直接写出m的值． 7．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，抛物线（）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线与抛物线交于A、D两点，且．点P为直线上方抛物线上的一点（不与A、D重合），连接．点E是线段上的一动点，从点D出发向点A匀速运动，同时点F从点A出发，以与点E大小相同的速度沿x轴正方向匀速运动，当点E到达点A时停止运动，此时点F也随之停止运动，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)点Q是射线上的任意一点，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出点Q的坐标； (3)请你求出四边形的面积的最大值； (4)的最小值是__________． 8．（2023·广东肇庆·三模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 9．（23-24九年级上·山东济南·期中）如图，抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴是直线．    (1)求抛物线的解析式及点坐标； (2)如图1，连接，在对称轴上找一点，且点在第一象限内，使得是以为底角的等腰三角形，求点的坐标； (3)如图2，第一象限内的抛物线上有一动点，过点作轴，垂足为，连接交于点．当的值最大时，求点的坐标，并求出这个最大值． 10．（19-20九年级上·广西百色·期中）如图，二次函数的图像与y轴交于点A，与x轴的负半轴交于点B，且的面积为6． (1)求A，B两点的坐标； (2)求该二次函数的表达式； (3)如果点p在坐标轴上，且是等腰三角形，直接写出p点坐标． 11．（22-23九年级上·广东云浮·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过B，C两点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的顶点为M，在该抛物线的对称轴l上是否存在点P，使得以C，M，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（21-22九年级上·陕西商洛·期中）已知抛物线与轴分别相交于点和点，与轴相交于点，连接，有一动点在线段上运动，过点作轴的平行线，交抛物线于点，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)当为何值时，是等腰三角形． 13．（22-23九年级上·广西柳州·期中）已知抛物线经过、两点，O为坐标原点，抛物线交正方形的边于点E，点M为射线上一动点，连接，交于点F． (1)求b和c的值及点C的坐标； (2)求证∶ (3)是否存在点M，使为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求ME的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)①，的最大值为12；②平行四边形，理由见解析；③存在，满足条件的的值为或或 【分析】此题是二次函数的综合题，是中考的压轴题，难度较大，计算量也大，主要考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形相似，平行四边形的性质等，分类求解是解决问题． （1）由待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②由，即可求解； ③分、、三种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得 解得， 该抛物线的表达式为． （2）①， 直线的解析式为． 设点的坐标为，故点的坐标为，其中， 则． 四边形的面积与的函数关系式为 ． ，， 当时，有最大值，的最大值为12． ②四边形是平行四边形．理由如下： 由①可得，当时，． ， 四边形是平行四边形． ③存在，理由如下： 如图， 点的坐标为，点的坐标为，其中， 点的坐标为， ． ，． ，，即， ． 分三种情况讨论： I．当时，则，解得（舍去）． Ⅱ．当时，如图，过点作于点，则． ， 解得（舍去）． Ⅲ．当时，如图，过点作于点， 则． ， ， ， ， 即， ， 解得（舍去）， 综上所述，满足条件的的值为或或． 2．(1) (2)的最大值为， (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，等腰三角形性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键，是中考压轴题． （1）分别令，，即可求解； （2）求出直线的解析式为，然后设点，则点，可得，再根据，可得，得到二次函数表达式求出最大值及坐标即可求解； （3）设点，然后分三种情况讨论，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解∶抛物线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ， ， ， ∵轴， ∴， ， 在中， ， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点； （3）解：存在， 由（2）得点E的横坐标为3，把代入， ， 设点， ∵， ∴，， 当时，， 即， 解得：， 此时点； 当时，， 即， 解得：， 此时点； 当时，， 即， 解得：或（不合题意舍去）， 此时点； 综上所述，点Q的坐标为，，． 3．(1)见解析 (2)； (3)直线经过定点． 【分析】（1）求出，判断点在直线上即可； （2）联立，则，由根与系数的关系可得，可知点横坐标为，再分三种情况讨论即可求解； （3）设直线的解析式为，联立，得到，由根与系数的关系可得，，过点作轴交于点，过点作轴交于点，可证明，则，即，可求与的关系为：，则直线的解析式为，当时，，由此可知直线经过定点． 【详解】（1）证明：， ， 将代入，得， 点在直线上； （2）解：联立， ， ， 点横坐标为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴点Q的坐标为， ∴，，， 当时，， 解得； 当时，， 无解； 当时，， 无解； 综上，； （3）解：存在，理由如下： 当时，， 令，则， ， 设，， 设直线的解析式为， 联立， ， ，， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，则，    ， ，， ， ∴， ， ，，，， ，即， ∴，. 即， 把，代入得， ， ∴ ， 当时，， 直线经过定点． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与一次函数的图象及性质、相似三角形的判定和性质、求函数交点坐标、一元二次方程根与系数关系等知识，灵活应用一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 4．(1)， (2)当时，有最大值 (3)存在，Q点坐标为或或或或 【分析】（1）抛物线经过点，则函数的对称轴为：，即可求解； （2）的面积，即可求解； （3）分是底、是腰两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为， ∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，点 ∴， 抛物线表达式为， 故，解得：， ∴抛物线的表达式为． （2）如图，过点P作y轴的平行线交于点H， 由点A，E的坐标得直线的表达式为， 设点，则点， ∴的面积， ． ， ∴当时，有最大值． （3） 如图，是底时， ， 作于N， 则， ，即， ， ， 是腰，点A是顶角顶点时， 如下图， ， ， ， 或； 当是腰，点E是顶角顶点时， 如下图， ， ， 或， 综上所述，Q点坐标为或或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，考查了待定系数法，一次函数的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形的面积，二次函数的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 5．(1) (2)的面积最大值为 (3)存在，M点坐标为或或或 【分析】（1）根据待定系数法求二次函数解析式即可； （2）先求出直线的解析式，过点P作轴交BC于G，设，则，表示的面积，运用二次函数的性质求出最大值即可； （3）分三种情况进行讨论：当时；当时；当时；进而得出答案． 【详解】（1）解：将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）令，则， 解得或， ∴， 设直线BC的解析式为， ∴， 解得， ∴， 过点P作轴交BC于G，      设，则， ∴， ∴， ∴当时，的面积有最大值，最大值为32； （3）①存在点M，使得为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴，设， ∴，，， 当时，， 解得（舍）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 当时，， 解得， ∴； 综上所述：M点坐标为或或或； 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合－面积问题以及特殊三角形问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 6．(1) (2)存在，点F坐标或 (3)或或 【分析】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出点B和点C的坐标，再求出直线l的解析式，进而求出点E的坐标，利用勾股定理证明，利用全等三角形的性质得到，从而证明是线段的垂直平分线，则此时点纵坐标为，令即可解决问题； （3）分当时，当时，当时三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，， ， 解得， 抛物线解析式为， （2）解：在，当时，，即，当时，， 解得：， ， 设直线的解析式为， ∵直线经过点， ， ， 直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴在中，当时，，即； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴此时点纵坐标为， ， ， 解得：， 点坐标或； （3）解：，，， ， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：，（舍去）； 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题． 7．(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）先利用一次函数解析式求出点A的坐标，根据易得点B的坐标，再利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）利用（1）中二次函数解析式求出点C的坐标，设，分和两种情况，利用两点间距离公式建立方程，求解即可； （3）联立一次函数与二次函数解析式求出点D的坐标，根据面积一定，知需令得的面积最大即可，过点P作轴的垂线交于点K，设点，则，求出，由，列出关于p的关系式，利用二次函数的性质即可求解； （4）连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为，先证明四边形是正方形，再证明，得到，当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长，再求出点L的坐标，即可解答． 【详解】（1）解：抛物线（）与x轴交于A、B两点，直线与抛物线交于A、D两点， 点A的纵坐标为0，则， 解得：， ，， ， ，即， 将，代入抛物线，则， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：抛物线的解析式为：， 令，则， ， 设， ，，， 是以为腰的等腰三角形， 当时，即， ， 解得：或（舍去）； ； 当时，即， ， 解得：或（舍去）， ； 综上，是以为腰的等腰三角形时，点Q的坐标为或； （3）解：联立一次函数与二次函数得，则， 解得：或， 当时，， ， 为定值，且， 当的面积最大时，四边形的面积最大， 过点P作轴的垂线交于点K， 设点，则， ， ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时， 四边形的面积的最大值为； （4）解：连接并延长，过A作轴交延长线于点H，，使得，过点D作轴于点G，连接，过点作x轴的垂线，垂足为， ， ，即， ， ， ，， 同理得，， 四边形是正方形， ，， ，即， ， ， 根据题意得：， ， ， ， 当三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为的长， 轴， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， （负值舍去）， ， ， ， 的最小值是． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．涉及抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质，利用待定系数法求解一次函数解析式，正方形的判定与性质，三角形全等的评定与性质，二次函数与面积的问题，二次函数与特殊三角形问题等知识，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 8．(1) (2)存在， (3)点的坐标为或或 【分析】（1）由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为，去括号即得到抛物线的表达式； （2）由于点H在射线上运动，点C、B在射线的同侧，求的周长最小即求最小，作点C关于直线的对称点即有，只要点、H、B在同一直线上时，最小．求点C坐标，即求直线解析式，由射线是由射线旋转得到可求得直线解析式．由点A为中点求得点坐标，即求得直线解析式，把直线与直线解析式联立成方程组，求得的解即为点H坐标． （3）设，由直线：可得，则，，分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴交点式为， ∴抛物线的表示式为； （2）解：在射线上存在一点H，使的周长最小， 如图，延长到，使，连接，与交点即为满足条件的点H， ∵时，， ∴， ∴， ∴，直线解析式为， ∵射线绕点A顺时针旋转得射线， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∴当、H、B在同一直线上时， 最小， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， ∵，解得：， ∴点H坐标为； （3）解：设，则， ∴，， ①当时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， ∴Q点的坐标为或； ②当时，如图， ∵轴， ∴， ∴， ∴（舍去）, ∴Q点的坐标为． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，Q点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，解二元一次方程组．其中第（3）题要分类讨论，避免漏解． 9．(1)抛物线表达式为； (2)点的坐标为或 (3)当时，的最大值是 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，令，求出点坐标； （2）分，两种情况进行讨论求解； （3）设，将转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：对称轴为直线， ，， 把代入抛物线表达式，可得：， 抛物线表达式为； 把代入，得， ； （2）∵对称轴为直线，， ∴设点的坐标为，， ∴，，， ①当时，即，解得； ②当时，同理可得（舍去负值）； 故点的坐标为或；    （3）设， 设，把代入，把代入得， 解得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，    过点作于点，则：， ， ， 故当时，的最大值是． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，等腰三角形的判定和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数的最值．利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 10．(1)， (2) (3)，，，，，，， 【分析】（1）由已知，令x=0，得y=4，即，根据，，得，从而得． （2）根据二次函数的图像与x轴的负半轴交于点B，将B点坐标代入解析式中，求得k的值，将k值代入二次函数解析式中，整理即可得到二次函数解析式． （3）根据等腰三角形的定义，分情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与y轴交与点A， ∴令x=0，得y=4，即，． ∵的面积为6， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵二次函数的图像与x轴的负半轴交于点B， 又∵， ∴， 解得，． 故二次函数解析式为：． （3）解：∵，， ∴，， ∵， ∴． ①如图1，当，P在x轴上时， ∵，， ∴， ∴． ②如图2，当，P在y轴负半轴上时， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ③同理，，当，P在y轴正半轴上时， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ④如图3，当，P在x轴负半轴上时， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ⑤如图4，当，P在y轴负半轴上时， ∵，， ∴， ∴． ⑥如图5，当，P在x轴正半轴上时， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． ⑦如图6，作AB的垂直平分线交y轴于点，交x轴于点，则有， ，连接，． ∵，， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴，即， 解得，，即，． ∴， 同理，设，则，， 在中， ∵， ∴，即， 解得，，即， ∴， 综上，符合题意的P点坐标为，，，，，，，，． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，熟练掌握二次函数相关性质，等腰三角形定义是解题的关键． 11．(1) (2)点P的坐标为或或或 【分析】（1）求出B、C点坐标，再由待定系数法求函数的解析式即可； （2）设，分别求出，，，再分三种情况讨论：①当时，②当时，|③当时，分别求出t的值即可求解． 【详解】（1）在中，当时，，所以 当时，，所以 将，代入， 得 解得 所以抛物线的解析式为． （2）存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形． 因为，所以，对称轴为． 设，则，， ． ①当时，，解得或．所以或； ②当时， ，解得．所以P； ③当时，，解得（舍去）或．所以 综上所述，点P的坐标为或或或 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 12．(1) (2)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）根据已知得，设该函数解析式为，代入到可得答案； （2）根据平行线性质得，然后分三种情况解答①当点为顶点时；②当点为顶点时；③当点为顶点时，，分别根据等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）∵， ∴． 当时，， ∴， 设该函数的解析式为，代入得 ， ∴， ∴抛物线的解析式为． （2）∵，， ∴． ∵轴， ∴， ①如图，当点为顶点时， ∵，， ∴， ∴轴． ∵点的横坐标为，轴，点在抛物线上， ∴ ∵ ∴当时，解得，， ∴． ②如图，当点为顶点时，过点作于， ∵， ∴，， ∵ ∴． ∵点的横坐标为 ∴ ∵轴，， ∴ ∴ ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴（舍去）或． ③如图，当点为顶点时，过点作于， ∵点的横坐标为，轴，点在抛物线上， ∴ ∵ ∴， ∴直线的解析式：， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴（舍去）或． 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质等知识，分别以，，三点为顶点进行讨论是解本题的关键． 13．(1)，， (2)见解析 (3)存在，或 【分析】（1）把、代入，即可得解； （2）根据正方形的性质得出，，再由，得出，最后利用全等三角形的性质得出结论； （3）分两种情况讨论解答，当M在线段的延长线上时，先求出，再利用解直角三角形得出结果，当M在线段上时，得出，类比①解答即可． 【详解】（1）解：把、代入 得：，解得， ∴抛物线的表达式为：， 令，则，解得，， ∴，即，，． （2）证明：∵四边形OBDC为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线交正方形OBDC的边BD于点E， ∴令，则，解得：，， ∴， ∴ ①如图1，当M在线段BD的延长线上时，为锐角， ∴为钝角， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）得， ∴， ∴，在中， ∵， ∴ ∴， ∴； ②如图2，当M在线段BD上时，为钝角， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴ 设，则， 在中，由勾股定理， 得，即， 解得：，（舍去）， ∴， 综上所述，ME的值为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及解直角三角形，分类讨论思想的运用是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $