21.3.1 第2课时 矩形的判定-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

第2课时 矩形的判定矩形的判定 一、学习目标 1. 掌握矩形的4种判定方法（定义、角、对角线），明确判定与性质的区别与联系； 2. 3. 理解每种判定方法的推导过程，能结合矩形性质、平行四边形判定灵活推导； 4. 5. 能运用矩形的判定方法进行证明、说理和计算，解决与矩形相关的综合问题； 6. 7. 进一步体会“特殊与一般”的数学思想，提升几何推理与综合应用能力。 8. 二、知识回顾 1. 矩形的核心性质 ① 边：对边平行且相等（继承平行四边形）； ② 角：四个角都是直角（矩形特殊性质）； ③ 对角线：相等且互相平分（矩形特殊性质+平行四边形性质）。 2. 平行四边形的判定（铺垫） ① 两组对边分别平行/相等；② 一组对边平行且相等；③ 对角线互相平分；④ 两组对角分别相等。 3. 思考：如何由“性质”逆推“判定” 矩形是特殊的平行四边形，其性质是“已知矩形→得边角、对角线关系”，判定则是“已知边角、对角线关系→证是矩形”，可由矩形性质逆推判定方法。 三、矩形的判定方法（核心，4种，重点掌握） 判定方法1：定义判定（最基础，本质是“特殊平行四边形”） 文字语言：有一个角是直角的平行四边形，叫做矩形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$\angle A=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形。 关键：先证是平行四边形，再证有一个角是直角（直角可任选一个）；两个条件缺一不可。 判定方法2：角的判定（由“矩形四个角是直角”逆推） 文字语言：有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$中，$$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形。 推导思路：四边形内角和为$$360^\circ$$，三个角为直角，则第四个角也为$$90^\circ$$，两组对角分别相等，可先证是平行四边形，再用定义判定为矩形。 判定方法3：对角线的判定（由“矩形对角线相等”逆推，针对平行四边形） 文字语言：对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且$$AC=BD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形。 关键：先证是平行四边形，再证对角线相等；若仅对角线相等，不能判定为矩形（如等腰梯形对角线也相等）。 判定方法4：对角线的补充判定（直接判定四边形为矩形） 文字语言：对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 几何语言：∵ 四边形$$ABCD$$中，$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，且$$AC=BD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形。 推导思路：对角线互相平分→四边形是平行四边形，再结合对角线相等→用方法3判定为矩形（可直接使用，无需分步证明）。 四、核心判定方法推导（重点，结合平行四边形、矩形性质） 1. 推导“对角线相等的平行四边形是矩形” 已知：四边形$$ABCD$$是平行四边形，对角线$$AC=BD$$。 求证：四边形$$ABCD$$是矩形。 证明：∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，∴ $$AB=CD$$，$$AB\parallel CD$$（平行四边形对边平行且相等）， 在$$\triangle ABC$$和$$\triangle DCB$$中： $$\begin{cases} AB=CD（平行四边形对边相等） \\ BC=CB（公共边） \\ AC=BD（已知） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（平行四边形对边相等） \\ BC=CB（公共边） \\ AC=BD（已知） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（平行四边形对边相等） \\ BC=CB（公共边） \\ AC=BD（已知） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（平行四边形对边相等） \\ BC=CB（公共边） \\ AC=BD（已知） \end{cases}$$$$\begin{cases} AB=CD（平行四边形对边相等） \\ BC=CB（公共边） \\ AC=BD（已知） \end{cases}$$ ∴ $$\triangle ABC\cong\triangle DCB（SSS）$$， ∴ $$\angle ABC=\angle DCB$$（全等三角形对应角相等）， ∵ $$AB\parallel CD$$，∴ $$\angle ABC+\angle DCB=180^\circ$$（两直线平行，同旁内角互补）， ∴ $$2\angle ABC=180^\circ$$，即$$\angle ABC=90^\circ$$， ∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且有一个角是直角，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形（定义判定）。 2. 推导“有三个角是直角的四边形是矩形” 已知：四边形$$ABCD$$中，$$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ$$。 求证：四边形$$ABCD$$是矩形。 证明：∵ 四边形内角和为$$360^\circ$$，∴$$\angle D=360^\circ-\angle A-\angle B-\angle C=360^\circ-90^\circ-90^\circ-90^\circ=90^\circ$$， ∴ $$\angle A=\angle C=90^\circ$$，$$\angle B=\angle D=90^\circ$$，即两组对角分别相等， ∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）， 又∵ $$\angle A=90^\circ$$，∴ 四边形$$ABCD$$是矩形（定义判定）。 五、典型例题 例1（基础应用：定义判定） 已知：在平行四边形$$ABCD$$中，$$AE\perp BC$$于点$$E$$，$$AF\perp CD$$于点$$F$$，且$$AE=AF$$，求证：四边形$$ABCD$$是矩形。 解： ∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，∴ $$AB\parallel CD$$，$$\angle B=\angle D$$， ∵ $$AE\perp BC$$，$$AF\perp CD$$，∴ $$\angle AEB=\angle AFD=90^\circ$$， 在$$\triangle AEB$$和$$\triangle AFD$$中： $$\begin{cases} \angle B=\angle D \\ \angle AEB=\angle AFD \\ AE=AF \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle B=\angle D \\ \angle AEB=\angle AFD \\ AE=AF \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle B=\angle D \\ \angle AEB=\angle AFD \\ AE=AF \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle B=\angle D \\ \angle AEB=\angle AFD \\ AE=AF \end{cases}$$$$\begin{cases} \angle B=\angle D \\ \angle AEB=\angle AFD \\ AE=AF \end{cases}$$ ∴ $$\triangle AEB\cong\triangle AFD（AAS）$$， ∴ $$\angle B=\angle D=90^\circ$$， ∵ 四边形$$ABCD$$是平行四边形，且有一个角是直角， ∴ 四边形$$ABCD$$是矩形（定义判定）。 例2（进阶应用：对角线判定） 如图，在四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC$$、$$BD$$交于点$$O$$，且$$OA=OC$$，$$OB=OD$$，$$AC=BD$$，求证：四边形$$ABCD$$是矩形。 解： ∵ $$OA=OC$$，$$OB=OD$$，∴ 四边形$$ABCD$$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）， 又∵ $$AC=BD$$， ∴ 四边形$$ABCD$$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 例3（综合应用：多方法判定） 已知：在$$\triangle ABC$$中，$$AB=AC$$，$$D$$是$$BC$$的中点，$$AE\parallel BC$$，$$CE\parallel AB$$，求证：四边形$$ADCE$$是矩形。 解： ∵ $$AE\parallel BC$$，$$CE\parallel AB$$，∴ 四边形$$ABCE$$是平行四边形， ∴ $$AE=BC$$，$$AE\parallel BC$$， ∵ $$AB=AC$$，$$D$$是$$BC$$的中点，∴ $$AD\perp BC$$（等腰三角形三线合一）， ∴ $$\angle ADC=90^\circ$$， ∵ $$AE\parallel BC$$，∴ $$\angle DAE=\angle ADC=90^\circ$$， ∵ 四边形$$ADCE$$是平行四边形（由$$AE\parallel DC$$，$$AE=DC=\frac{1}{2}BC$$可得），且有一个角是直角， ∴ 四边形$$ADCE$$是矩形（定义判定）。 六、易错提醒 1. 误用对角线判定：仅“对角线相等”不能判定四边形是矩形，必须先证是平行四边形（或同时满足“对角线互相平分”）； 2. 3. 混淆判定与性质：性质是“矩形→边角、对角线关系”，判定是“边角、对角线关系→矩形”，不可逆向乱用； 4. 5. 定义判定遗漏条件：忘记先证“是平行四边形”，直接由“一个角是直角”判定为矩形； 6. 7. 选择判定方法不灵活：已知“平行四边形”，优先用定义或对角线相等判定；已知“普通四边形”，优先用“三个角是直角”或“对角线相等且互相平分”判定。 8. 七、课堂练习 1. 下列四边形中，能判定为矩形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 对角线相等的四边形 C. 有一个角是直角的平行四边形 D. 有两个角是直角的四边形 2. 3. 在平行四边形$$ABCD$$中，对角线$$AC=10$$，$$BD=8$$，则四边形$$ABCD$$________（填“是”或“不是”）矩形。 4. 5. 如图，在四边形$$ABCD$$中，$$\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ$$，$$AB=3cm$$，$$BC=4cm$$，求四边形$$ABCD$$的对角线长度。 6. 八、课堂小结 1. 核心判定方法（4种）： ① 定义：有一个角是直角的平行四边形； ② 角：有三个角是直角的四边形； ③ 对角线（平行四边形）：对角线相等的平行四边形； ④ 对角线（四边形）：对角线相等且互相平分的四边形。 2. 关键思路：判定矩形的核心是“先证平行四边形，再证特殊条件（直角、对角线相等）”，或直接用四边形的特殊条件判定； 3. 易错点：牢记判定的前提条件，区分矩形与平行四边形的判定差异，避免遗漏条件； 4. 应用：结合平行四边形、全等三角形、等腰三角形等知识，灵活选择判定方法解决综合问题。 教学设计 教学目标 课题 21.3.1 第2课时 矩形的判定 授课人 素养目标 1.理解并掌握矩形的判定方法. 2.通过互逆命题提出猜想，验证矩形的判定定理，培养分析问题和解决问题的能力. 3.能应用矩形的判定方法进行证明和计算. 教学重点 矩形判定定理的理解与应用. 教学难点 选择合适的方法判定四边形为矩形. 教学活动 教学步骤 师生活动 活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 同学们我们首先回忆一下： 1.矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形. 2.矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等. 矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面这个例子： 工人师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行： (1)先截出两对符合规格的铝合金窗料，如图①，使AB=CD，EF=GH； (2)摆放成如图②所示的四边形，则这时窗框的形状是 平行四边形 ，根据的数学道理是 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ； (3)将直角尺靠在窗框的一个角上，如图③，调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，如图④，说明窗框合格，这时窗框是 矩形 ，根据的数学道理是 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 . 概念可以判定矩形.除此之外，还有没有其他判定方法呢?比照平行四边形的判定，矩形性质定理的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢?我们来看下. 【教学建议】 让学生根据生活情境，清晰地了解到矩形是由平行四边形的一个角转变成直角演变而来的，这是矩形的判定，也是它的概念. 设计意图 通过生活情境引出课题学习. 活动二：动手验证，探究新知 探究点1 对角线相等的平行四边形是矩形 如图，为了防蚊虫，数学老师为自家定制了一扇矩形的纱门.安装师傅上门安装时，数学老师利用卷尺测量了两组对边，发现它们分别相等，又测量了两条对角线，发现它们也相等，于是就知道了该纱门是矩形的.同学们知道这是为什么吗?我们可以这么思考： 1.如果纱门的两组对边分别相等，说明纱门是什么形状? 答：说明纱门是平行四边形，因为两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 2.数学老师又测量了两条对角线是否相等，并在此基础上判断纱门是不是矩形，你猜测数学老师的判断标准是什么? 答：对角线相等的平行四边形是矩形. 数学老师的这个判断标准对不对呢?我们尝试证明一下. 已知:如图,四边形 ABCD 是平行四边形,且AC=BD. 求证：四边形ABCD 是矩形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=DC,AB∥DC.又AC=DB,BC=CB, 【教学建议】 这里教师需提醒学生：对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等这一条件必须建立在平行四边形的基础上. 设计意图 通过材料引发学生的思考，先想到平行四边形，再想到由对角线相等得到矩形. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 ∴△ABC≌△DCB(SSS),∴∠ABC=∠DCB. ∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°. ∴∠ABC=90°,∴四边形 ABCD 是矩形. 归纳总结：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴四边形ABCD 是矩形. 【对应训练】 教材P71练习第 2题. 设计意图 探究点2 有三个角是直角的四边形是矩形 我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题成立吗?即四个角都是直角的四边形是矩形吗?进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形? 猜测有三个角是直角的四边形是矩形.我们一起来验证一下： 已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°. 求证：四边形ABCD 是矩形. 证明:∵∠A=∠B=∠C=90°, ∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°. ∴AD∥BC,AB∥CD. ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又∠A=90°,∴四边形 ABCD 是矩形. 归纳总结：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴四边形ABCD 是矩形. 【对应训练】 1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是(B) 2.教材P71练习第 1题. 【教学建议】 引导学生由三个角是直角去判定四边形为矩形，因为如果三个角是直角，由四边形内角和定理很容易知道第四个角也是直角. 另外提醒学生： “有三个角是直角的四边形是矩形”这一判定定理是在四边形的基础上进行的，另外两个判定方法均是在平行四边形的基础上进行的. 利用逆向思维思考性质，让同学们在解决问题的过程中总结判定定理. 活动三：运用新知，巩固提升 例 (教材P71例2)如图，▱ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G,H.求证:四边形EFGH 是矩形. 分析：根据已知条件，容易证明四边形 EFGH 的一个内角∠F 为直角，同理可证∠H，∠AEB也为直角，从而证明四边形 EFGH 是矩形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD. ∴∠BAD+∠ADC=180°. 又AF,DF 分别平分∠BAD,∠ADC, ∴∠F=90°. 同理∠H=∠AEB=90°. ∴∠FEH=∠AEB=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形. 【对应训练】 1.教材P71练习第 3题. 【教学建议】 (1)给学生总结 判定矩形的三种类型：①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③有三个角是直角的四边形. (2)提醒学生注 意，判定矩形所需的条件，题目往往不会全部给出，有些条件需要结合其他几何知识自己去证得，如证直角，证对角线相等，证平行四边形. 设计意图 巩固学生对矩形判定定理的掌握. 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 2.如图,□ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O,AC⊥AB,∠AOB=60°,E,F 分别是OB,OD 的中点,连接AE,CE,CF,AF. (1)求证:四边形 AECF 为矩形; (2)若AB=3,求矩形AECF 的面积. (1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵E,F 分别是OB,OD 的中点, ∴OE=OF,∴四边形 AECF 是平行四边形. ∵AC⊥AB,∠AOB=60°,∴∠BAO=90°,∴∠ABO=30°,∴OA= OB=OE. ∴AC=EF,∴▱AECF 为矩形. (2)解:由(1)得OA=OE=OC=OF,∠AOB=60°,∠ABO=30°, ∴△OAE 是等边三角形, ∴AE=OA,AF=AB=3. 在 Rt△OAB 中,由勾股定理易得( ∴矩形 AECF 的面积 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：矩形的判定方法有哪几种? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P78~79习题21.3第1,2题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 板书设计 21.3.1 矩形 第2课时 矩形的判定 1.矩形的概念. 2.矩形的判定定理 1. 3.矩形的判定定理 2. 教学反思 本节课的主要任务是探究矩形的三个判定方法，教学过程中应将矩形的判定与平行四边形的判定作比较，让学生之间相互交流，说出矩形与平行四边形的区别与联系，进而更好地掌握知识. 教师安排对应的判定方法训练题巩固新知，学生需要根据已知条件灵活选用判定方法，提升分析问题和解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $