精品解析：河北雄安新区部分学校2025-2026学年高二下学期4月份联考数学试卷

高二数学全卷 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 11种 C. 10种 D. 9种 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理计算即可. 【详解】种. 2. 已知是函数的导函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，所以. 3. 根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ） A. 曲线在点处切线的斜率 B. 曲线在点处切线的斜率 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 割线的斜率 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义及割线的定义结合函数的图象判断即可． 【详解】通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正， 所以最小值为曲线在点处切线的斜率. 故选：C 4. 某校从名女生和名男生中选出人参加一项创新大赛，则选出的人中至少有名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据古典概型利用对立事件求解概率. 【详解】由题意得，“至少有名女生”的对立事件是“选出的人全是男生”， 因此，故B正确. 5. 某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数取最小值时对应的的值即可得解. 【详解】由题意知， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取得最小值. 因此为使耗电量最小，则其速度应定为. 故选：C. 6. 若函数的极小值点为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对求导后，对分类讨论，利用函数单调性与极值点的关系即可求解. 【详解】因为， 所以. 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意； 若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增， 即此时没有极值点，故不符合题意； 若，当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 此时1是的极小值点，故符合题意； 综上所述，符合题意的的取值范围是. 故选：B. 7. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 384种 B. 168种 C. 108种 D. 192种 【答案】D 【解析】 【分析】先涂区域，再分类讨论涂4的种数，根据对称性知3，6的涂法，利用分步乘法计数原理得解. 【详解】先给2，5染色，有种方法， 若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法． 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种． 故选：D 8. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据导函数图象的正负判断函数的增减与极值、最值，依此判断各个选项即可. 【详解】对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确； 对于B，C，由题图易知在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得极大值， 当时，取得极小值，故BC，正确； 对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误. 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对二项式展开式赋值以及利用求导的方法来求解各项系数的值或系数之间的关系. 【详解】根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为， 所以，即，可得，故选项A正确； 二项式其展开式的通项公式为， 要求，也就是当时的系数， 将代入通项公式中， 先计算组合数， 则，故选项B错误； 令，则， 即，所以 又因为前面已经求得，那么，故选项C错误； 对两边同时求导。 左边求导为，右边求导为，即 令，则 即，所以，故选项D正确. 故选：AD. 11. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点 D. 若时，的值域为，则t的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用极大值和导数确定可判断A；由三次函数图象的对称中心性质可判断B；由导数的意义结合切线方程可判断C；利用单调性可判断D. 【详解】，， 因为函数在处有极大值，所以， 即，解得或3， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极小值点，不符合题意， 当时，， 当时，；当时，；当时，， 此时为极大值点，所以； 对于A，由以上可得，故A错误； 对于B，， 易知函数为奇函数，其图象关于原点对称， 而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到， 所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确； 对于C，由，所以切线方程为，即， 联立可得，解得， 即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有且仅有1个公共点， 故C正确； 对于D，因为，极大值，极小值，， 结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故D错误. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的定义，对已知极限式子进行变形，即可求解. 【详解】由导数的定义，可得函数在处的导数满足：， 则，解得. 13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】按照0是否在末位分类讨论即可求解. 【详解】末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法， 故末位是0的三位偶数有； 末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法， 故末位不是0的三位偶数有； 所以共有个． 故答案为：. 14. 设，且，若能被13整除，则等于______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了二项式定理的应用，整除问题的处理方法，掌握将数表示为与除数相关的形式并利用二项式定理展开是解题的关键． 将51表示为，利用二项式定理展开，因52是13的倍数，展开式中除末项外均可被13整除，故只需末项与的和能被13整除，结合求． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴． 故答案为：12． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值. 【答案】（1）的单调递增区间为和，单调递减区间为. （2）. 【解析】 【小问1详解】 因为. 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示. 0 2 + 0 - 0 + 单调递增 0 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为. 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值. 当时，取得极大值0. 又由. 所以. 16. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1）； （2）含的项； （3）各项系数和. 【答案】（1）6 （2） （3）729 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程，再求解参数即可. （2）利用二项式定理求出展开式的通项，再求解所需项即可. （3）利用赋值法求解各项系数和即可. 【小问1详解】 因为二项式系数的和为64， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）知，则二项式变为， 由二项式定理可得展开式的通项为， 令，得，故含的项为. 【小问3详解】 令，则各项系数和为. 17. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） （1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ （2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ （3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 【答案】（1）种 （2）种 （3）种 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法，将男生、女生分别捆绑在一起，求出各自的排列数，然后将捆绑后的男生、女生视为一个整体进行排列，最后根据分步乘法计数原理得到结果. （2）利用插空法，先求出3名男生的排列种数，然后利用插空法，将女生插入男生之间，进行排列，最后利用分步乘法计数原理求得答案. （3）先将甲乙丙以外的其余2人排好,然后根据题意将甲乙、丙排好，最后利用分步乘法计数原理求出答案. 【小问1详解】 先将3名男生排在一起，有种排法， 再将2名女生排在一起，有种排法， 将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法， 由分步乘法计数原理可知，共有种排法． 【小问2详解】 先将3名男生排好，共有种排法， 再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法， 再由分步乘法计数原理，共有种排法． 【小问3详解】 先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法， 由于甲乙相邻，则有种排法， 最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法， 由分步计数原理，共有种排法． 18. 已知，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若，求曲线过点的切线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得，根据题意，得到，且 ，列出方程组，即可求得的值，得到答案； （2）由（1）得到，求得，设切点为，得到切线方程为，将点代入切线方程，求得的值，进而求得切线方程. 【小问1详解】 解：由函数，其中，可得， 因为曲线在点处的切线方程为， 可得，且，即， 解得. 【小问2详解】 解：由（1）知，，可得， 设切点为，则切线的斜率，故切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 解得或，所以切点为或， 此时，曲线过点的切线方程为或. 19. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若有极值点，求的取值范围； （3）若有三个零点，求的取值范围． 【答案】（1）减区间为，无增区间 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）分析导数的符号变化，可得出函数的增区间和减区间； （2）令，其中，由可得，由题意可知直线与函数有交点（非切点），利用导数分析该函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）由可得，令，其中，可知，对实数的取值范围进行讨论，利用导数分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为，， 令，其中，则， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 所以，故函数的减区间为，无增区间. 【小问2详解】 因为，所以， 由可得，设，其中， 若函数有极值点，则直线与函数有交点（非切点）， ， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即函数在上为减函数，如下图所示： 由图可知，解得，故实数的取值范围是. 【小问3详解】 由可得， 所以函数有三个零点方程有三个实根， 令，其中，且， ， ①当时，对任意的，，即函数在上为增函数， 此时函数有且只有一个零点，不符合题意； ②当时，令，， （i）当时，即当时，对任意的时，恒成立， 所以函数在上有且只有一个零点，不符合题意； （ii）当时，即当时，函数有两个零点、， 由韦达定理可得，，所以， 当时，，所以函数在、上为减函数， 当时，，所以函数在上为增函数， 所以，， 当时，；当时，. 所以函数在区间、、上各有一个零点， 此时函数有三个零点，符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学全卷 满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答：字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 12种 B. 11种 C. 10种 D. 9种 2. 已知是函数的导函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 根据图中的函数图象，下列数值最小的是（ ） A. 曲线在点处切线的斜率 B. 曲线在点处切线的斜率 C. 曲线在点处切线的斜率 D. 割线的斜率 4. 某校从名女生和名男生中选出人参加一项创新大赛，则选出的人中至少有名女生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 6. 若函数的极小值点为1，则（ ） A. B. C. D. 7. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（ ） A. 384种 B. 168种 C. 108种 D. 192种 8. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 当时，取得极大值 C. 当时，取得极小值 D. 是在上的最大值 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数在处有极大值，则（ ） A. B. C. 曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点 D. 若时，的值域为，则t的取值范围为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________. 13. 从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答） 14. 设，且，若能被13整除，则等于______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值. 16. 已知的展开式中，二项式系数的和为64，求： （1）； （2）含的项； （3）各项系数和. 17. 为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果） （1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？ （2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？ （3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？ 18. 已知，曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若，求曲线过点的切线方程. 19. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若有极值点，求的取值范围； （3）若有三个零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $