8.2.1 一元线性回归模型 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.2.1《一元线性回归模型》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：结合实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型参数的统计意义；掌握最小二乘法的原理，会求回归方程；能用回归模型进行预测，体会用统计模型解决实际问题的思想. 课标分析： 本节课是“成对数据的统计分析”的核心内容，继相关关系、样本相关系数之后，进入建模阶段.课标强调“了解”与“掌握”两个层次：学生既要理解回归模型的结构（随机误差、参数意义），也要掌握最小二乘估计方法.教学中应从实际问题出发，借助散点图和样本相关系数的铺垫，自然引出用直线拟合数据的需要，再通过“最小二乘”思想确定参数，避免机械记忆公式.本节课对培养学生的数据分析、数学建模素养具有关键作用. 2、 教材分析 “一元线性回归模型”是人教A版选择性必修第三册第八章第2.1节内容，是统计部分由描述向推断过渡的重要环节.教材在之前学习了相关关系和样本相关系数的基础上，提出“如何用数学模型刻画两个线性相关变量之间的关系”，进而引入一元线性回归模型 .教材详细解释了模型中的参数（截距、斜率）和随机误差的统计意义，并通过父亲身高与儿子身高的实例，说明了模型建立的背景和必要性.同时，教材为下一节最小二乘估计做铺垫，强调模型是近似而非精确函数关系.本节内容是后续学习回归分析、残差分析的基础，也是培养学生统计思维和建模能力的关键素材. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了变量间的相关关系，能通过散点图判断正相关、负相关及线性相关程度，并会计算样本相关系数 .学生具备一定的代数运算和函数知识，理解一次函数 的意义.然而，从“相关”到“模型”的跨越对学生来说是一个难点：他们容易将回归方程误认为函数关系，忽略随机误差的存在.对“最小二乘”原理的理解（为什么要用平方和最小，而不是绝对值和最小）以及参数估计公式的推导，对学生的逻辑思维要求较高.此外，学生可能对模型中的随机误差 的统计含义（均值为0、方差恒定）感到抽象.教师应通过实际问题、图形演示和类比，帮助学生建立直观理解，避免过度理论化. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从具体实例中抽象出一元线性回归模型的结构 ，理解参数 、 和随机误差 的统计意义，体会模型对现实世界的简化与抽象. 1. 逻辑推理素养：理解产生随机误差的原因（其他影响因素、测量误差、模型近似），能解释为什么不能将回归模型等同于函数模型，培养因果分析和批判性思维. 1. 数据分析素养：能根据实际问题建立一元线性回归模型，理解参数估计的基本思想（最小二乘法），并能用模型进行简单预测，提升数据建模能力. 1. 直观想象素养：通过散点图直观感受回归直线对数据的拟合效果，理解“最小二乘”的几何意义（点到直线的纵向距离平方和最小），增强数形结合意识. 1. 数学建模素养：能够将实际问题中的两个线性相关变量转化为一元线性回归模型，体会统计建模的过程（提出问题、收集数据、建立模型、检验模型、应用模型），认识数学建模在科学决策中的作用. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：一元线性回归模型的定义及其参数意义；最小二乘法的基本思想（不要求完整推导公式，但理解原理）；根据模型进行预测. 1. 难点：理解随机误差 的含义及模型与函数模型的区别；理解最小二乘法的“平方和最小”原理的合理性. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）下列变量关系中，可以用函数模型刻画的是（ ），可以用回归模型刻画的是（ ）. A. 圆的面积与半径 B. 身高与体重 C. 匀速直线运动的路程与时间 D. 广告投入与销售额 答案：函数模型：A、C；回归模型：B、D. （2）在一元线性回归模型 中， 称为________，它的均值通常假设为______. 答案：随机误差；0. （3）为什么不能用函数模型 来刻画父亲身高与儿子身高的关系？请结合实例说明. 答案：因为父亲身高相同（如172cm）的儿子身高可能不同（如176cm和174cm），说明儿子身高不能由父亲身高唯一确定，存在其他因素的影响，因此具有随机性，只能用回归模型. 2. 请学生回答，教师点评并纠正，强调回归模型与函数模型的本质区别. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 上节课我们学习了如何度量两个变量的线性相关程度，用什么指标？ 学生回答：样本相关系数 . 教师追问： 说明什么？ 学生回答：正相关，相关程度较强. 2. 教师展示父亲身高与儿子身高的散点图（课件中已有），引导学生观察： 问：这些点的分布有什么特点？ 学生答：大致分布在一条从左下到右上的直线附近. 3. 教师总结：既然它们有较强的线性相关关系，我们能否用一条直线来近似地描述它们之间的关系？这样，当我们知道一个父亲的身高时，就可以大致估计儿子的身高.这就是本节课要学习的一元线性回归模型. . 环节三：合作探究 1. 一元线性回归模型的引入与结构（5分钟） 教师以父亲身高（）与儿子身高（）为例，提出问题： 我们想用一个线性关系来近似描述它们，即 ，但实际数据中，当 相同时 却不相同，说明存在误差.因此，我们引入随机误差 ，得到模型： 其中： 称为因变量（响应变量）， 称为自变量（解释变量）； 为截距参数， 为斜率参数； 是随机误差，是一个随机变量. 讲解模型的意义： 的值由两部分构成： （1）确定性部分 ，由 决定； （2）随机部分 ，代表其他未考虑的因素、测量误差等. 因此 也是一个随机变量. 讨论：为什么要假设 ？ 教师引导：如果 ，则可以将 合并到截距 中，否则模型参数无法唯一确定.且我们希望模型没有系统偏差. 2. 随机误差产生的原因（5分钟） 教师组织学生讨论：在父亲身高与儿子身高的例子中，哪些因素会导致随机误差 ？ 学生讨论后回答： 母亲身高、营养状况、生活环境、运动习惯等； 测量身高时的工具误差、读数误差； 模型本身只是近似，无法完全描述真实关系. 教师总结并补充： 随机误差 的方差通常假设为常数 ，与 无关，这称为同方差性. 3. 最小二乘法的基本思想（5分钟） 教师提问：我们收集到样本数据 （），要确定一条直线 来最好地拟合这些点.怎样才算“最好”？ 引导学生思考：常见做法是让每个样本点到直线的纵向距离（即残差 ）尽可能小. 问：如果直接求和 ，正负可能抵消，不能反映总误差；如果取绝对值 ，数学处理较复杂. 因此，我们采用平方和： 使 最小的 称为最小二乘估计.这就是最小二乘法（method of least squares）. 教师指出：具体公式将在下一节推导，本节课重在理解思想.并补充说明，这种方法的优点是得到的估计量具有良好的统计性质（无偏性、有效性等）. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1（概念辨析）：判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”. （1）在一元线性回归模型 中， 是常数. （ ） （2）模型中的 是随机变量，而 是确定变量（或可以观测到的确定值）. （ ） （3）若随机误差 的均值不为0，可以通过调整截距 使其为0. （ ） （4）回归模型与函数模型一样，都可以由 唯一确定 . （ ） （5）最小二乘法的目标是使所有残差的绝对值之和最小. （ ） 答案：（1）×（是随机变量）；（2）√；（3）√；（4）×（随机误差导致不确定性）；（5）×（是平方和最小）. 例2：已知一个一元线性回归模型为 ，其中 ，. （1）当 时，求 的均值； （2）当 时，求 的方差. 解： （1）. （2）（因为 是常数）. 答案：均值为13，方差为2. 2. 综合练习（7分钟） 例3：某研究团队调查了10名中学生的每周课外阅读时间 （小时）与语文成绩 （分），得到成对数据，并计算出 ，，，. （1）如果采用最小二乘法，求回归直线 中的 （公式 ）； （2）计算 （公式 ）； （3）写出回归方程，并预测当阅读时间为6小时时的语文成绩均值. 解： （1）. （2）. （3）回归方程为 .当 时，（分）. 答案：回归方程 ，预测成绩79分. 例4（多选题）：关于一元线性回归模型 ，下列说法正确的有（ ） A. 表示 每增加1个单位， 增加 个单位 B. 随机误差 的均值通常假设为0 C. 模型中的 是截距，表示 时 的均值 D. 若 的方差随 增大而增大，则违背了同方差假设 E. 回归模型可以精确刻画两个变量之间的关系 答案：B、C、D（A错误，应解释为 的均值增加 个单位，而非 本身，因为存在随机误差；E错误，回归模型是近似）. 例5：某工厂研究广告支出 （万元）与产品销售额 （万元）之间的关系，收集了8个月的成对数据，经计算得到 ，，，. （1）求回归直线方程； （2）若下个月广告支出计划为8万元，预测销售额； （3）解释回归方程中斜率 的实际意义. 解： （1），. 回归方程：. （2） 时，（万元）. （3）斜率 表示：广告支出每增加1万元，销售额的平均估计值增加3.5万元.注意不是销售额精确增加3.5万元，因为存在随机误差. 小试牛刀： 一、单选题 1．已知具有相关关系的变量，它们之间的一组数据如表所示，若关于的回归方程为，则（    ） A． B． C． D． 2．某研究小组收集了10组数据，计算得到相关系数，则以下结论最合理的是（    ） A．与正相关且线性关系很强 B．与负相关且线性关系很强 C．与正相关但线性关系很弱 D．与负相关但线性关系很弱 二、多选题 3．统计学里一般用线性相关系数衡量两个变量与之间线性相关性强弱，下列关于相关系数的叙述中，正确的是（   ） A． B．当与正相关时， C．越小，得出的与之间的回归直线方程越没有价值 D．越大，具有相关关系的两个变量与的线性相关程度越强 三、填空题 4．若根据样本数据得到的回归直线方程为，且，，则______． 四、解答题 5．下表是A市住宅楼房屋销售价格y和房屋面积x的有关数据： 房屋面积（） 115 110 80 135 105 销售价格（万元） 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)画出数据对应的散点图； (2)设线性回归方程为，已计算得，计算及； (3)据（2）的结果，估计面积为的房屋销售价格． ． 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： 一元线性回归模型的结构：，各部分含义. 随机误差 的来源及其统计假设（均值为0，方差恒定）. 为什么不能用函数模型代替回归模型. 最小二乘法的基本思想（使残差平方和最小）. 2. 教师补充： 回归模型是对现实世界的近似，是统计推断的基础. 下一节课我们将学习如何用最小二乘法具体计算参数估计值，并进行残差分析. 环节六：布置作业 1. 书面作业： 完成教材第107页练习第1、2、3题. 配套课时达标检测《一元线性回归模型》基础题. 2. 拓展作业： 查找一个生活中可以用一元线性回归模型分析的问题（如气温与空调销量、学习时间与成绩等），写出你的模型设定（解释变量、响应变量、可能的随机误差来源）. 3. 预习引导： 阅读教材8.2.2节，了解最小二乘估计的公式推导过程，并思考：为什么用残差平方和而不用绝对值和？ . 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从实际问题（父亲身高与儿子身高）出发，借助散点图和相关系数的已有知识，自然引出建立线性模型的需求.通过对比函数模型，学生较好地理解了随机误差的意义和回归模型的本质.在讨论随机误差来源时，学生参与积极，举出了许多合理因素，加深了对模型假设的理解.最小二乘法的介绍以思想为主，未陷入复杂计算，符合学生认知水平.存在的不足是：部分学生对“ 的统计意义”表述仍不够准确，容易说成“ 每增加1， 增加 ”，需要在后续练习中反复纠正.另外，对随机误差方差恒定的假设，学生理解尚浅，可在下一节课结合残差图进一步强化.整体来看，本节课为后续参数估计打下了良好基础. 学科网（北京）股份有限公司 $