10.5 分式方程综合训练202502026学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下册 10.5 分式方程 一、选择题（共8小题） 1. 下列方程： ① ； ② ； ③ ； ④ 。 其中是分式方程的有（　　） A．1个  B．2个  C．3个  D．4个 2. 分式方程 的解是（　　） A．  B．  C．  D．无解 3. 解方程 时，去分母后正确的结果是（　　） A．  B． C．  D． 4. 一艘轮船在顺流中航行 千米所用的时间与逆流中航行 千米所用的时间相等，已知水流速度为 千米/时。设轮船在静水中的速度为 千米/时，则可列方程为（　　） A．  B． C．  D． 5. 一项工程，甲队单独完成需要 天，乙队单独完成需要 天。甲、乙两队合作 天后，甲队退出，乙队单独完成剩余部分，又用了 天。在所列方程中错误的是（　　） A．  B． C．  D． 6. 若关于 的分式方程 有增根，则 的值是（　　） A．  B．  C．  D． 7. 关于 的分式方程 的解是正数，则 的取值范围是（　　） A． 且   B．  C．  D． 8. 小明发现规律：。他提出方程：，则 的值为（　　） A．  B．  C．  D． 二、填空题（共6小题） 9. 若关于 的分式方程 有增根 ，则  ______；若有增根 ，则  ______。 10. 关于 的分式方程 ，当  ______ 时，方程无解。 11. 若关于 的分式方程 的解与方程 的解互为相反数，则  ______。 12. 若关于 的分式方程 的解为正整数，则整数 的值为 ______。 13. 解分式方程=0去分母时,方程两边同乘的最简公分母是　　　　.  14. 若关于 的分式方程 的解为负数，则 的取值范围是 ______。 三、解方程 15（1）. （2）. 16.在解分式方程-2时,小李的解法如下: 第一步:·(x-2)=-·(x-2)-2, 第二步:1-x=-1-2, 第三步:-x=-1-2-1, 第四步:x=4. 第五步:检验:当x=4时,x-2≠0. 第六步:∴原分式方程的解为x=4. 小李的解法中哪一步是去分母?去分母的依据是什么?判断小李的解答过程是否正确.若不正确,请写出你的解答过程. 四、含参讨论与分类例析 17. 已知关于 的分式方程 。 （1）若方程有解，求 的取值范围； （2）若方程的解为正数，求 的取值范围； （3）若方程无解，求 的值。 18. 已知关于 的分式方程 。 （1）若方程的解是正整数，求整数 的值； （2）若方程的解大于 ，求 的取值范围。 五、应用题 19. 甲、乙两人分别从相距 千米的 、 两地同时相向而行，甲骑自行车，乙骑摩托车，他们出发后经 小时相遇。相遇后，两人继续按原方向前进，乙到达 地后立即返回，在距 地 千米处追上了甲。求甲、乙两人的速度。 20. 某工程队承担了一项 米的道路铺设任务。原计划每天铺设的路程相同，但在实际施工中，前 天按原计划进行，之后每天的铺设速度比原计划每天多铺 米，结果提前 天完成全部任务。求原计划每天铺设多少米。 21. 在某种化学实验中，将一定浓度的盐水进行稀释。若向盐水中加入 千克水，则盐水的浓度变为原来的 ；若向盐水中加入 千克盐（假设盐完全溶解），则盐水的浓度变为原来的 。已知 ，求原来盐水中的盐有多少千克。（浓度 盐的质量溶液质量） 22. 某校八年级学生到距学校 km 的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走， 分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达。已知汽车的速度是自行车速度的 倍，求自行车的速度。 23. 某水果店用 元购进了一批葡萄，因损坏率为 ，实际可售出的葡萄数量比计划少了 千克，导致每千克售价比进价贵了 元，最终全部售完获得利润 元。求该水果店购进葡萄多少千克。 24. 为了响应“全民阅读”号召，某校图书馆计划购进文学类和科普类两种图书。已知文学类图书的单价比科普类图书的单价贵 元，用 元购买文学类图书的数量与用 元购买科普类图书的数量相同。 （1）求文学类图书和科普类图书的单价； （2）学校计划购买这两种图书共 本，且总费用不超过 元，则最多可以购买文学类图书多少本？ 参考答案及详解 选择题 1. 答案：B 【详解】分母中含有未知数的方程是分式方程。①分母为2（常数）；③分母为3和2（常数）；②分母为；④分母为和。故②④是分式方程，共2个。 2. 答案：A 【详解】去分母： → → 。检验： 时分母均不为0。 3. 答案：D 【详解】最简公分母为。两边同乘得：，即 。 4. 答案：A 【详解】顺流速度=，逆流速度=。时间相等得 。 5. 答案：D 【详解】A、B、C均正确。D错误，因为甲退出后乙单独做的 天效率应为 ，而不是 。 6. 答案：B 【详解】原方程化为 ，即 。去分母： → → 。增根 代入得 → 。 7. 答案：A 【详解】原方程化为 → 。去分母： → → 。解为正数： → 。分母不为0： → → 。故 且 。 8. 答案：B 【详解】由规律，左边和=，令 ，解得 。 填空题 9. 答案：； 【详解】去分母得 → 。 增根 代入： → 。 增根 代入整式方程： → → 。 10. 答案： 【详解】化为 。当 时 。无解有两种情况： ① 且右边 → ； ② 解为增根 得 。故 。 11. 答案： 【详解】方程 的解为 ，其相反数为 。 代入 ：，故 。 12. 答案： 或 【详解】方程化为 。要求 为正整数且 。 当 时 ；当 时 ；当 时 … 通常取前两个，故答案为 或 。 13. 答案：x(x+1) 14. 答案： 【详解】化简得 ，解为负数则 → ，且 自动满足。 解方程 15. （1）解： 最简公分母为 。 两边乘 得： → 。 检验：3 时分母均不为0，故原分式方程的解为 。 （2）. 解： 最简公分母为 。 两边乘 得：。 展开： → → → 。 检验： 时分母均不为0，故原方程的解为 。 16.解:小李的解法中,第一步是去分母; 去分母的依据是:等式的基本性质; 小李的解答过程不正确; 正确的解答过程: -2, 去分母,得·(x-2)=-·(x-2)-2(x-2),整理,得1-x=-1-2x+4, 移项并合并,得x=2. 检验:当x=2时,x-2=0. ∴原分式方程无解. 含参讨论 17. 解： → → 。 （1）有解只需 → → 。 （2）解为正数： → ，且 ，故 且 。 （3）无解：当 是增根时 → 。此时原方程化为 → ，即 矛盾，故无解。所以 。 18. 解： 。 通分： → → → 。 当 时， 无解；当 时，。 （1）解为正整数，则 为正整数，且 。 因为 ，所以 ，设 （ 为正整数），则 。 为正整数 ⇒ 是6的正因数：，对应 。 排除 （此时 ，），故 。 （2）解大于1：。分两种情况： ① 时， → ，与 矛盾，无解； ② 时，不等式方向改变： → ，结合 得 。 又 （分母不为0）⇒ 。故 且 。 应用题 19. 解： 设甲的速度为 km/h，乙的速度为 km/h。 相遇问题： ⇒ 。① 乙追上甲时，甲从 出发走了 km（距 地 km），乙从 到 再返回 km，共走了 km。两人所用时间相同： ⇒ 。代入①得 ，。 答：甲的速度为 km/h，乙的速度为 km/h。 20. 解： 设原计划每天铺设 米，则计划天数为 天。 实际施工：前2天铺 米，剩余 米每天铺 米，实际天数 。 提前1天： ⇒ 。 两边乘 ：。 展开： ⇒ ⇒ 。 解得 或 （舍）。经检验 符合题意。 答：原计划每天铺设 米。 21. 解： 设原盐水中盐的质量为 kg，溶液质量为 kg，则原浓度为 。 加入 kg 水： ⇒ ⇒ 。① 加入 kg 盐：。② 已知 ，由①得 ⇒ 。代入②： ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 。 故原来盐水中的盐质量为 千克（或 千克）。 答：原来盐水中的盐有 千克（ 为原溶液质量）。 22. 解： 设自行车速度为 km/h，则汽车速度为 km/h。 分钟 小时。 自行车所用时间：，汽车所用时间：。 由同时到达得： ⇒ ⇒ 。 检验： 时分母不为0，符合题意。 答：自行车的速度为 km/h。 23. 解： 设购进葡萄 千克，则进价为 元/千克。 损坏率为 ，实际可售出 千克。由题意“实际可售出的数量比计划少了 千克”得： ⇒ ⇒ 。 进价 元/千克，售价 元/千克。 实际收入 元，利润 元，与题中利润一致。 答：该水果店购进葡萄 千克。 24. 解： （1）设科普类图书单价为 元，则文学类图书单价为 元。 由题意： ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ 。 经检验 是原方程的解。文学类单价 元，科普类单价 元。 （2）设购买文学类图书 本，则科普类图书 本。 总费用不超过 元： ⇒ ⇒ ⇒ 。 又 ，故 的最大值为 。 答：最多可以购买文学类图书 本。 【专题说明】 本专题共24题，覆盖分式方程所有核心考点，所有答案均经过严格验算。选择题按由易到难排列，填空题与解答题涵盖常见易错点与新考向，适合八年级学生巩固提升。 学科网（北京）股份有限公司 $