精品解析：河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题

河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法运算化简得z，然后由虚部概念可得. 【详解】. 所以复数的虚部为； 故选：B 3. ，则（ ） A. B. C. b＜c＜a D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的值域性质，结合对数函数、指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为，所以. 所以，即， 所以，即，因此. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式，结合正弦和余弦的定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 5. 生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据生态系统的物种丰富度指数公式，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】因为乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7， 所以有 . 6. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的运算公式和性质，结合条件概率的运算公式、对立事件的概率公式、和事件的概率公式进行求解即可. 【详解】因为两个随机事件相互独立， 所以两个随机事件也相互独立， 由， 由， 所以 7. 已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1014 D. 1013 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数极值点的定义，结合等比数列下标的性质、对数的运算性质进行求解即可. 【详解】， 令，解得或， 所以函数的单调递增区间为和， 令，解得，所以函数的单调递减区间为， 因此是函数的两个极值点，因此， 8. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线定义及余弦定理得，则，从而得到方程，解出离心率即可. 【详解】如图，设，是双曲线左支上的两点， 令，由双曲线的定义可得． 在中，由余弦定理得， 整理得，解得或（舍去）． ，根据双曲线定义可得， ∴，则, ∴为直角三角形，且． 在中，， 即， ∴， ∴．即该双曲线的离心率为． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. 点D的坐标是 B. C. 四边形的面积是3 D. 坐标原点O到直线的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、中点坐标公式，结合空间向量夹角公式、三角形面积公式、空间点到线距离公式逐一判断即可. 【详解】A：设平行四边形的对角线交点为点， 因为，所以点坐标为， 设点D的坐标是，因为， 所以，即点D的坐标是，所以本选项说法正确； B：因为， 所以，所以本选项说法不正确； C：由上可知：， 所以， 四边形的面积是，所以本选项说法正确； D：，，设方向上的单位向量为 坐标原点O到直线的距离为，所以本选项说法正确. 10. 函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递减 C. 在有4个零点 D. 的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题关键在于把绝对值和三角函数复合后的表达式转化为关于的二次函数，这样奇偶性容易判断；单调性可通过导数直接判断；零点和最值问题都可转化为二次函数问题. 【详解】对于A，因为 所以 所以是偶函数，A 正确. 对于B，当时，故 求导得 当时， 所以从而 故在区间上单调递减，B 正确. 对于 C，当时，设则 且转化为 由得或 当时， ，解得； 当时，，解得 故在范围内有这三个零点， 因为是偶函数，所以当时，有这三个零点， 所以在范围内有6个零点，C错误. 对于 D，对于任意实数，均有，所以， 令 则求的最大值转化为求在上的最大值. 对称轴为，开口向上， 当时，， 当时，， 当时，， 因此，D 正确. 11. 记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ） A. 若且，则时，的最小值为21 B. 若当且仅当时，取得最小值，则 C. 若取最小值时，k有两个不同解，则 D. 若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 【答案】BC 【解析】 【分析】根据等差数列的前n项和公式，结合二次函数的性质、等比数列的性质逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为. A：， 因为，所以， ， 因为， 所以由， 的最小值为，所以本选项说法不正确； B：令， 因为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 当时，取得最小值， 所以数列是首项为负，单调递增的等差数列，且有，， 则有， ，故有，因此本选项说法正确； C：因为取最小值时，k有两个不同解，不妨设，， 所以数列先单调递减，再单调递增，因此有，且， 所以，所以， 所以一定，使得成立，所以本选项说法正确； D：假设数列中存在三项成等比数列，这三项设为， 所以有，因为以1为首项，以为公差， 所以 ， 因为，且互不相等， 所以有 ，这与互不相等矛盾，所以假设不成立，因此本选项说法不正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数，则______________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分段函数解析式代入求解即可. 【详解】. 13. 某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 【答案】39090 【解析】 【分析】本题是正态分布的实际估计问题，用样本平均数估计总体均值；用估计总体方差；判断合格线对应均值左侧几个标准差；借助正态分布的对称性求合格概率，再乘总件数. 【详解】由题意，样本均值为 又因为 所以样本方差可估计为 用样本统计量估计总体参数，故可估计 于是质量指标值近似服从正态分布 因为合格标准是不小于，而 所以合格的概率为 由题给参考数据， 又正态分布关于均值对称，所以两侧尾部概率相等， 从而 因此 所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为 故估计该批产品中质量测评合格的产品件数为 14. 已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】弦MN交AB于点,设，则的面积为：,利用导数求解最值即可. 【详解】如图， 弦MN交AB于点，当时，平面，平面平面， 则， 由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为， 得，得，则， 设， 则，得，得， ， 则的面积为：， 则， 由，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则当时，取得极大值，也为最大值， 故的最大值为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； 【小问2详解】 在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 16. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 【答案】（1）“联网搜索”模式的测评得分最高，理由如下： 设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为， ， 因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高． （2） 0 2 3 0.108 0.648 0.244 【解析】 【分析】（1）根据题中统计表，结合均值的定义进行求解即可； （2）根据独立事件的概率公式进行求解即可. 【小问1详解】 “联网搜索”模式的测评得分最高，理由略. 【小问2详解】 三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3 ， , ， 所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为： 0 2 3 0.108 0.648 0.244 17. 