精品解析：宁夏吴忠市滨河中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

吴忠市滨河中学2025——2026学年第二学期高二期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的计算公式计算即可. 【详解】． 故选：C． 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】A. ，故A错误； B.，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确. 3. 已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含的项的系数是60 C. 展开式的各二项式系数和为128 D. 展开式的各项系数和为729 【答案】B 【解析】 【分析】先利用二项式系数的对称性，根据展开式中只有第四项的二项式系数最大求出的值，再利用展开式通项和二项式系数性质逐一计算验证各选项的结论判断正误. 【详解】对于A：根据二项式系数的性质：展开式中只有一项二项式系数最大，说明为偶数，且最大二项式系数对应中间项， 已知只有第四项的二项式系数最大，因此中间项为第项，即，得，A错误。 对于B:由选项A的判断可知二项式为，其展开式通项为 令，得，所以展开式中含项的系数是，B正确； 对于C：二项式系数和为，C错误； 对于D：令代入原式得：，D错误. 4. 若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得 有两个不相等的零点，列出不等式组求解即可. 【详解】依题意知， 有两个不相等的零点， 故， 解得且 . 故选：D. 5. 现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种. A. 1440 B. 120 C. 720 D. 1560 【答案】D 【解析】 【分析】分别用5种颜色，4种颜色和3种颜色，根据相邻的区域不能涂同一种颜色求解. 【详解】如图所示： 当选择5种颜色时，从6种颜色中选5种共有种方法, 将选出的5种颜色分配给5个区域有种方法,总方法数为种， 当选择4种颜色时，从6种颜色中选4种共有种方法, 从（A,D）或（B,C）中选择一组涂同一颜色，有2种选择， 比如选择（A,D）组，将选出的4种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 当选择3种颜色时，从6种颜色中选3种共有种方法, 则（A,D），（B,C）各涂同一颜色，有1种选择， 将选出的3种颜色分配有种方法, 总方法数为种， 则所有的方法数为种. 6. 已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】可求出：，然后即可求出，然后即可得出的解析式，从而得出的值． 【详解】解：， ， ， ，． 故选：B． 7. 随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式求解概率即可. 【详解】设事件示“自驾”，事件表示“坐公交车”，事件表示“骑共享单车”，事件“表示迟到”， 由题意可知：，，，， 则，， 若小明迟到了，则他自驾去上班的概率是． 故选：B 8. 已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，分析可知，函数在上为减函数，则对任意的恒成立，参变分离可得，利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 对任意的、，当时，都有， 即，即， 所以，函数在上为减函数，且， 参变分离可得，令，其中，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故，因此，实数的取值范围是. 故选：C. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间和上，函数均是减函数 B. 为函数的零点 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的最大值 【答案】AC 【解析】 【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，又，； 当时，，又，； 在和上均为减函数，A正确； 对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误； 对于C，由A知：在上为减函数； 当时，，又，； 在上单调递增，又，， 是的极小值点，C正确； 对于D，当时，，又，； 在上单调递减，又在上单调递增， 是的极大值，无法确定是最大值，D错误. 故选：AC. 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可逐一求解. 【详解】令，则，故A正确， 令可得，故，故B错误， 令可得，故，故C正确， 令可得，，故D错误， 故选：AC 11. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 【答案】CD 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为即在有解，设，利用导数求得函数的最小值，结合选项，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在区间上存在单调递减区间， 即在有解，即在有解， 设，可得， 所以函数单调递增，所以，即， 结合选项，可得选项C、D符合题意. 故选：CD. 三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】根据排列数和组合数可得，且，运算求解即可. 【详解】因为， 则，且， 整理得：，解得或（舍去）. 故答案为：3. 13. 的展开式中，的系数为__________. 【答案】35 【解析】 【分析】根据，分和两部分求解. 【详解】因为， 则中的系数为，中的系数为， 所以的展开式中，的系数为， 故答案为：35 14. 若函数的图象与函数的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】由垂直性质可得，再求导由导数的几何意义可得切线的方程为，再设函数与直线切于点，列式求解即可. 【详解】因为直线l与直线互相垂直，所以， 令，又，解得，因为，所以切线的方程为， ，设函数与直线切于点， 所以，故， 即，化简得，解得或，因为，所以， 所以. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第9项为常数项.求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大项； （3）展开式中的有理项并写出个数. 【答案】（1）10 （2） （3）有理项共有6个，分别是，，，，，. 【解析】 【分析】（1）展开式的通项公式为，根据第9项为常数项，由，且求解； （2）根据，利用二项式系数的性质求解； （3）由展开式的通项公式为，根据展开式中的项为有理项，由为整数求解. 【小问1详解】 的展开式的通项公式为： ， 因为第9项为常数项，所以，且， 解得，； 【小问2详解】 由（1）知：二项式的展开式共有项， 由二项式系数的性质得：中间一项即第6项的二项式系数最大，； 【小问3详解】 由（1）知通项公式为， 若展开式中的项为有理项，则为整数，为偶数， 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，. 展开式中的有理项共有6个，分别是，，，，，. 16. 已知函数. （1）求函数的单区间并求出函数的极值； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）画出函数的大致图像并讨论方程的解的个数. 【答案】（1） 单调递增区间是，单调递减区间是， 在处取得极大值，无极小值. （2）最大值是，的最小值是. （3） 当时，方程无解； 当或时，方程有一个解； 当时，方程有两个解； 【解析】 【分析】（1）求导，由和求解； （2）由（1）的单调性求解； （3）作出函数的大致图像求解. 【小问1详解】 ，令，得， 当时，，在上递增； 当时，，在上递减； 所以函数的单调递增区间是，单调递减区间是， 在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 由（1）知：在区间上单调递增， 所以的最大值是，的最小值是. 【小问3详解】 由（1）知：函数在上递增，在上递减， 在处取得极大值，又，， 则的图象过点， 当时，，，由洛必达法则得， 又时，，则函数的图象在第一象限从上方逐渐趋近于x轴， 当时，，，则， 所以函数的大致图像从第三象限的负无穷处上升， 经过点继续上升至极大值点， 然后下降，并在第一象限逐渐趋近于x轴， 如图所示： 由图知：当时，方程无解； 当或时，方程有一个解； 当时，方程有两个解； 17. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． （1）求任意取出1个零件是合格品的概率； （2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 【答案】（1） （2）0.25 【解析】 【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可； （2）同（1），结合条件概率的公式求解即可. 【小问1详解】 设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”． ． 【小问2详解】 ． 18. 为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念． （1）女生必须站在一起的站队方式有多少种？ （2）男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？ （3）现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列； （2）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可； （3）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可. 【小问1详解】 女生必须站在一起，利用捆绑法， 先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列， 则有种站队方式； 【小问2详解】 若甲站在两端，则甲有种站法， 再选一名女生与甲相邻，有种选法， 再将把其他人排列，有排法， 则甲站在两端有种， 若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法， 再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法， 则甲不站两端有种， 所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种； 【小问3详解】 先选名女生分到三个年级，有种， 再将个男生分到三个年级，有种， 所以共有种. 19. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入得到的具体表达式，先计算出切点的坐标，再求导得到切线斜率，最后利用点斜式整理得到切线方程； （2）将在[−1,+∞)上单调递增转化为在[−1,+∞)上恒成立，通过二次求导分析的单调性得到其在区间上的最小值，令最小值大于等于即可求得k的取值范围； （3）通过求及的导数分析导函数单调性与最值，分区间讨论参数，利用极值点代换和构造辅助函数判定符号，约束极值点范围从而求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，， ，即切点为； ， ； 由点斜式得切线方程， 整理得. 【小问2详解】 在 单调递增，等价于 对所有恒成立， 即 恒成立. 令 ，求导得 ，令得极值点 ， 时，，递减； ，，递增； 因此的最小值为 ，故 . 【小问3详解】 因为，故当时，即 对恒成立， ，令，则， 令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，取得最小值，又， ①若，则，因为在单调递减， 所以对任意，，单调递减， 所以对任意，，不合题意； ②若，则，即对，，单调递增， 所以，符合题意； ③若，则，且，又时，， 所以有两个零点，， 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 则若恒成立，只需， 由得， 所以 设，则恒成立，所以在单调递减， 所以恒成立， 要，只需，又在单调递增， 所以，即. 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吴忠市滨河中学2025——2026学年第二学期高二期中考试 高二数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知在的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（ ） A. B. 展开式中含的项的系数是60 C. 展开式的各二项式系数和为128 D. 展开式的各项系数和为729 4. 若函数 恰好有三个单调区间，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 现用6种颜色，给图中的5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法共有（ ）种. A. 1440 B. 120 C. 720 D. 1560 6. 已知函数的导函数为，且满足（其中为自然对数的底数），则（ ） A. B. C. 2 D. 7. 随着某市经济的蓬勃发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式．某公司员工小明的上班出行方式有三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，，，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，，，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意的、，当时，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对得6分，选不全得3分，多选或选错一个得0分. 9. 已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 在区间和上，函数均是减函数 B. 为函数的零点 C. 为函数的极小值点 D. 为函数的最大值 10. 若，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在区间上存在单调递减区间，则可能的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. e 三､填空题：本大题共3小题，单空题每空5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 的展开式中，的系数为__________. 14. 若函数的图象与函数的图象有公切线l，且直线l与直线互相垂直，则实数______. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知在的展开式中，第9项为常数项.求： （1）的值； （2）展开式中二项式系数最大项； （3）展开式中的有理项并写出个数. 16. 已知函数. （1）求函数的单区间并求出函数的极值； （2）求在区间上的最大值与最小值； （3）画出函数的大致图像并讨论方程的解的个数. 17. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍． （1）求任意取出1个零件是合格品的概率； （2）如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 18. 为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念． （1）女生必须站在一起的站队方式有多少种？ （2）男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？ （3）现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？ 19. 设函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求的取值范围； （3）当时，，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $