15.3互斥事件与对立事件课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十五章 概率 15.3.1 互斥事件与对立事件的概率 问题1：在“抛掷骰子”的试验中，“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是偶数”记为事件 A.“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是 3”记为事件 B，则事件 A 与事件 B 有何关系？ 由题可知，A = {ω2，ω4，ω6}，B = {ω3}，故 AB = ∅，即事件 A 与事件 B 不可能同时发生. 像 A，B 这类不可能同时发生的事件，称为互斥事件. 思考：若记“抛掷一颗骰子，结果向上的点数是奇数”为事件 C，则事件 A 与事件 C 又有何关系？ A = {ω2，ω4，ω6}，C = {ω1，ω3，ω5}，故 AC = ∅且 A + C = Ω，即互斥事件 A，C 中必有一个发生. 这时，我们称 A，C 为对立事件，记作 C = A 或 A = C . 注：① 对立事件必为互斥事件；② 对立事件是必有一个发生的互斥事件. 互斥事件概率的加法公式 如果事件 A，B 互斥，那么事件 A + B 发生的概率，等于事件 A，B 分别发生的概率的和，即 P(A + B) = P(A) + P(B). 互斥事件可以推广到 n 个事件的情形 (n∈N，n > 2)： 如果事件 A1，A2，…，An 中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件 A1，A2，…，An 两两互斥. 如果事件 A1，A2，…，An 两两互斥，那么 P (A1 + A2 + … + An) = P (A1) + P (A2) + … + P (An). 随机事件的概率还具有以下常用性质： （1）P (A) = 1 - P (A)； （2）当 A⊆B 时，P (A) ≤ P (B)； （3）当 A，B 不互斥时，P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). 问题2：试着用韦恩图 表示这些性质？ （1）P (A) = 1 - P (A) A A （2）当 A⊆B 时，P (A) ≤ P (B) Ω B A （3）当 A，B 不互斥时，P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB). A B AB Ω 例1：一只不透明的口袋内装有大小一样的 2 个白球和 2 个黑球，从中先后各摸出 1 个球，记“摸出 2 个白球”为事件 A，“摸出 1 个白球和 1 个黑球”为事件 B，“摸出 2 个球中至少有 1 个白球”为事件 C. 问：事件 A 与 B 是否为互斥事件? 是否为对立事件? 并求 P (C). 解：2 个白球与 2 个黑球分别记为 W1，W2，B1，B2，样本点 (W1，B1) 表示“从口袋内先后摸出的球依次为 W1，B1”，余类推，则样本空间 Ω = {(W1，W2)，(W1，B1)，(W1，B2)，(W2，W1)，(W2，B1)，(W2，B2)，(B1，W1)，(B1，W2)，(B1，B2)，(B2，W1)，(B2，W2)，(B2，B1)}； A = {(W1，W2)，(W2，W1)}； B = {(W1，B1)，(W1，B2)，(W2，B1)，(W2，B2)，(B1，W1)，(B1，W2)，(B2，W1)，(B2，W2)}. 因为 AB = ∅，所以 A，B 是互斥事件. 又因为 A + B ≠ Ω，所以 A，B 不是对立事件. 又 A + B = C，故 P (C) = P (A + B) = P (A) + P (B) = + = . 思考：还有其他方式可以求出 P (C) 吗？ 分析：可利用 P (C) = 1 - P (C) 来计算 P (C). 事件 C：“摸出 2 个球中至少有 1 个白球” 事件 C：“摸出 2 个球中没有白球”即“摸出 2 个黑球” 所以 P (C) = 1 - P (C) = 1- = . 例2：某人射击 1 次，命中 7 ~ 10 环的概率如下表所示： （1）射击 1 次，求至少命中 7 环的概率； （2）射击 1 次，求命中不足 7 环的概率. 解：记“射击 1 次，命中 k 环”为事件 A (k∈N，且 k ≤ 10)，则事件 Ak 两两互斥. （1）记“射击 1 次，至少命中 7 环”为事件 A，则当 A10，A9，A8 或 A7 之一发生时，事件 A 发生. 由互斥事件的概率公式，得 P(A) = P(A10 + A9 + A8 + A7) = P(A10) + P(A9) + P(A8) + P(A7) = 0.12 + 0.18 + 0.28 + 0.32 = 0.9. （2）射击 1 次，求命中不足 7 环的概率. （2）事件“射击 1 次，命中不足 7 环”是事件“射击 1 次，命中至少 7 环”的对立事件，即 A 表示事件“射击 1 次，命中不足 7 环”. 根据对立事件的概率公式，得 P (A) = 1 - P (A) = 1 - 0.9 = 0.1 . 答：此人射击 1 次，至少命中 7 环的概率为 0.9，命中不足 7 环的概率为 0.1. 例3：黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示： 已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任何一种血型的人，任何人的血都可以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血. 小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问： （1）任找 1 个人，其血可以输给小明的概率是多少? （2）任找 1 个人，其血不能输给小明的概率是多少? 解：（1）对于任何 1 个人，其血型为 A，B，AB，O 型血的事件分别记为 A′，B′，C′，D′，它们是互斥的. 由已知，有 P(A′) = 0.28，P(B′) = 0.29，P(C′) = 0.08，P(D′) = 0.35. 因为 B，O 型血可以输给 B 型血的人，所以“可以输给 B 型血的人”为事件 B′ + D′. 根据互斥事件的概率加法公式，有 P(B′ + D′) = P(B′) + P(D′) = 0.29 + 0.35 = 0.64. （2）任找 1 个人，其血不能输给小明的概率是多少? （2）因为 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，所以“不能输给 B 型血的人”为事件 A' + C'，且 P(A′ + C′) = P(A′) + P(C′) = 0.28 + 0.08 = 0.36. 答：任找 1 个人，其血可以输给小明的概率为 0.64，其血不能输给小明的概率为 0.36. 思考：第（2）问还可使用其他方法求解吗？ （2）任找 1 个人，其血不能输给小明的概率是多少? 因为事件“其血可以输给 B 型血的人”与“其血不能输给 B 型血的人”是对立事件，所以由对立事件的概率公式，有 P(B′ + D′) = 1 - P(B′ + D′) = 1 - 0.64 = 0.36. 求解概率的基本方法 1. 当事件 A 的概率不易求，直接计算概率比较烦琐时，可先间接地计算其对立事件 B 的概率，再由公式 P(A) + P(B) = 1 求其概率． 2. 应用对立事件的概率公式时，一定要分清事件和其对立事件；该公式常用于“至少” “至多”型问题的求解． 回顾：根据本课所学知识，构建知识框图. 情境：课堂举办了一场抽奖活动，已知 3 张奖券只有 1 张能中奖，3 名同学有放回地抽取. 事件 A 为“第一名同学没有抽到中奖奖券”； 事件 B 为“第三名同学抽到中奖奖券”. 思考：上述问题中事件 A 的发生是否会影响 B 发生的概率？ 事件 A 和事件B 之间有什么关系？积事件 AB 又代表什么？ 因为抽取是有放回的，所以 A 的发生不会影响 B 发生的概率，即事件 A 和事件 B 相互独立； 我们知道，积事件 就是事件 与事件 同时发生. 因此，积事件 发生的概率一定与事件 发生的概率有关. 问题1：下面两个随机试验各定义了一对随机事件 A 和 B，试判断事件 A 发生与否会影响事件 B 发生的概率吗？ 试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币： A =“第一枚硬币正面朝上”， B =“第二枚硬币反面朝上”. 试验2：一个袋子中装有标号分别是 1，2，3，4 的 4 个球，小球除标号外没有其他差异，采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球. A =“第一次摸到球的标号小于 3”，B =“第二次摸到球的标号小于 3”. 分别计算两个试验中的 P (A)， P (B)，P (AB) . 说说你有什么发现？ 对于试验 1，因两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币抛掷结果与第二枚硬币抛掷结果互相不受影响，所以事件 A 发生与否不影响事件 B 发生的概率； 对于试验 2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件 A 发生与否也不影响事件 B 发生的概率. 试验1：用 1 表示硬币“正面朝上”，用 0 表示“反面朝上”，则样本空间为 ，包含 4 个等可能的样本点； ，，所以 ； 由古典概型概率计算公式，得 P(A) = P(B) = ，P(AB) = ， 于是 P(AB) = P(A)·P(B)； 发现：积事件的概率恰好等于与的乘积. 