1.1.2三角形的外角 课件2025-2026学年北师大版八年级数学下册 -

北师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月2日 1.1.2三角形的外角 第一章 三角形的证明及其应用 北师大版数学八年级下册1.1.2三角形的外角练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 本套练习题围绕三角形的外角（三角形的一边与另一边的延长线组成的角）设计，侧重外角的定义、性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）及基础应用，贴合本节课重难点，帮助巩固知识、规避常见错误，总字数控制在800字左右。 一、基础选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于三角形外角的定义，说法正确的是（ ） A. 三角形的内角的邻补角是三角形的外角 B. 三角形的一边与另一边的延长线组成的角是外角 C. 三角形的任意一个角的补角都是外角 D. 三角形的外角一定是钝角 2. 三角形的一个外角等于（ ） A. 与它相邻的内角 B. 与它不相邻的一个内角 C. 与它不相邻的两个内角的和 D. 三个内角的和 3. 在△ABC中，∠A=35°，∠B=55°，则与∠C相邻的外角的度数为（ ） A. 80° B. 90° C. 100° D. 110° 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三角形的外角一定大于它的内角 B. 三角形的一个内角一定小于与它不相邻的外角 C. 三角形的外角和为180° D. 直角三角形的一个外角一定是锐角 5. 若一个三角形的一个外角为120°，且与它相邻的内角为x，则x的度数为（ ） A. 60° B. 120° C. 60°或120° D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三角形的外角的定义：三角形的一边与另一边的________组成的角，叫做三角形的外角。 2. 三角形的一个外角等于与它________的两个内角的和。 3. 在Rt△ABC中，一个锐角为40°，则与这个锐角相邻的外角的度数为________°。 4. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则△ABC的三个外角的度数分别为________°、________°、________°。 5. 三角形的一个外角大于与它________的任何一个内角。 三、解答题（每题15分，共30分） 1. 运用三角形外角的性质，求下列各角的度数（写出完整步骤）。 （1）在△ABC中，∠A=40°，∠B=65°，求与∠C相邻的外角的度数； （2）在△ABC中，一个外角为110°，与它不相邻的一个内角为35°，求另一个不相邻的内角的度数。 2. 辨析题：判断下列说法或解题过程是否正确，若不正确，请改正并说明错误原因（结合三角形外角的性质）。 （1）三角形的一个外角为100°，则与它相邻的内角为100°； （2）在△ABC中，∠A=25°，∠B=55°，求与∠C相邻的外角的度数。解：外角=180°-25°-55°=100°，所以该外角为100°。 四、拓展题（30分） 已知在△ABC中，∠A的外角为120°，∠B比∠C大10°，求△ABC三个内角的度数，并判断△ABC的形状。（要求写出完整步骤，结合三角形内角和定理与外角性质说明理由） 参考答案提示 一、1.B 2.C 3.B 4.B 5.A；二、1.延长线 2.不相邻 3.130 4.110，120，130 5.不相邻； 三、1.（1）105°；（2）75°；2.（1）不正确，相邻内角为80°（外角与相邻内角互补）；（2）不正确，应利用外角性质，外角=25°+55°=80°； 四、∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°，△ABC为锐角三角形。 学习目标 1.了解并掌握三角形的外角的定义。 2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算。 学习目标 2 进行新课 在证明三角形内角和定理时，我们把△ABC的一边BC延长得到了∠ACD。 A B C E D 思考：像∠ACD这样的角有什么特征？猜想它的性质。这节课让我们一起来探讨吧。 知识点1 三角形的外角 △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作△ABC的外角。 1 ∠1是△ABC的一个外角。 A C B D 问题1：如图，延长AB到E，∠CBE是不是△ABC的一个外角？ ∠DBE是不是△ABC的一个外角？ ∠CBE是△ABC的一个外角 ∠DBE不是△ABC的一个外角 A C B D E 问题2：画出△ABC的所有外角，共有几个？ A C B D E 每一个三角形都有6个外角。 1 2 3 4 5 6 每一个顶点相对应的外角都有2个。 问题3：△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系） ∠1和∠2是对顶角，∠1=∠2； ∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4； ∠5和∠6是对顶角，∠5=∠6。 练一练 A B C E D F 如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？ ∠BEC是△AEC的外角； ∠AEC是△BEC和△BEF的外角； ∠EFD是△BEF和△DCF的外角。 思考·交流 如图，∠1与△ABC的内角有什么关系？请证明你的结论，并与同伴进行交流。 1 A C B D 知识点2 三角形内角和定理的推论 4 3 2 思考1：∠1与∠4有什么关系？ ∠1与∠4互补 思考2：∠1与∠2、∠3有什么关系？ 外角 相邻的内角 不相邻的内角 猜测：∠2+∠3=∠1。 你能证明这个猜测吗？ 1 A C B D 4 3 2 已知：如图，△ABC。求证：∠1=∠2+∠3。 证明：在△ABC中， ∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理）， ∴∠2+∠3=180°-∠4。 ∵∠4+∠1=180°， ∴∠1=180°-∠4。 ∴∠1=∠2+∠3。 由三角形内角和定理，可以得到 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 1 A C B D 4 3 2 几何语言： 在△ABC中， ∵∠ABD是△ABC的一个外角， ∴∠ABD=∠A+∠C。 三角形的外角几何画板 像这样，由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫作这个基本事实或定理的推论。 思考3：∠1与∠2、∠3的大小有什么关系？ 1 A C B D 4 3 2 ∵∠1=∠2+∠3， ∴∠1＞∠2，∠1＞∠3。 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 只要具备什么条件，就能说明AD // BC？ 同位角相等 分析： 内错角相等 同旁内角互补 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C， ∴∠C= ∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAC= ∠EAC。 ∴∠DAC=∠C。 ∴AD // BC。 还有其他证法吗？ 例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC。 求证：AD // BC。 B A E D C 证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∠B=∠C， ∴∠B= ∠EAC。 ∵AD平分∠EAC， ∴∠DAE= ∠EAC。 ∴∠DAE=∠B。 ∴AD // BC。 例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC >∠A。 分析： 你学过哪些关于角的不等关系的定理？这里能直接使用吗？ 你遇到的困难是什么？ 你能通过添加辅助线，构造出直接使用相关定理的图形吗？ 例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC。 求证：∠BPC >∠A。 D 证明：如图，延长BP，交AC于点D。 ∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义）， ∴ ∠BPC＞∠PDC（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。 ∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义）， ∴∠PDC＞∠A（三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）。 ∴∠BPC＞∠A。 还有其他证法吗？ 角度模型 飞镖型： ∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD 8字型： ∠A+∠B=∠C+∠D 随堂练习 1.如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=120°，则∠DAC的度数为_______。 100° 设∠1=α， ∴∠2=∠1=α。 又∠1+∠2=∠4， ∴∠4=2α， ∴∠3=2α。 ∵∠2+∠3=180°-∠BAC=60°， ∴α+2α=60°， ∴α=20°。 ∴∠DAC=∠BAC-∠1=120°-20°=100°。 【教材P6 随堂练习 第1题】 2.如图，在△ABC 中，∠A=45°， 外角∠DCA=100°，求∠B和∠ACB的度数。 A B C D 解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角， ∠DCA=100°，∠A=45°， ∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)。 ∵∠DCA+∠ACB=180°， ∴ ∠ACB=80°。 【教材P6 随堂练习 第2题】 3.如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角，那么∠1，∠2，∠3的和是多少度？ A B C 3 2 1 解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的三个外角， ∴ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB， ∠2= ∠BAC+ ∠ACB， ∠3= ∠ABC+ ∠BAC。 ∵∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°， ∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°。 （第1题） 1. 如图，是的外角 的 平分线，若 , , 则 等于( ) B A. B. C. D. 中考考法 21 （第2题） 2. [2025福建] 某数学兴趣小组为探究平 行线的有关性质，用一副三角尺按如图 所示的方式摆放，其中点，，， 在 同一条直线上， , , .当 时， 的大小为( ) B A. B. C. D. 中考考法 22 （第3题） 3. 如图，已知 ， 是它的一个外角，为边 上一点， 在边的延长线上，连接 ，则下列 结论中不一定正确的是( ) D A. B. C. D. 中考考法 23 4.如图，和是的两个外角，若 ， 则 的度数为______. （第4题） 中考考法 24 5.如图，在中，平分，， 分别平分 的外角，，若 ，则 的 度数是____. （第5题） 中考考法 25 课堂小结 三角形的外角 推论 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 推论 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。 A B C 3 2 1 三角形的外角和等于360°。 $