精品解析：江西南昌市第二中学2026届高三下学期冲刺模拟复习卷（二）数学试题

江西省2026届高三冲刺模拟复习卷（二） 数 学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设M，N为全集的两个非空子集，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，且 M，N为全集的两个非空子集，可得韦恩图，如图： 则. 2. 数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】取特殊数列，结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论. 【详解】因为数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数， 不妨取，当时，， 即“”“”； 不妨取，由可得，则， 即“”“”. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 3. 某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（ ） A. 1152 B. 1386 C. 1560 D. 1842 【答案】A 【解析】 【详解】由，得，两边取自然对数得， 所以. 4. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式求解. 【详解】依题意，事件发生是的事件发生或的事件发生， ，， 所以 . 5. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 6. 已知是定义域为的奇函数，若，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由是定义域为的奇函数和可得是以4为周期的周期函数，再求出，即可求出，进而求出答案. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，， 因为，即， 所以，即是以4为周期的周期函数. 因为，分别令中，可得， ，所以，， 所以， 所以. 7. 已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的渐近线公式与直线与圆的位置关系，可列方程，可得答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 因为圆的圆心为，面积为，设圆的半径为， 则，故， 由渐近线与圆相切，则圆心到直线的距离，即， 所以双曲线的离心率为 8. 函数的两个极值点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知函数求导，令可得，代入极值点后两式作商，可得到的关系，作商得到的结果指对互换，便可解出，进而可得，通过构造新的函数并求导，求得最大值即可. 【详解】由，得， 令，则， 因为函数有两个极值点，， 所以①，②，得③， 设，则且，代入③得，， ∴， 设，则， 设， 则，令. 则，所以在单调递增，所以， ∴在单调递增，∴， 从而，∴在单调递增，∴，∴， 故的最大值为. 二、多项选择题:共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 10. 如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. 与为异面直线 C. 与成角 D. 与垂直 【答案】BCD 【解析】 【分析】正四面体的平面展开图复原为正四面体即可求解. 【详解】 将正四面体的平面展开图复原为正四面体，如图所示，三点是同一点，因此有： 对于A，分别是的中点，则，而与异面，故与不平行，故A错误； 对于B，易知与为异面直线，故B正确； 对于C，依题意知，故与成角，故C正确； 对于D，连接，则点在平面上的投影在上，所以平面，所以， 而，所以与垂直，故D正确. 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】先分析函数的单调性和函数值情况并作出函数的图象，对于A和B，由分析以及图象即可得解；由对于C和D，由方程得解为与，再根据条件树形结合依次分析两解对应的根的情况即可得解. 【详解】①当时，， 则在单调递减，且渐近线为轴和，恒有. ②当时，，， 当，在单调递增；当，在单调递减， 故，且恒有，综上①②可知，， 综上，作出函数大致图象，如下图： 对于A，由上可知函数的值域为，故A错误； 对于B，函数的单调减区间为，故B正确； 对于C，当时，则方程，解得或， 由，得或，有两个实数根； 由图象可知，由得此时有不相等的实数根，且均不为，也不为， 所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误； 对于D，若关于x的方程有3个不相等的实数根， 即方程与方程共有3个不相等的实数根， 又因为已有两个不等的实数根， 则方程有且仅有1个根，且不为. 所以与有且仅有1个公共点， 由图象可知，满足题意，即m的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 【点睛】思路点睛：先研究函数的单调性以及函数值的分布情况，接着作出函数的图象，数形结合使得问题更直观，进而即可进一步研究函数的性质情况：研究方程的根的个数问题，可先解方程得与，再根据条件依次分析两解对应的根的情况并树形结合即可得解. 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 13. 已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据已知条件分析得到点与满足抛物线定义，确定与在抛物线上，且线段是抛物线的焦点弦，求出焦点弦的最小值通径即可求解. 【详解】根据题意点与满足到定点的距离等于到直线的距离， 所以与在抛物线上，，线段是抛物线的焦点弦， 又抛物线的焦点弦最小值为抛物线的通径，所以的最小值为. 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲､乙两人分别从集合中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利.甲获得胜利的概率为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意得甲从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 乙从集合中抽取3个不同元素，共有种抽法， 情况一：甲抽到数字， 甲抽到6的抽法数为， 此时甲构成的最大三位数的百位一定是，而乙构成的最大三位数最大只能是， 所以一定有 故这种情况下甲必胜； 情况二：甲没有抽到数字 ， 甲没有抽到 6 的抽法数也为， 这时甲实际上也是从集合中抽取 3 个不同元素，与乙的抽法范围完全相同， 因此，甲和乙构成的最大三位数都等可能地取自同样的10个值，且地位对称， 所以在这种情况下： 又因为共有10个不同的最大三位数，故 于是 故甲获胜的概率为 四、解答题:共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． （1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； （2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 【答案】（1），迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； （2）经验回归方程为;该AI模型至少需要迭代7轮才可以完成降噪 【解析】 【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可； （2）求出，利用的公式代值计算即可得到经验回归方程，令，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由题可得：， 样本相关系数 ，非常接近，说明迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； 【小问2详解】 噪声残留量的取值为 因此：， 根据题意可得， 所以关于的经验回归方程为， 要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则，即， 所以该AI模型至少需要迭代轮才可以完成降噪. 16. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 由． 则数列是以为首项，2为公差的等差数列. （2）①； ② 【解析】 【分析】（1）要证明为等差数列，可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数来判断； （2）①先根据(1)求出的通项公式后，进而可得到的通项公式，求出的表达式，然后利用错位相减法求出， ②由恒成立，可将m分离出来，通过求数列的最大值来确定m的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， 所以数列的通项公式为； ①由（1）得; 则． 于是， 以上两式相减得： 所以 ②由，得．令， 所以， 所以不是数列的最大项，不妨设的第项取得最大值． 由，即，解得， 即数列的最大值为，所以， 即的取值范围是 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，． （1）证明：平面PAC； （2）已知，点满足平面．求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 如图，作出符合题意的图形， 因为为菱形，所以， 设AC，BD交于点，则， 又因为，所以， 因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）设AC，BD交于点，通过证明即可证明平面PAC； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面PBD、PEC的法向量，通过法向量求解余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面，所以在平面内作Oz垂直于AC， 如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意可知，，，， 因为，且， 所以，， 因此，，， ，， 由此可知， 设平面PBD的一个法向量， 则，也即，令，得， 设平面的一个法向量， 则，也即， 令，得，所以， 所以平面PBD与平面PEC夹角的余弦值为． 18. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）数列是等比数列，公比为 （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 故E的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. 【小问3详解】 直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 19. 已知函数 （1）判断是否为周期函数，并说明理由； （2）求的最大值和最小值； （3）设证明： 【答案】（1）是周期函数，利用周期函数定义判断； （2）最大值为​​​，最小值为； （3） 记， 由（2）知对任意实数，都有， 对，令，得： ，​​ 将上述个不等式累加，左边整理得： 右边为​​， 因此：， 整理得：， 由，，得， 因此：，得证. 【解析】 【分析】（1）由周期函数的概念结合正弦函数的周期性即可判断； （2）由（1）确定函数在一个周期上的单调性，即可求解； （3）由（2）令，得： ，​​通过累加即可求证； 【小问1详解】 是周期函数， 理由如下： 由三角函数周期性知：，， 因此： ， 即是的一个周期，故是周期函数； 【小问2详解】 由（1）可知求在上的最值即可. 对求导得： ， 令，得​或， 在一个周期内，当时，， 当时，，当时，， 故在，单调递增，在单调递减， 又，， ，， 所以的最大值为​​​，最小值为； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026届高三冲刺模拟复习卷（二） 数 学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设M，N为全集的两个非空子集，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 数列为各项均为正数的等比数列，、、、为正整数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某AI模型对图像中目标识别的准确率与训练样本量的关系为，当识别的准确率达到时，的值约为（参考数据：）（ ） A. 1152 B. 1386 C. 1560 D. 1842 4. 现有除颜色外都相同的3个红球和3个白球，随机取3个球放入一个不透明的袋中，记袋中红球的个数为．从袋中随机摸出一个球，并换入一个另一种颜色的球，经过1次摸换，袋中的红球个数记为．则（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义域为的奇函数，若，，则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 4 7. 已知双曲线的渐近线与以为圆心，面积为的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的两个极值点，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题:共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（   ） A. B. C. D. 的最小值是 10. 如图是正四面体的平面展开图，分别是的中点，则在该正四面体中，下列结论正确的是（ ） A. 与平行 B. 与为异面直线 C. 与成角 D. 与垂直 11. 函数，关于x的方程，则下列正确的是（ ） A. 函数的值域为R B. 函数的单调减区间为 C. 当时，则方程有4个不相等的实数根 D. 若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 13. 已知圆与圆外切于点，且直线是圆与圆的一条公切线，则的最小值为__________. 14. 已知集合，集合，现有甲，乙两名同学玩一种游戏，甲､乙两人分别从集合中随机抽取3个不同的元素各构成最大的三位数和，若，则甲获得胜利.甲获得胜利的概率为__________. 四、解答题:共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． （1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； （2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 16. 已知数列满足 （1）求证：为等差数列； （2）设，记数列的前项和为， ①求； ②若，求的取值范围． 17. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，． （1）证明：平面PAC； （2）已知，点满足平面．求平面与平面夹角的余弦值． 18. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 19. 已知函数 （1）判断是否为周期函数，并说明理由； （2）求的最大值和最小值； （3）设证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $