第十章二元一次方程组 单元测试 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

**基本信息** 初中数学二元一次方程组单元卷，涵盖方程解法、应用及创新题型，融入《九章算术》文化素材与亚运工程等现实情境，适配单元复习，培养抽象能力、模型意识与创新思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题/32分|方程解、消元法、古算应用|结合《九章算术》买牛问题，考查建模能力| |填空题|10题/30分|参数方程组、几何图形关系|设计幻方数字关系题，强化推理意识| |解答题|9题/38分|解法综合、实际应用、创新定义|亚运场馆改造方案题（25题）体现应用意识，“亲密方程”定义题（26题）培养创新思维|

第十章二元一次方程组 单元测试 一、单选题 1．在方程中，如果是它的一个解，那么的值为（ ） A． B．3 C． D．6 2．如果，则x、y的值分别是（    ） A． B． C． D． 3．若方程组的解满足方程，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 4．在中国数学著作《九章算术》中，有这样一个问题∶“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：“今有人合伙买牛，如果每7家共出190元，还缺少330元；如果每9家合伙出270元，又多了30元．问共有多少人家，每头牛的价钱是多少元？“若设共有x户人家，每头牛的价钱为y元，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 5．在解关于x、y的二元一次方程组时，若①②可以直接消去未知数y，则和的关系是（　　） A．互为倒数 B．互为相反数 C．大小相等 D．无法确定 6．我们定义：若整式M与N满足：（k为整数），我们称M与N为关于k的平衡整式，例如，若，我们称M与N为关于1的平衡整式．若与y为关于2的平衡整式，与为关于5的平衡整式，求的值为（   ） A．2 B． C．12 D．26 7．如图所示，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，则图中的阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 8．我国古代的“幻方”文化源远流长，最早记载于西汉时期的《大戴礼记》中．如图为一个三角形幻方，其中每个小三角形的三个顶点的数字之和都相等，则的值为（   ） A． B．6 C． D．4 二、填空题 9．将方程写成用含的代数式表示，则________． 10．某商品的买入价为a元，出售价为50元，则毛利率为p＝（0＜a＜50）．若用p的代数式表示a＝______． 11． 已知是二元一次方程，则 ___________________． 12．已知关于的方程组，若，则的值为______． 13．已知关于的二元一次方程，无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是__________________． 14．我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，很多题目保留至今，如《九章算术》中有这样的一道古代问题，“有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛，”在本题题干中，用个大桶和个小桶共盛酒______斛. 15．已知方程组的解满足，则m的值为_____． 16．如果方程组，中与的值相等，那么的值为___________． 17．若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是______． 18．如果，长方形中有个形状、大小相同的小长方形，且，，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题 19．用代入消元法解方程组： 20．用加减消元法解方程组 21．解方程组：． 22．若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 23．已知关于的方程组． （1）当时，求方程组的解； （2）证明：无论取什么数，的值始终不变． 24．已知关于x，y的方程组． (1)请写出方程的所有正整数解． (2)若方程组的解满足，求的值． 25．“当好东道主，文明迎亚运”，本区对亚运场馆附近的主干道进行了改造，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方1760m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表： 租金（单位：元/台•时） 挖掘土石方量（单位：m3/台•时） 甲型 190 160 乙型 260 240 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？ (2)如果每小时支付的租金不超过2000元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？ 26．定义：关于，的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“亲密方程”，例如：的“亲密方程”为． (1)方程的“亲密方程”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的系数满足，求与它的“亲密方程”组成的方程组的解； (3)若（2）中方程组的解恰好是关于，的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 27．探究不同情境，回答下面问题： (1)阅读下列材料并填空：对于二元一次方程组，我们可以将x，y的系数和相应的常数项排成一个数表，求得的一次方程组的解用数表可表示为，用数表可以简化表达解一次方程组的过程如下，请补全其中的空白： 从而得到该方程组的解为； (2)仿照（1）中数表的书写格式写出解方程组的过程． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A A B A D C 7．D 【分析】通过设形状大小相同的长方形的长宽为，，观察图形找等量关系列二元一次方程组即可解出答案． 【详解】解：设形状大小相等的长方形的长宽分别为，． 由题意可得：， 解得． 所以长方形的宽为：， 长方形的面积为：， 六个形状大小相同的长方形的面积和为：， 阴影部分的面积是：． 8．C 【分析】先根据左侧三角形求出每个小三角形的三个顶点上的数字之和，再依次求出x，y，z的值，最后求和即可． 【详解】解：由题意知，每个小三角形的三个顶点上的数字之和为：， ， ， ， ， ， ， ． 9． 【分析】本题考查了二元一次方程的解，把方程看作是关于的一元一次方程，然后解关于的方程即可． 【详解】解： 移项得， ∴， 故答案为：． 10． 【分析】利用等式的性质将毛利率的公式进行变形，然后将p看作常数，求出a的值即可得答案． 【详解】解：等式左右两边同时乘以a，可得：ap＝50﹣a， 移项，可得：ap+a＝50， 合并同类项，可得：（p+1）a＝50， 系数化1，可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查等式的性质，解二元一次方程，掌握等式的性质，将字母p看作常数解关于a的方程是解题关键． 11． 【分析】根据二元一次方程的定义，得出关于的方程，进而求得的值，代入代数式，即可求解． 【详解】根据二元一次方程的定义，可得 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次． 12．3 【分析】把两个方程相减，得，结合，即可求解． 【详解】解：， ，得， 又∵， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查解含参数的二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． 13． 【分析】把方程整理成关于的方程，根据无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解令k的系数为0，然后得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵无论取何值时，此二元一次方程都有一个相同的解， ∴， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴这个相同的解是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程组，根据题意得出关于x，y的二元一次方程组是解题的关键． 14． 【分析】根据题意列出二元一次方程组，进一步求解即可； 【详解】解：设每个大桶可以盛酒斛，每个小桶可以盛酒斛 由题意可得： 得： 化简得： ∴用个大桶和个小桶共盛酒斛； 故答案为： 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；熟练根据题意列出相对应的二元一次方程组是解题的关键． 15． 【分析】根据加减消元法解二元一次方程组得到，代入中，求出即可． 【详解】解：， ，得， ∴， 又， ∴， ∴． 16． 1 【分析】根据与相等，结合方程组第一个方程求出，的值，再代入第二个方程即可求出的值． 【详解】解：与相等， ，即， 解得， 把代入得： ， 解得． 17． 【分析】因为已知关于的方程组的解，所以先将关于的方程组进行变形，使其结构与已知方程组一致．如果把看作，看作，那么变形后的方程组就和已知方程组结构相同．因为已知方程组的解为，所以可得到关于的方程组，再通过解这个方程组得到的值． 【详解】把待求解的方程组移项整理得， 对比原方程组， 结构完全一致． 令，， 已知原方程组的解为， ∴可得， 两式相加得， 解得， 代入得． ∴方程组的解为． 18． 【分析】令小长方形的长、宽分别为，，根据题意，得出，，得方程组，解出，即可根据得出阴影部分的面积． 【详解】解：令小长方形的长、宽分别为，， 根据题意，，， 可得，，， 故可得方程组， 解得， ∴，， 故阴影部分面积为． 19． 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的步骤是关键． 将①化为：③，把③代入②，解方程可得，再进行求解． 【详解】解：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得， 所以方程组的解为 20． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法：加减消元法和代入消元法是解题的关键． 利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， 解得：， 把代入②，得， 解得：， ∴方程组的解为． 21． 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握计算法则是解题关键；根据加减消元法解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解 ，得，③ ，得． 将代入③，得． 所以方程组的解为 22．的值为4，的值为 【分析】先利用加减消元法求出第二个方程组的解，再代入第一个方程组，利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：， ①②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴这个方程组的解为， ∵关于的方程组与关于的方程组有相同的解， ∴， ③④得：，解得， 将代入④得：，解得， ∴的值为4，的值为． 23．（1）；（2）见解析 【分析】（1）先将代入 ，解出方程组即可； （2）解方程组可得代入=3，即可解答． 【详解】（1）将代入 ，得， 两个方程相减得： ，解得： ， 将代入第二个方程得： ， 所以方程组的解为； （2）解方程组，得， 所以， 所以，无论取什么数，的值始终不变． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的基本步骤是解题的关键． 24．(1)，，； (2) 【分析】（1）根据正整数解的定义进行解答即可； （2）求出方程组的解，再代入进行计算即可． 【详解】解：（1）方程， 当时，， 当时，， 当时，， 则方程的正整数解有，，； （2）方程组的解为， 把代入得，， 解得． 25．(1)需租用甲型号的挖掘机2台，乙型号的挖掘机6台； (2)有2种方案 【分析】（1）设需租用甲型号的挖掘机x台，乙型号的挖掘机y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需租用甲型号的挖掘机m台，乙型号的挖掘机n台，根据恰好完成每小时的挖掘量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，再结合每小时支付的租金不超过2000元，即可得出共有2种不同的租用方案． 【详解】（1）解：设需租用甲型号的挖掘机x台，乙型号的挖掘机y台， 依题意得：， 解得：． 答：需租用甲型号的挖掘机2台，乙型号的挖掘机6台； （2）解：设需租用甲型号的挖掘机m台，乙型号的挖掘机n台， 依题意得：160m+240n=1760， ∴m=11-n． 又∵m，n均为正整数， ∴或或． ①当m=8，n=2时，每小时需支付的租金为190×8+260×2=2040（元），2040＞2000，不符合题意，舍去； ②当m=5，n=4时，每小时需支付的租金为190×5+260×4=1990（元），1990＜2000，符合题意； ③当m=2，n=6时，每小时需支付的租金为190×2+260×6=1940（元），1940＜2000，符合题意． 答：共有2种不同的租用方案． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 26．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“亲密方程”的定义即可得解； （2）联立方程组，利用加减消元法求解即可； （3）将解代入二元一次方程中，得到，，整体代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据“亲密方程”的定义可得，方程的“亲密方程”为；        （2）解：由题意得：， 得，， 即， ， ， ， 将代入得，，解得， ， ， ， 方程组的解为； （3）解：是方程的一个解， ， ，， ． 27．(1)下行上行，，6，10 (2)过程见解析， 【分析】（1）根据所给图示和题意求解即可； （2）类比（1）中方法通过加减法，将系数化为1可得答案． 【详解】（1）解： ， 从而得到该方程组的解为； （2）解： 所以方程组的解为． 学科网（北京）股份有限公司 $