21.3.2 第1课时 菱形的定义与性质-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.2 菱形 第1课时 菱形的性质菱形的性质 一、学习目标 1. 掌握菱形的定义，明确菱形与平行四边形的关系（菱形是特殊的平行四边形）； 2. 3. 熟练掌握菱形的性质（边、角、对角线），理解性质的推导过程，区分菱形与平行四边形、矩形性质的异同； 4. 5. 能运用菱形的性质进行证明、计算，解决与菱形相关的综合问题； 6. 7. 继续体会“特殊与一般”的数学思想，提升几何推理与综合应用能力。 8. 二、知识回顾 1. 平行四边形的核心性质 ① 边：对边平行且相等； ② 角：对角相等，邻角互补； ③ 对角线：互相平分。 2. 矩形的核心特殊性质（对比铺垫） ① 角：四个角都是直角；② 对角线：相等且互相平分。 3. 思考：平行四边形的另一类特殊性 当平行四边形的一组邻边变得相等时，这个平行四边形会变成什么图形？（引出菱形，铺垫菱形与平行四边形的从属关系）。 三、菱形的定义 文字语言：有一组邻边相等的平行四边形，叫做菱形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$AB=AD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是菱形。 注意1：菱形的定义包含两个核心条件——① 是平行四边形；② 有一组邻边相等，二者缺一不可； 注意2：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，同时还有自身的特殊性质； 注意3：正方形是特殊的菱形（有一个角是直角的菱形是正方形），但菱形不一定是正方形。 四、菱形的性质（核心，分通用性质和特殊性质） 1. 通用性质（继承平行四边形的所有性质） ① 边：菱形的对边平行且相等（$$AB\parallel CD$$，$$AD\parallel BC$$，$$AB=CD$$，$$AD=BC$$）； ② 角：菱形的对角相等，邻角互补（$$\angle A=\angle C$$，$$\angle B=\angle D$$，$$\angle A+\angle B=180^\circ$$）； ③ 对角线：菱形的对角线互相平分（$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$O$$为对角线交点）。 2. 特殊性质（菱形独有的性质，重点掌握） 性质1（边）：菱形的四条边都相等。 文字语言：菱形的四条边长均相等； 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AB=BC=CD=DA$$。 性质2（对角线）：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 文字语言：菱形的两条对角线互相垂直，一条对角线平分它所对的两组对角； 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AC\perp BD$$，$$\angle BAO=\angle DAO$$，$$\angle ABO=\angle CBO$$，$$\angle BCO=\angle DCO$$，$$\angle CDO=\angle ADO$$（$$O$$为对角线交点）。 补充：菱形的面积公式（2种，重点掌握）： ① 常规公式：$$S=\text{底}\times\text{高}$$（与平行四边形面积公式一致）； ② 特殊公式：$$S=\frac{1}{2}\times AC\times BD$$（对角线互相垂直的四边形通用，菱形适用），即菱形面积等于两条对角线长度乘积的一半。 五、性质推导（重点，利用平行四边形性质证明） 1. 证明“菱形的四条边都相等” 已知：四边形$$ABCD$$是菱形，且$$AB=AD$$。 求证：$$AB=BC=CD=DA$$。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形， ∴ 平行四边形对边相等，即$$AB=CD$$，$$AD=BC$$（平行四边形对边相等）， 又∵ $$AB=AD$$（菱形定义）， ∴ $$AB=BC=CD=DA$$（等量代换）， ∴ 菱形的四条边都相等。 2. 证明“菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角” 已知：四边形$$ABCD$$是菱形，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$。 求证：$$AC\perp BD$$，$$\angle BAO=\angle DAO$$，$$\angle ABO=\angle CBO$$。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AB=AD$$，$$OA=OC$$，$$OB=OD$$（菱形是平行四边形，对角线互相平分；菱形四条边相等）， 在$$\triangle AOB$$和$$\triangle AOD$$中： $$\begin{cases} AB=AD（菱形四条边相等） \\ OA=OA（公共边） \\ OB=OD（平行四边形对角线互相平分） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=AD（菱形四条边相等） \\ OA=OA（公共边） \\ OB=OD（平行四边形对角线互相平分） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=AD（菱形四条边相等） \\ OA=OA（公共边） \\ OB=OD（平行四边形对角线互相平分） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=AD（菱形四条边相等） \\ OA=OA（公共边） \\ OB=OD（平行四边形对角线互相平分） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=AD（菱形四条边相等） \\ OA=OA（公共边） \\ OB=OD（平行四边形对角线互相平分） \end{cases}$$ ∴ $$\triangle AOB\cong\triangle AOD（SSS）$$， ∴ $$\angle AOB=\angle AOD$$，$$\angle BAO=\angle DAO$$（全等三角形对应角相等）， ∵ $$\angle AOB+\angle AOD=180^\circ$$（平角定义），∴ $$2\angle AOB=180^\circ$$，即$$\angle AOB=90^\circ$$， ∴ $$AC\perp BD$$， 同理可证：$$\angle ABO=\angle CBO$$，$$\angle BCO=\angle DCO$$，$$\angle CDO=\angle ADO$$， ∴ 菱形的对角线互相垂直，且每条对角线平分一组对角。 六、典型例题 例1（基础应用：边与对角线计算） 在菱形$$ABCD$$中，对角线$$AC=6cm$$，$$BD=8cm$$，求菱形的边长和面积。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是菱形， ∴ 对角线$$AC\perp BD$$，且$$OA=\frac{1}{2}AC$$，$$OB=\frac{1}{2}BD$$（菱形对角线互相垂直且互相平分）， ∴ $$OA=\frac{1}{2}\times6=3cm$$，$$OB=\frac{1}{2}\times8=4cm$$， 在$$\text{Rt}\triangle AOB$$中，由勾股定理得： $$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5cm$$， ∵ 菱形的四条边相等，∴ 菱形的边长为$$5cm$$； 由菱形面积公式得：$$S=\frac{1}{2}\times AC\times BD=\frac{1}{2}\times6\times8=24cm^2$$。 例2（进阶应用：对角线与角度计算） 在菱形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$平分$$\angle BAD$$，且$$\angle BAD=60^\circ$$，$$AB=4cm$$，求对角线$$AC$$和$$BD$$的长度。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AB=AD=4cm$$（菱形四条边相等）， ∵ $$\angle BAD=60^\circ$$，$$AB=AD$$，∴ $$\triangle ABD$$是等边三角形， ∴ $$BD=AB=4cm$$， ∵ 菱形对角线互相垂直平分，∴ $$BO=\frac{1}{2}BD=2cm$$，$$AC\perp BD$$， 在$$\text{Rt}\triangle AOB$$中，由勾股定理得： $$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}cm$$， ∴ $$AC=2AO=4\sqrt{3}cm$$。 例3（综合应用：菱形与全等三角形结合） 如图，在菱形$$ABCD$$中，$$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$AD$$的中点，连接$$CE$$、$$CF$$，求证：$$CE=CF$$。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是菱形，∴ $$AB=AD=BC=CD$$，$$\angle B=\angle D$$（菱形四条边相等、对角相等）， ∵ $$E$$、$$F$$分别是$$AB$$、$$AD$$的中点，∴ $$BE=\frac{1}{2}AB$$，$$DF=\frac{1}{2}AD$$， ∴ $$BE=DF$$（等量代换）， 在$$\triangle BCE$$和$$\triangle DCF$$中： $$\begin{cases} BC=CD（菱形四条边相等） \\ \angle B=\angle D（菱形对角相等） \\ BE=DF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} BC=CD（菱形四条边相等） \\ \angle B=\angle D（菱形对角相等） \\ BE=DF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} BC=CD（菱形四条边相等） \\ \angle B=\angle D（菱形对角相等） \\ BE=DF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} BC=CD（菱形四条边相等） \\ \angle B=\angle D（菱形对角相等） \\ BE=DF（已证） \end{cases}$$$$\begin{cases} BC=CD（菱形四条边相等） \\ \angle B=\angle D（菱形对角相等） \\ BE=DF（已证） \end{cases}$$ ∴ $$\triangle BCE\cong\triangle DCF（SAS）$$， ∴ $$CE=CF$$（全等三角形对应边相等）。 七、易错提醒 1. 混淆菱形与平行四边形、矩形的性质：菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，但平行四边形、矩形不一定具有菱形的特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直）； 2. 3. 误用菱形面积公式：忘记“对角线乘积的一半”这一特殊公式，或使用时忽略“对角线互相垂直”的前提； 4. 5. 忽略菱形的隐含条件：菱形的四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角，这些隐含条件可作为解题的突破口； 6. 7. 证明菱形性质时，忘记利用平行四边形的性质推导，或遗漏“对角线平分一组对角”的证明要点。 8. 八、课堂练习 1. 在菱形$$ABCD$$中，对角线$$AC=10cm$$，$$BD=12cm$$，则菱形的边长为________$$cm$$，面积为________$$cm^2$$。 2. 3. 已知菱形的边长为$$5cm$$，一条对角线长为$$6cm$$，则另一条对角线长为________$$cm$$。 4. 5. 如图，在菱形$$ABCD$$中，$$\angle ABC=120^\circ$$，$$AB=6cm$$，求证：$$\triangle ABC$$是等边三角形，并求对角线$$AC$$的长度。 6. 九、课堂小结 1. 核心概念：菱形（有一组邻边相等的平行四边形），是特殊的平行四边形； 2. 核心性质：① 通用性质（继承平行四边形：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分）；② 特殊性质（四条边相等、对角线互相垂直且平分一组对角）； 3. 重点公式：菱形面积=$$\text{底}\times\text{高}=\frac{1}{2}\times$$两条对角线乘积； 4. 应用场景：求菱形的边长、对角线长度、面积，解决与直角三角形、全等三角形结合的综合问题，体会“特殊与一般”的数学思想。 教学设计 教学目标 课题 21.3.2 第1课时菱形的性质 授课人 素养目标 1.理解菱形的概念，了解菱形与平行四边形之间的关系. 2.经历菱形性质定理的探索过程，发展学生的推理能力. 3.能运用菱形的性质定理进行计算或证明，提高学生分析问题、解决问题的能力. 教学重点 菱形性质定理的理解和应用. 教学难点 菱形性质定理的探究与证明. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：动态演示，导入新课 【情境导入】 拿一个活动的平行四边形教具，移动它的一条边，使这条边与邻边的长度相等，这时它是什么图形?(动画演示拉动过程如图) 概念引入：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 仔细观察下列实际生活中的图片，你觉得哪些有菱形的形象? 菱形是生活中很常见的图形，你还能列举出菱形在生活中应用的其他例子吗?我们一起来探讨一下菱形的性质吧！ 【教学建议】 让学生根据生活经验及图片思考菱形的概念，教师总结并提示菱形的概念. 设计意图 动态演示平行四边形变成菱形的过程，使学生了解菱形的概念. 活动二：动手操作，探究新知 探究点1 菱形的性质 将一个菱形分别沿它的两条对角线对折，然后打开. 观察图形，回答下列问题： (1)菱形在对称性方面有什么特点? 答：菱形是轴对称图形，它的每条对角线所在的直线就是它的对称轴. (2)菱形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊之处? 答：菱形在平行四边形的基础上多了邻边相等的条件. (3)平行四边形的两组对边分别相等，那么菱形的四条边有怎样的关系呢? 答：由于菱形是有一组邻边相等的平行四边形，由平行四边形对边相等的性质容易发现菱形的四条边都相等. 归纳总结：菱形的四条边都相等. (4)我们通过刚刚的折纸，可以发现菱形的两条对角线有什么位置关系? 答：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 下面我们来试着证明这条性质： 求证：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 【教学建议】 (1)引导学生类 比平行四边形和矩形，从边、角、对角线和轴对称性等方面来研究菱形的性质. (2)告诉学生以 下两点： ①菱形作为特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的性质外，还具有四条边都相等，两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角的特殊性质；②菱形和矩形一样，都是轴对称图形. 设计意图 通过动手操作让学生了解菱形的性质. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 已知：如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O. 求证:AC⊥BD,AC 平分∠BAD,CA 平分∠BCD,BD 平分∠ABC,DB 平分∠ADC. 证明:∵四边形 ABCD 是菱形,∴AB=AD,OB=OD, ∴AC⊥BD,AC 平分∠BAD(等腰三角形的三线合一). 同理,CA 平分∠BCD,BD 平分∠ABC,DB 平分∠ADC. 归纳总结：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角. 综合来看，这两条性质可用下面的几何语言来表示： 几何语言:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,AC平分∠BAD,CA 平分∠BCD,BD平分∠ABC,DB 平分∠ADC. 【对应训练】 1.菱形不具有的性质是(B) A.四条边都相等 B.对角线相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直 2.如图,BD 是菱形ABCD 的一条对角线,点 E 在 BC 的延长线上.若∠ADB=32°,则∠DCE 的度数为 64° . 3.教材P73练习第2题. 设计意图 探究菱形面积计算的多种方式，在巩固菱形的性质的同时解决有关菱形的实际问题. 探究点2 菱形的面积 如图，比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，可以发现，菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，而平行四边形一般只被分成两对全等的三角形. 那么菱形的面积除了像平行四边形那样利用底×高来计算外，还可以怎样计算? 答：菱形的面积还可以利用4个全等的直角三角形面积的和来计算. 归纳总结：菱形被它的两条对角线分成四个全等的直角三角形，它们的底和高分别是两条对角线的一半.所以利用三角形的面积公式可以得到，菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半. 例1 (教材P73例3)如图,菱形花坛ABCD 的边长为20m,∠ABC=60°,沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD.求两条小路的长(结果保留小数点后两位)和花坛的面积(结果保留小数点后一位). 解:设 AC,BD 相交于点 O. ∵花坛 ABCD 的形状是菱形， 在 Rt△ABO 中, ∴花坛的两条小路长AC=2AO=20(m),BD=2BO=20 ≈34.64(m). 花坛的面积 【教学建议】 (1)让学生尝试 利用两种不同的方法解决有关菱形面积的问题. (2)告诉 学生: ①除了常规的计算平行四边形面积的方法，菱形的面积也可以表示为对角线乘积的一半；②由于菱形的两条对角线互相垂直，所以在计算过程中常会用到勾股定理. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 【对应训练】 1.教材 P73练习第1题. 2.小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六椀菱花图案所吸引，他从中提取出一个含60°角的菱形 ABCD(如图).若AB的长为2,求菱形 ABCD 的面积. 解:如图,过点 A 作 AH⊥BC 于点 H.∵四边形 ABCD 是菱形,∴BC=AB=2. ∵∠B=60°,∴∠BAH=90°-∠B=30°,△ABC 是等边三角形. 由勾股定理易得 ∴菱形 ABCD 的面积为1 活动三：运用新知，巩固提升 例2 如图,在菱形ABCD 中,过点 B 分别作BM⊥AD 于点M,BN⊥CD 于点N,BM,BN 分别交AC 于点E,F.求证:AE=CF. 证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB=CB,∠BAM=∠BCN,AC 平分∠BAM,CA平分∠BCN, ∴∠BAE=∠DAE=∠DCF=∠BCF. ∵BM⊥AD,BN⊥CD,∴∠AMB=∠CNB=90°. ∴∠BAM+∠ABE=90°,∠BCN+∠CBF=90°, ∴∠ABE=∠CBF. 在△ABE 和△CBF 中 ∴△ABE≌△CBF(ASA),∴AE=CF. 【对应训练】 1.如图,四边形ABCD 是菱形,F 是AB上一点,DF 交AC 于点E,连接BE.求证:∠AFD=∠CBE. 证明:∵四边形 ABCD 是菱形, ∴AB∥CD,CB=CD,CA 平分∠BCD. ∴∠BCE=∠DCE. 又CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS). ∴∠CBE=∠CDE. ∵AB∥CD,∴∠AFD=∠CDE.∴∠AFD=∠CBE. 2.教材P74练习第3题. 【教学建议】 提醒学生：(1)菱形的四条边相等，每一条对角线平分一组对角，根据这些性质可以得到等线段和等角，这为证明三角形全等提供了一些条件；(2)如果菱形的一个内角为 60°，那么菱形的两条边和较短的对角线构成的三角形为等边三角形. 设计意图 巩固学生对菱形的概念及性质的认知，提高对知识的综合运用能力. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 菱形的概念是什么?菱形有哪些不同于平行四边形的性质?菱形的面积都有哪些计算方法? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P79~80习题21.3第4,11,12(2)题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 八年级数学下册 75 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 板书设计 21.3.2 菱形 第1课时 菱形的性质 1.菱形的概念. 2.菱形的性质：(1)边的性质；(2)角的性质；(3)对角线的性质；(4)轴对称性. 3.菱形的面积计算公式. 教学反思 设置菱形图片，体现数学来源于生活；通过平移平行四边形的一条边，使其一组邻边相等得到菱形；折纸活动让学生主动探索菱形的性质，让学生感知菱形与平行四边形之间的关系. 通过运用菱形的性质解决简单的实际问题，让学生认识到数学在现实生活中有着广泛的应用，可以培养学生的应用意识. 备课素材 解题大招 解题大招 菱形的性质 (1)菱形的对角线互相垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角，因此菱形的性质可用来证明线段相等、角相等、直线平行、垂直，也可以进行有关的计算； (2)菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形，因此常用勾股定理进行菱形的有关计算. 注意：(1)菱形的两条对角线互相垂直平分，但不一定相等； (2)对角线互相垂直的任意四边形的面积都等于对角线的长的积的一半. 例1 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,过点 D 作DH⊥BC 于点H,连接OH.若OA=4,S菱形ABCD=24,则OH 的长为(B) B.3C. D. A. 解析:∵四边形ABCD 是菱形,∴AC⊥BD,DO=BO,AO=CO.∵AO=4,∴AC=2AO=8. 解得 BD=6.∵DH⊥BC,∴∠DHB=90°. 故选 B. 例2 如图,四边形 ABCD 是菱形,AE⊥BC 于点E,AF⊥CD 于点F. (1)求证:△ABE≌△ADF; (2)若AE=4,CF=2,求菱形ABCD 的边长. (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D. ∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°. 在△ABE 和△ADF 中,(∠AB=∠AL,FD,∴△ABE≌△ADF(AAS). (2)解:设菱形ABCD的边长为x,则AB=CD=x. ∵CF=2,∴DF=x-2. ∵△ABE≌△ADF,∴BE=DF=x-2. 在 Rt△ABE 中,根据勾股定理,得 即 ,解得x=5,∴菱形ABCD 的边长是5. 学科网（北京）股份有限公司 例3 将两个完全相同的含有30°角的直角三角尺在同一平面内按如图所示的方式摆放，点A，E，B，D依次在同一直线上,连接AF,CD. (1)求证：四边形AFDC 是平行四边形； (2)已知BC=6cm,当四边形AFDC 是菱形时,AD 的长为 18 cm. (1)证明:由题意可知△ACB≌△DFE,∴AC=DF,∠CAB=∠FDE=30°. ∴AC∥DF,∴四边形AFDC是平行四边形. (2)解析:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=6cm,∴AB=2BC=12cm,∠ABC=60°.∵四边形AFDC是菱形,∴DA 平分∠CDF,∴∠CDA=∠FDA=30°.∵∠ABC=∠CDA+∠BCD,∴∠BCD=∠ABC-∠CDA=60°-30°=30°,∴∠CDA=∠BCD.∴BD=BC=6cm,∴AD=AB+BD=18(cm).故答案为18. 培优计划 培优点 利用菱形的性质判定、证明和计算 例1 如图,菱形ABCD的对角线AC,BD 相交于点O,E是AD 的中点,连接OE,过点 D作DF∥AC交OE 的延长线于点F，连接AF. (1)求证:△AOE≌△DFE; (2)判断四边形AODF 的形状，并说明理由. (1)证明:∵E是AD 的中点,∴AE=DE. ∵DF∥AC,∴∠OAE=∠FDE.又∠AEO=∠DEF,∴△AOE≌△DFE(ASA). (2)解:四边形 AODF 为矩形.理由: ∵△AOE≌△DFE,∴AO=DF.∵AO∥DF,∴四边形AODF 为平行四边形. ∵四边形ABCD 为菱形,∴AC⊥BD,即∠AOD=90°.∴四边形AODF 为矩形. 例2 如图,四边形ABCD 是菱形,E 是AB的中点,AC 的垂线EF交AC于点G,交AD 于点M,交CD的延长线于点 F. (1)求证:AM=AE. (2)连接CM,DF=2. ①求菱形ABCD的周长； ②若∠ADC=2∠MCF,求 ME 的长. (1)证明:∵四边形ABCD 是菱形,AC是其对角线,∴∠MAG=∠EAG. ∵EM⊥AC,∴∠AGM=∠AGE=90°.又AG=AG,∴△AGM≌△AGE(ASA).∴AM=AE. (2)解:①∵E 是AB 的中点, ∵四边形ABCD 是菱形,∴AB∥CD,AD=AB. ∴∠AEM=∠F,∠EAM=∠FDM,AM= AD.∴AM=DM. ∴△MAE≌△MDF(AAS),∴AE=DF=2. ∴AB=2AE=4. ∴菱形ABCD的周长为4AB=4×4=16. ②∵△MAE≌△MDF,∴ME=MF,AE=DF. 又AM=AE=MD,∴DF=DM.∴∠DMF=∠F. ∴∠ADC=∠F+∠DMF=2∠F. ∵∠ADC=2∠MCF,∴∠F=∠MCF,∴MF=MC=ME. 如图，连接CE. ∵△AGM≌△AGE,∴GM=GE. 又∠CGM=∠CGE=90°,CG=CG,∴△CGM≌△CGE(SAS). ∴CM=CE=ME.∴△CME 为等边三角形.∴∠CME=60°. 又∠CME=∠F+∠MCF=2∠MCF,∴∠MCF=∠F=30°.∴∠ADC=2∠F=60°.∴∠DMC=90°. ∵ . 学科网（北京）股份有限公司 $