试验2：样本空间为， ， ， ； 所以，，于是也有. 发现：积事件的概率恰好等于与的乘积. 相互独立事件：对任意两个事件 A 和 B，如果 成立，则称 A，B 为相互独立事件. 延伸：由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件 、不可能事件 ∅都与任意事件相互独立；这是因为必然事件 总会发生，不会受任何事件的影响；同样，不可能事件 ∅总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响；当然，它们也不影响其他事件是否发生. 问题2：互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件与事件相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立？以有放回摸球试验为例，分别验证与，与，与是否独立，你有什么发现？ 对于与，因为，而且与互斥， 所以 所以. 由事件的独立性定义，与相互独立. 我们知道，如果三个事件，两两互斥，那么概率加法公式：成立； 但当三个事件，两两独立时，等式一般不成立.（类似地，可以证明事件与，与也都相互独立） 例1：一个袋子中有标号分别为1， 2， 3， 4的4个球， 除标号外没有其他差异. 采用不放回方式从中任意摸球两次. 设事件A =“第一次摸出球的标号小于3”，事件B =“第二次摸出球的标号小于3”， 那么事件A与事件B是否相互独立? B = {(1，2)， (2，1)， (3，1)， (3，2)， (4，1)， (4，2)}， 解：样本空间Ω = {(m，n)|m，n∈{1，2，3，4}， 且m≠n}，共12个样本点. A = {(1，2)， (1，3)， (1，4)， (2，1)， (2，3)， (2，4)}， AB = {(1，2)， (2，1)}. 因此，事件A与事件B不独立. 例2：天气预报元旦假期甲地的降雨概率是 0.2，乙地的降雨概率是 0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内： （1）甲、乙两地都降雨的概率； （2）甲、乙两地都不降雨的概率； （3）至少一个地方降雨的概率. 解：（1）甲、乙两地都降雨的概率为 0.2×0.3 = 0.06； （2）甲、乙两地都不降雨的概率为 (1 - 0.2)×(1 - 0.3) = 0.8×0.7 = 0.56； （3）解 1：至少一个地方降雨的概率为： 0.2×0.3 + (1 - 0.2)×0.3 + 0.2×(1 - 0.3) = 0.44； 解2：由（2）知，甲、乙两地都不降雨的概率为 0.56， 所以至少一个 地方降雨的概率为 1 - 0.56 = 0.44. 1.判断下列各组事件是否是相互独立事件. (1)甲组3名男生，2名女生，乙组2名男生，3名女生，现从甲乙两组中各选1名学生参加演讲比赛，“从甲组中选出一名男生”，与“从乙组中选出一名女生“ (2)容器内有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，从8个球中任意取出一个，“取出的是白球”与“从剩下的七个球中任意取出一个，取出的还是白球“ (1)“从甲组中选出一名男生”这一事件是否发生对“从乙组中选出一名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件； (2)从8个球中任意取出一个，取出的是白球的概率为5/8，若这一事件发生了，则从剩下的7个球中任意取出一个，取出的还是白球的概率为4/7；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为5/7，可见前一事件是否发生对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件. 2.掷一枚正方体骰子一次，设事件A：“出现偶数点”，事件B：“出现3点或6点”，则事件A，B的关系是(　　) A.互斥但不相互独立 B.相互独立但不互斥 C.互斥且相互独立 D.既不相互独立也不互斥 解：事件A ={2，4，6}，事件B ={3，6}，事件AB ={6}， 样本点空间Ω ={1，2，3，4，5，6}； 所以P(A) = = ，P(B) = = ，P(AB) = = ×，即P(AB) = P(A)P(B)， 因此，事件A与B相互独立； 当“出现6点”时，事件A，B同时发生，所以A，B不是互斥事件. B 1. 对任意两个事件A与B，如果 P(AB) = P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. 2. 必然事件 Ω、不可能事件 ∅都与任意事件相互独立. 3. 如果事件 A 与事件 B 相互独立，那么它们的对立事件是否也相互独立. $