8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第1课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.2.2 《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》（第1课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法；针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测；理解残差的意义，能通过残差图判断模型的合理性. 课标分析： 本节课是“成对数据的统计分析”的核心内容，承接一元线性回归模型的认识，进入参数估计的具体操作.课标强调“掌握”和“会用”，要求学生不仅能理解最小二乘法的思想，还能熟练计算经验回归方程，并能进行预测和初步的模型诊断（残差分析）.教学中应注重从实际问题出发，通过数据计算体验参数估计的过程，同时借助图形直观理解残差分析，避免单纯公式记忆.本节课对培养学生的数据分析、数学运算和数学建模素养具有关键作用. 2、 教材分析 “一元线性回归模型参数的最小二乘估计”是人教A版选择性必修第三册第八章第2.2节内容，是统计建模的核心环节.教材在上一节引入回归模型 的基础上，提出如何从样本数据估计参数 和 .教材介绍了“整体接近程度”的不同度量方式，最终引出最小二乘法（残差平方和最小），并给出参数估计的公式（不要求完整推导，但理解原理）.此外，教材还引入残差分析，通过残差图判断模型假设是否合理.本节内容是后续学习回归分析、预测区间的基础，也是学生掌握统计方法、提升数据处理能力的关键. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了一元线性回归模型的结构（），理解了随机误差的统计意义，并会用相关系数判断线性相关程度.学生具备一定的代数运算能力和函数知识，能够理解一次函数和求和符号.然而，最小二乘估计的公式较为复杂（涉及多个求和项），学生在计算时容易出错；对“残差平方和最小”这一思想的体会需要从几何直观上升到代数表达；残差图的解读（均匀分布在横轴两侧）对学生来说较为抽象.教师应通过具体数据的逐步计算、图形对比和小组合作，帮助学生掌握方法、理解原理，避免死记硬背公式. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从“点到直线的竖直距离”抽象出“残差”概念，理解“残差平方和最小”作为评价直线拟合好坏的标准，体会最小二乘法的数学本质. 1. 逻辑推理素养：理解最小二乘估计公式的推导思路（不要求完全推导，但能说出原理），能根据公式正确计算参数估计值，并能解释参数 的统计意义. 1. 数据分析素养：能根据成对样本数据计算经验回归方程，并进行预测；能计算残差，绘制残差图，并据此判断模型是否符合一元线性回归模型的假设（随机误差均值为0、方差恒定）. 1. 直观想象素养：借助散点图理解回归直线对数据的拟合效果，通过残差图直观判断模型假设的合理性，增强用图形分析数据的能力. 1. 数学建模素养：能将实际问题中的两个线性相关变量建立经验回归方程，并用模型进行预测，体会统计建模的全过程（数据收集、模型选择、参数估计、模型诊断、预测应用）. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：最小二乘法的思想；参数 、 的计算公式（已知公式会应用）；根据经验回归方程进行预测；残差的分析与残差图的应用. 1. 难点：理解最小二乘法中“残差平方和最小”的原理；残差图的解读及对模型假设的判断；在计算中准确套用公式，避免运算错误. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题（PPT或黑板）： （1）对于样本点 ，假设我们想用直线 来拟合，点 到直线的竖直距离（即残差）定义为 ________. 答案：. （2）最小二乘法的目标是使______最小. 答案：残差平方和 . （3）已知经验回归方程 ，当 时，预测值 ______. 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并纠正错误，强调残差是竖直距离而不是垂直距离. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 上节课我们学习了一元线性回归模型，它的表达式是什么？各部分名称叫什么？ 学生回答：，其中 是响应变量（因变量）， 是解释变量（自变量）， 是截距参数， 是斜率参数， 是随机误差. 2. 教师追问： 我们有了样本数据，怎样确定 和 的估计值？也就是说，怎样找到一条直线 来最好地拟合这些点？ 学生讨论后提出：让点尽量靠近直线. 3. 教师总结： 今天我们就来学习如何用最小二乘法找到这样一条直线，并检验模型的好坏. . 环节三：合作探究 1. 最小二乘法的思想（5分钟） 教师展示散点图（如父亲身高与儿子身高），提出问题： 如何判断一条直线是否“最贴近”这些点？直观上是让所有点到直线的竖直距离（即残差）都尽可能小. 引导思考： 如果直接求和 ，正负会抵消，不能反映总误差. 如果取绝对值 ，数学上处理困难（绝对值函数不可导）. 因此，我们采用平方和： 使 达到最小值的 称为最小二乘估计（Least Squares Estimation）. 这种方法称为最小二乘法. 教师说明：求最小值需要用到偏导数（大学内容），高中阶段直接给出公式： 其中 ，. 2. 参数估计公式的应用与预测（5分钟） 教师通过一个简单例子示范计算过程. 例：已知两组数据 ，求经验回归方程. 解：先计算 ，. 列表： 则 ，. 故经验回归方程为 . 强调：只有散点图呈线性相关时，求出的回归方程才有意义. 3. 残差分析与残差图（5分钟） 教师提出问题：我们找到了一条回归直线，但它拟合得好不好？有没有违反模型假设（随机误差均值为0、方差恒定）？ 引入残差：（实际值减去预测值）. 残差图：以横轴为自变量 （或预测值 ），纵轴为残差 的散点图. 讲解如何判断模型是否合理： 若残差均匀分布在横轴（残差=0）两侧，无明显趋势，则说明模型假设合理. 若残差呈现某种规律（如曲线、漏斗形），则模型可能不适用（如存在非线性关系或异方差）. 展示课本中父亲身高与儿子身高的残差图：残差点大致对称分布在0附近，无规律，说明模型合理. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：已知变量 与 的5对样本数据如下： 1 2 3 4 5 3 5 6 8 10 （1）计算 、； （2）计算 和 ； （3）求经验回归方程 ； （4）预测 时的 值. 解： （1），. （2）列表： 乘积 3 -2 -3.4 4 6.8 2 5 -1 -1.4 1 1.4 3 6 0 -0.4 0 0 4 8 1 1.6 1 1.6 5 10 2 3.6 4 7.2 和 10 17.0 所以 ，. （3），. 经验回归方程：. （4） 时，. 答案：见上. 例2（概念辨析）：判断下列说法是否正确. （1）最小二乘法的目的是使残差之和最小.（ ） （2）经验回归直线一定经过点 .（ ） （3）残差图中，残差应均匀分布在横轴两侧，无明显趋势.（ ） （4）若散点图呈非线性，用线性回归模型仍可得到很好的预测.（ ） 答案：（1）×（是平方和最小）；（2）√；（3）√；（4）×（模型不适用，预测效果差）. 2. 综合练习（7分钟） 例3：某商店统计了某商品连续6天的销售价格 （元）与销售量 （件），数据如下： 价格 10 12 13 15 16 18 销售量 60 55 52 48 45 40 （1）画出散点图（可简述：价格越高，销售量越低，呈负相关）； （2）计算样本相关系数 （只列式，不计算），判断相关强度； （3）求经验回归方程； （4）预测当价格 元时的销售量； （5）计算 时的残差，并解释其意义. 解： （1）散点图略，点大致从左下到右上？不对，价格增加销量减少，是从左上到右下，负相关. （2）需计算 等，为节省时间，直接计算回归. ， . 列表（部分）： 平方_x 乘积 10 60 -4 10 16 -40 12 55 -2 5 4 -10 13 52 -1 2 1 -2 15 48 1 -2 1 -2 16 45 2 -5 4 -10 18 40 4 -10 16 -40 和 42 -104 ，. 回归方程：（保留三位小数）. （4） 时，（件）. （5） 时，实际 ，预测 ，残差 ，表示实际销售量比预测值多0.476件. 答案：见上. 例4（多选题）：关于残差和残差图，下列说法正确的有（ ） A. 残差等于实际值减去预测值 B. 残差图可以用来检验模型假设是否合理 C. 若残差图中残差呈现曲线趋势，说明模型可能是非线性的 D. 残差必须都是正数 E. 残差图的横轴通常取自变量 或预测值 答案：A、B、C、E（D错误，残差可正可负，均值为0）. 例5：已知用最小二乘法得到经验回归方程 ，且 ，则 ______. 答案：. 小试牛刀： 一、单选题 1．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 2．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，统计出小李某月1号到5号每天打篮球时间（单位：h）与当天投篮命中率的成对数据满足的关系式：，，．若与满足线性回归方程，则回归系数（    ）（参考公式：） A．0.04 B．0.03 C．0.02 D．0.01 二、多选题 3．下列结论正确的是（   ） A．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变 B．在做回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越差 C．两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于0 D．决定系数可以衡量一个模型拟合效果，它越大说明拟合效果越好 三、填空题 4．已知一系列样本点的一个经验回归方程为，若样本点的残差为1，则_____. 四、解答题 5．某班10名学生的摸底考试成绩和期末考试成绩如下： 摸底成绩 50 35 40 55 80 60 65 35 90 50 期末成绩 53 51 56 68 87 71 46 31 79 68 计算得：，． (1)画出散点图；    (2)建立一个回归直线方程，用摸底考试成绩来预测期末考试成绩（精确到0.1）． 附：，． 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： 最小二乘法的思想：使残差平方和最小. 经验回归方程中 和 的计算公式. 残差的定义和残差图的作用（检验模型推断是否合理）. 应用回归方程进行预测时要注意：样本范围外预测需谨慎. 2. 教师补充： 最小二乘法保证了估计量的优良性质（无偏性等）. 残差分析是回归诊断的重要组成部分，可以帮助我们发现模型的不足. 下一课时我们将继续学习残差的性质和相关计算. 环节六：布置作业 1. 书面作业： 完成教材第113页练习第2、3题（计算经验回归方程并画残差图）. 配套课时达标检测《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》基础题. 2. 拓展作业： 收集一组你认为具有线性相关关系的数据（10组以上），用最小二乘法求出回归方程，计算残差并画残差图，写出分析报告. 3. 预习引导： 预习下一节内容：残差平方和、随机误差的方差估计，以及回归模型的其他诊断方法. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从“如何找到一条最佳直线”这一实际问题出发，引导学生理解最小二乘法的合理性和必要性.在公式应用环节，通过具体数据的逐步计算，学生较好地掌握了参数估计的方法.残差图的引入让学生体会到模型诊断的重要性，避免了机械使用回归方程.在练习中，设计了多个层次的问题（从基础计算到残差解释），学生反馈良好.需要改进的是：部分学生在求和运算中仍易出错，后续应加强分组计算和互助检查；对“残差平方和最小”这一原理，少数学生仍停留在记忆层面，需在后续教学中结合几何直观进一步巩固.整体上，本节课达成了教学目标，学生能够独立完成参数估计和基本预测. 学科网（北京）股份有限公司 $