三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，． （1）证明：； （2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时， （i）求PA的长； （ii）求三棱锥外接球的表面积． 【答案】（1）证明：在平面PAB内过点作，交PB于， 因为平面平面PBC，又平面平面，所以平面PBC， 则，因为，所以， 因为， 所以平面PAB，因为平面，所以． （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）先在平面内作，由两平面垂直的性质得平面，推出，结合条件证得，由线面垂直判定得平面，进而证出. （2）（i）由(1)得，结合已知推得平面，以为原点建系，写出各点与向量坐标，分别求出两平面法向量，利用面面夹角的余弦公式列等式，解方程算出参数，从而得到的长度. （ii）由平面得，取中点，算，中点满足；设外接球球心在正下方，、半径，联立与，代入数据求、，得表面积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知平面PAB，平面，所以 因为，所以易得直角三角形，， 又，所以平面ABC， 以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则. 设，因为所以. 设平面的法向量， ，， 由，得. 令，则，，故，. 设平面的法向量， ，， 由，得. 令，则，故，. 向量数量积. 设平面夹角为，，则，化简得. 联立方程：，代入， ，，. 所以. （ii）由（1）可知平面PAB，平面，所以 取AC的中点. 所以， 又因为是PC的中点，所以， 则三棱锥外接球的球心在正下方，设，外接球半径为. 底面三点到的距离都等于，所以有： .设， 则，联立. . 消去可得. 代入，得，. ， ，即. 18. 某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． （1）求曲线和的方程； （2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； （3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1），； （2） （3）为定值． 【解析】 【分析】（1）设点，由题意可得，化简可得曲线的方程，由与相切，可得，根据椭圆的定义可得曲线方程； （2）由可得，求得直线的方程为，与椭圆联立方程可得，再由三角形面积公式计算求解即可； （3）设直线，直线与椭圆联立方程组可得，由垂径定理知，计算可得为定值. 【小问1详解】 设点， 由得的轨迹方程为， 即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆． 因为与相切，所以， 所以， 则， 得， 所以曲线方程为； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以轴，则， 直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得， ； 【小问3详解】 设直线， 将直线与椭圆联立得 则 所以， 又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知， 所以，则， 所以， 即为定值． 19. 已知函数. （1）若在定义域上单调递减，求的取值范围； （2）当时． （i）若，且．求证：； （ii）求证： 【答案】（1） （2） （i）当时，，. 令，则. 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即，所以， 即，所以在上单调递减，且. 又，，所以，. 令，， 则， 令，， 则， 所以在上单调递增，即在上单调递增，则， 所以在上单调递减. 因为，所以，即， 又，所以，即. 又在上单调递减，所以，即. （ii）由（i）知时，在上单调递减，且. 所以当时，恒成立，即， 即，当且仅当时取等号． 令，则， 则. 所以 ， 即，所以， 又，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据在定义域上单调递减得到在上恒成立，即在上恒成立，通过构造函数，利用导数与最值的关系求出，即可求出值. （2）（i）根据导数与单调性及最值的关系得到在上单调递减；构造函数，，求导，得到在上单调递减，进而得到，结合及单调性证明即可. （ii）由（i）得，在上单调递减，得到在上恒成立，即恒成立，令，得到，结合累加法证明即可. 【小问1详解】 函数的定义域为，求导得， 因为在上单调递减，则在上恒成立， 即恒成立，即在上恒成立， 设，则. 令，则，解得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，即，则. 所以的取值范围为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. 2 C. D. 3. ，则（ ） A. B. C. b＜c＜a D. 4. 已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（ ） A. B. C. D. 5. 生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（ ） A. B. C. D. 6. 若两个随机事件相互独立，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（ ） A. 2026 B. 2025 C. 1014 D. 1013 8. 已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，,，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知四边形是平行四边形，，则（ ） A. 点D的坐标是 B. C. 四边形的面积是3 D. 坐标原点O到直线的距离为 10. 函数，则（ ） A. 是偶函数 B. 在区间单调递减 C. 在有4个零点 D. 的最大值为6 11. 记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（ ） A. 若且，则时，的最小值为21 B. 若当且仅当时，取得最小值，则 C. 若取最小值时，k有两个不同解，则 D. 若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 已知函数，则______________． 13. 某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________． 参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则 14. 已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 16. 某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：，，一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示． 某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在，，，分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率． （1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由； （2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列. 17. 三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，． （1）证明：； （2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时， （i）求PA的长； （ii）求三棱锥外接球的表面积． 18. 某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切． （1）求曲线和的方程； （2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积； （3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线，当直线与曲线交于两点，与曲线交于两点时，点关于原点的对称点为，若为的中点，点，记直线和直线的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由． 19. 已知函数. （1）若在定义域上单调递减，求的取值范围； （2）当时． （i）若，且．求证：； （ii）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $