24.2 第1课时 方差-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

24.2 数据的离散程度人教版八年级数学下册 平行四边形的性质的运用 教案 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：习题课/应用课 一、教学目标 1. 知识与技能：熟练掌握平行四边形的三大核心性质（对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）及邻角互补的推论；能灵活运用这些性质解决边长计算、角度推理、对角线相关计算、折叠拼接等实际应用问题；规范书写几何解题步骤，明确每一步的推理依据。 2. 3. 过程与方法：通过典例分析、变式训练、小组探究，梳理平行四边形性质的应用思路和解题技巧，培养学生的逻辑推理能力、综合分析能力和数形结合思想，提升运用几何性质解决实际问题的能力。 4. 5. 情感态度与价值观：感受平行四边形性质的实用性，激发学生运用几何知识解决问题的兴趣，培养严谨的解题习惯和合作探究意识，增强学习几何知识的信心，体会数学与生活的密切联系，建立完整的几何应用思维。 6. 二、教学重难点 重点：平行四边形性质的灵活运用；针对不同应用场景（边长、角度、对角线、折叠等）选择合适的性质解题；规范书写几何解题步骤。 难点：灵活运用平行四边形的性质解决含多条件、折叠、拼接、与其他几何知识结合的综合问题；明确几何推理的逻辑顺序，规范标注推理依据。 三、教学准备 教师：多媒体课件（包含性质梳理、典例示意图、变式练习题、易错点解析）、板书模板、直尺、圆规、三角板、平行四边形纸片；学生：复习平行四边形的定义及三大核心性质，整理前期错题，准备直尺、圆规、三角板，预习性质应用相关题型。 四、教学过程 （一）复习回顾（5分钟） 1. 快速回顾：提问学生，平行四边形有哪些核心性质？引导学生完整表述，并规范书写几何语言： ① 对边性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC； ② 对角性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补：∠A+∠B=180°）； ③ 对角线性质：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA=OC，OB=OD（O为对角线交点）。 2. 导入课题：强调平行四边形的性质是解决几何计算、推理的核心依据，今天我们重点学习“平行四边形的性质的运用”，通过典例和变式训练，掌握不同场景下的解题思路和技巧，突破应用难点。 （二）核心应用梳理（7分钟） 梳理平行四边形性质的常见应用场景，明确解题核心思路，帮助学生建立应用框架： 1. 场景一：边长计算（核心用“对边相等”） 思路：已知平行四边形的一组对边长度，可直接求另一组对边；结合周长公式（周长=2×（邻边和）），可求未知边长或周长。 2. 场景二：角度推理（核心用“对角相等、邻角互补”） 思路：已知平行四边形的一个角，可求其余三个角；结合角的和差、角平分线等知识，可解决复杂角度推理问题。 3. 场景三：对角线相关计算（核心用“对角线互相平分”） 思路：已知平行四边形一条对角线的长度或其中一段的长度，可求对角线的另一段或整条对角线长度；结合勾股定理，可求边长、面积等。 4. 场景四：综合应用（折叠、拼接、与三角形结合） 思路：先利用平行四边形的性质，转化已知条件，再结合折叠的性质（对应边相等、对应角相等）、三角形全等、勾股定理等知识，逐步求解。 强调：所有应用的前提的是“明确四边形是平行四边形”，解题时先标注已知条件，再选择对应的性质，规范书写推理步骤，注明每一步的依据。 （三）典例精讲（18分钟） 结合不同应用场景，精讲典例，拆解解题步骤，强化解题技巧，规范书写格式。 例1（基础应用：边长与周长计算）：在▱ABCD中，已知AB=8cm，BC=5cm，E、F分别是AB、CD的中点，求EF的长度及▱ABCD的周长。 讲解步骤：① 明确已知条件：四边形ABCD是平行四边形，AB=8cm，BC=5cm，E、F是AB、CD中点；② 选择性质：平行四边形对边平行且相等，故AB=CD=8cm，AB∥CD；③ 推导EF长度：E、F是中点，AE=EB=4cm，CF=FD=4cm，又AB∥CD，故EB∥CF且EB=CF，四边形EBCF是平行四边形，EF=BC=5cm；④ 计算周长：周长=2×（AB+BC）=2×（8+5）=26cm；⑤ 规范书写解题过程，注明每一步依据（平行四边形性质、中点定义等）。 例2（进阶应用：角度与角平分线结合）：在▱ABCD中，∠A=100°，BE平分∠ABC，交AD于点E，求∠AEB、∠BED的度数。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，∠A+∠ABC=180°（邻角互补），∠A=∠C=100°，故∠ABC=80°；② BE平分∠ABC，故∠ABE=∠EBC=40°；③ 由AD∥BC（平行四边形对边平行），内错角相等，故∠AEB=∠EBC=40°；④ 由平角定义，∠AEB+∠BED=180°，故∠BED=140°；⑤ 规范书写推理过程，强调“平行四边形对边平行”“邻角互补”的灵活运用。 例3（综合应用：对角线与勾股定理结合）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知AC=12cm，BD=16cm，AB=10cm，求证：▱ABCD是矩形。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，对角线互相平分，故OA=OC=6cm，OB=OD=8cm；② 已知AB=10cm，观察OA、OB、AB的长度，6²+8²=10²，由勾股定理逆定理，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°；③ 对角线互相垂直的平行四边形是矩形，故▱ABCD是矩形；④ 规范书写证明过程，体现平行四边形性质与勾股定理逆定理的综合运用，注明每一步推理依据。 例4（拓展应用：折叠与性质结合）：将▱ABCD沿边BC折叠，使点C落在点C'处，连接AC'，已知AB=6cm，AD=4cm，∠ABC=60°，求△ABC'的面积。 引导学生分析：① 由平行四边形性质，AB=CD=6cm，AD=BC=4cm，AB∥CD；② 折叠后，BC=BC'=4cm，∠C=∠C'，∠ABC'=∠ABC=60°；③ 由AB∥CD，∠ABC+∠C=180°，故∠C=120°，∠C'=120°；④ 过点C'作AB的垂线，垂足为H，在Rt△C'BH中，∠C'BH=60°，BC'=4cm，可求C'H=2√3cm；⑤ 计算△ABC'的面积=1/2×AB×C'H=1/2×6×2√3=6√3cm²；⑥ 规范书写解题步骤，梳理折叠性质与平行四边形性质的结合点。 教师板书每道典例的规范解题步骤，重点强调：① 先标注已知条件和图形中的隐含条件；② 选择合适的平行四边形性质，结合其他几何知识（角平分线、勾股定理、折叠性质）；③ 推理过程要严谨，每一步都要注明依据；④ 计算时注意准确性，规范书写单位。 （四）变式训练（10分钟） 布置分层变式练习，贴合典例场景，强化性质运用，及时巩固解题技巧： 1. 基础变式（边长与角度）：在▱ABCD中，AB=7cm，AD=5cm，∠B=70°，E是AD的中点，求CE的长度（提示：过C作AD的垂线）；已知▱ABCD中，∠A比∠B小20°，求四个角的度数。 2. 进阶变式（对角线）：在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OA=5cm，OB=12cm，求▱ABCD的边长和面积；若AC⊥BD，AB=13cm，求AC、BD的长度。 3. 综合变式（折叠与全等）：将▱ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A'处，连接A'C，已知AB=5cm，AD=3cm，求A'C的长度（提示：证明△A'CD是等腰三角形）。 学生独立完成，小组内核对答案、交流解题思路，教师巡视指导，针对易错点（如忽略平行四边形对边平行的性质、推理过程不规范、计算失误）集中讲解，强化解题技巧。 （五）易错点总结（3分钟） 梳理学生在性质运用中常见的易错点，重点强调： 1. 忽略前提条件：运用性质前，未明确“四边形是平行四边形”，直接套用性质； 2. 性质混淆：误用“对角互补、邻角相等”，混淆对边、对角的关系； 3. 推理不规范：未注明推理依据，步骤跳跃，逻辑混乱； 4. 综合应用中，无法灵活结合其他几何知识（如勾股定理、折叠性质），难以转化已知条件。 引导学生针对性规避易错点，养成“先找条件、再选性质、规范推理”的解题习惯。 （六）课堂小结（2分钟） 引导学生回顾：本节课重点掌握了平行四边形性质的四大应用场景（边长、角度、对角线、综合应用），梳理了不同场景的解题思路和技巧；明确了运用性质的核心是“先明确平行四边形，再选择对应性质，规范书写推理步骤”；通过典例和变式训练，提升了综合解题能力。师生共同梳理核心解题技巧，加深记忆。 （七）布置作业（2分钟） 基础作业：整理本节课典例及变式题，规范书写解题步骤，注明每一步依据；完成教材对应性质应用习题，巩固基础应用。 拓展作业：收集生活中需要运用平行四边形性质解决的实际问题（如测量边长、角度），尝试写出解题过程；思考：平行四边形的性质在矩形、菱形中的应用有哪些异同。 五、板书设计 平行四边形的性质的运用 一、核心性质（几何语言） 1. 对边：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 2. 对角：∠A=∠C，∠B=∠D（邻角互补） 3. 对角线：OA=OC，OB=OD（O为交点） 二、常见应用场景及思路 1. 边长计算：对边相等+周长公式 2. 角度推理：对角相等+邻角互补 3. 对角线：互相平分+勾股定理 4. 综合应用：性质+折叠/全等/勾股定理 三、解题关键 1. 明确前提：四边形是平行四边形 2. 规范步骤：注明推理依据，逻辑严谨 四、典例精讲（规范书写步骤） 例1：边长与周长 例2：角度与角平分线 例3：对角线与勾股定理 例4：折叠综合 六、教学反思 本节课聚焦平行四边形性质的运用，以典例精讲、变式训练为核心，梳理了不同应用场景的解题思路和技巧，重点强化了几何推理的规范性和性质的灵活运用，衔接前期所学的平行四边形性质、勾股定理、折叠性质等知识，符合八年级学生的认知规律和应用能力培养需求，基本达成教学目标。但部分学生在综合应用场景中，难以快速结合平行四边形性质与其他几何知识，转化已知条件的能力不足；部分学生解题步骤不够规范，推理依据标注不完整；对对角线互相平分的性质应用不够灵活，容易忽略对角线与边长的关联。后续需增加综合变式训练，针对性突破转化难点，强化解题步骤的规范性指导，设计分层习题，兼顾不同层次学生的需求，帮助学生熟练掌握平行四边形性质的运用技巧，提升几何综合解题能力。 第1课时 离差平方和、方差 教学目标 课题 24.2 第1课时 离差平方和、方差 授课人 素养目标 1.体会刻画数据离散程度的意义，发展数据观念. 2.理解离差平方和、方差的概念，能够计算一组数据的离差平方和、方差. 3.理解方差的意义，能通过方差比较两组数据的离散程度. 教学重点 离差平方和、方差概念的理解及计算. 教学难点 对方差概念和意义的理解及应用. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 现要从甲、乙两名射击选手中挑选一名射击选手参加比赛.若你是教练，你认为挑选哪一位比较合适? 甲、乙两名射击选手的测试成绩统计如下： 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 甲命中环数 7 8 8 8 9 乙命中环数 10 6 10 6 8 我们先来看他们的平均成绩： 平均成绩一样，那么作为教练该如何挑选呢?接下来我们一起学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量——离差平方和与方差. 【教学建议】 学生独立计算，得出两名射击选手的平均成绩相同，无法做出判断，教师从而引出方差的概念与计算. 设计意图 通过情境吸引学生的注意力，引发学生对新知识的学习欲望. 活动二：实践探究，获取新知 探究点 离差平方和、方差 1.离差平方和、方差的概念和意义 我们来看引言中的问题. (教材P168问题)某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子.选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题.为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量(单位：t)如表所示： 根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢? 我们一起通过分析问题来解决： (1)计算出两组数据的平均数，你有什么发现? 答：发现在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大，由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大. 教师：我们常常用平均数、中位数来刻画数据的“平均水平”，但像上面这种情况，我们发现只知道“平均水平”是不够的. 为了直观地看出甲、乙两种甜玉米产量的情况，我们把这两组数据画成下面的图①和图②. (2)观察图①和图②，比较甲、乙两种甜玉米的波动程度. 答：比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近.因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好. 由问题(2)我们发现：当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小.反过来也成立.这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画. 概念引入：一般地，由n个数据x1，x2，……，xn，用表示它们的平均数，我们把叫作xi关于平均数的离差. 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗?为什么? 答：不能.因为(0，所以平均离差无法刻画一组数据的离散程度. 概念引入：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和.我们把叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d²”.把离差的平方的平均数作这组数据的方差，记作“s²”. 归纳总结：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量.方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小. (3)请大家利用方差公式分析甲、乙两种甜玉米产量的波动程度. 解 由可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量的波动较小，稳定性较好.由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定.根据样本估计总体的统计思想，综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米. 思考(教材P170思考)：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度?和方差比较，有什么不足? 答：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差不受这个限制. 2.利用计算器求方差 使用计算器说明： (1)使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书. (2)通常需要先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，……，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差的值. 【对应训练】 教材P171练习第1题. 【教学建议】 老师逐步引导，并提醒学生以下几点： (1)使用方差的前提条件是平均数相等或相近. (2)各个数据与其平均数的差不取绝对值的原因是在许多问题中含有绝对值的式子不便于计算，且在衡量一组数据的波动大小的“功能”上，取平方更强些. (3)计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”. 【教学建议】 教师提醒学生： 方差的大小与数据本身的大小无关，可能一组数据比较小，但是方差较大；也可能一组数据比较大，但是方差较小. 设计意图 通过对方差公式的探究，帮助学生认识到引入方差的必要性并理解方差公式，让学生体会方差可以反映一组数据的波动大小，同时培养学生的合作交流意识. 活动三：典例精讲，升华提高 例 (教材P170例1)甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩(单位：环)如表所示： 甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10 乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9 哪名射击运动员的发挥更稳定? 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 两名运动员射击成绩的方差分别为 由可知，乙射击运动员的发挥更稳定. 【对应训练】 教材P171练习第2题. 【教学建议】 老师提醒学生注意：只有在两组或多组数据的平均数相等或比较接近时，才能用方差比较两组或多组数据的离散程度. 设计意图 巩固学生对方差意义的认知，在实际生活问题中，根据方差比较数据的稳定性. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 离差平方和、方差的概念是什么?方差的计算公式是什么?方差有什么作用? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P174习题24.2第1，2题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 24.2 数据的离散程度 第1课时 离差平方和、方差 1.离差、离差平方和、方差的概念. 2.离差平方和、方差的计算公式. 3.方差的意义和作用. 教学反思 本节课采用了创设问题情境，启发学生思考的教学模式，更好地抓住学生学习新知的过程.由于本课时的试题信息量比较大，会耽误一定的时间，学生在互动的时间上会有所压缩.从本节课的授课过程来看，学生在教师的引导下自学，联系旧知，给学生充分发表意见的自由度. 解题大招一 方差的计算 计算方差的步骤可概括为“先平均，后求差，平方后，再平均”. 在求一组数据x1，x2，……，xn的方差时，要先求出它们的平均数，再计算出各数据与它们的平均数的差的平方：，最后求出它们的平均数. 即就是这组数据的方差. 例1 (1)样本5，6，7，8，9的方差是 2 ； (2)在样本方差的计算公式 中，数字10表示 样本容量 ，数字20表示 样本平均数 ； (3)某人5次射击命中的环数分别为5，10，7，x，10.若这组数据的中位数为8，则这组数据的方差为 3.6 . 解析：根据题意，数据5，10，7，x，10的中位数为8，则有x=8，这组数据的平均数为则这组数据的方差 解题大招二 方差的应用 用样本方差估计总体方差：在考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，那么可以采用样本估计总体的统计思想.实际生活中常常用样本的方差来估计总体的方差. 在用方差比较数据的稳定性时需要注意：一般要先比较平均数，当几组数据的平均数相等或相近时，才能用方差比较数据的离散程度. 例2 甲、乙两人进行射击训练，在相同条件下各射靶5次，成绩统计如下表： 命中环数/环 7 8 9 10 甲命中的频数/次 2 2 0 1 乙命中的频数/次 1 3 1 0 (1)甲、乙两人射击成绩的平均数、方差分别是多少? (2)谁的射击成绩更稳定? 解： 所以甲射击成绩的平均数是8，方差是1.2；乙射击成绩的平均数是8，方差是0.4. (2)因为所以乙的射击成绩更稳定. 学科网（北京）股份有限公司 $