精品解析：河北沧州市部分校2025-2026学年高二下学期第二次阶段总结数学试题

高二年级下学期第二次阶段总结 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读中国名著和外国名著各一本，现有6本中国名著和5本外国名著可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（ ） A. 11种 B. 15种 C. 22种 D. 30种 【答案】D 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】有6本中国名著和5本外国名著, 中国名著和外国名著各选一本， 不同的选法共有种． 2. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由随机变量分布列的性质知，解得. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.2 【答案】B 【解析】 【详解】因为随机变量， 所以正态曲线的对称轴是， 所以， 所以. 4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ） A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760 【答案】C 【解析】 【详解】将甲、乙、丙3个手工艺品看作一个整体，内部排序有种方法，将其和剩余的5个工艺品进行全排，有种情况. 则不同的排法总数共有种. 5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用条件概率公式求解即可 【详解】事件表示甲乙两人都不去A景点，， 事件表示甲乙两人都去A景点，， 所以． 6. 的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（ ） A. 9项 B. 10项 C. 20项 D. 21项 【答案】B 【解析】 【分析】先根据二项式系数的性质确定的值，再求出展开式的通项公式，最后根据有理项的定义确定有理项的个数. 【详解】因为展开式中仅有第30项的二项式系数最大， 所以，，， 所以当为的整数倍时，为有理项， 所以的取值依次为，共项． 7. 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意知服从超几何分布，的取值为， 所以，，， 所以， . 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，设男性中有购买了新能源车，由全概率公式将购买新能源车的分为男性购买新能源车和女性购买新能源车列出关系求解即可. 【详解】设男性中有购买了新能源车，则， 解得，所以男性购车时，选择购买新能源车的概率是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数据的散点图，结合相关性、相关系数的概念与定义，逐项判定，即可得解. 【详解】对于A、B、C：由图可知直线的斜率是负数，所以变量与变量负相关，相关系数，故A、C正确，B错误； 对于D：若去掉图中点后，剩余的数据会更集中，相关程度会更高，相关系数的绝对值变大，又，所以相关系数变小，故D错误. 故选：AC. 10. 某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（ ） A. 共有种安排方式 B. 每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C. 丙独自一人在一家公司的概率为 D. 、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 【答案】BC 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理判断A；利用分组分配列式计算判断B；求出概率判断C；视为一个整体，列式计算判断D. 【详解】对于A，每个人有3种去向，则不同安排方式共有种，A错误； 对于B，5个人分成3组，有种分法，再将每种分法的3组安排到3家公司， 不同安排方法数为，B正确； 对于C，丙独自一人在一家公司的安排方法数为，概率为，C正确； 对于D，视为一个整体，相当于4个人至少分到2家公司，甲乙不在同一家公司， 不同安排方法数为，D错误. 故选：BC 11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） A. 6维“立方体”的顶点有36个 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】应用分步乘法原理计算判断A，应用古典概型结合组合数计算判断B，先写出概率再应用数学期望公式及方差公式计算判断C，D即可. 【详解】对于6维坐标，其中， 即有2种选择，故共有种选择， 即6维“立方体”的顶点有64个，故A错误； 当时，在与中有3个坐标值不同， 即有3个满足， 有3个满足， 所以满足的顶点有组，，故B正确； 满足的顶点有组，所以， 即， ， 所以，故C正确； 而 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质得解. 【详解】由组合数的性质得或， 所以或 【点睛】本题考查组合数的性质，属于基础题. 13. 已知随机变量，若，则__________. 【答案】36 【解析】 【分析】直接利用公式求解，即随机变量，则有，再根据方差的性质求解. 【详解】由题知， 所以， 解得. 故答案为：36 14. 一质点在数轴上每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若本次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若本次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次质点向左跳动的概率为，则______；记前次跳动中，质点累计向左跳动次，则______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】易得，，再利用全概率可得，计算即可求解；进而利用全概率公式得到，构造等比数列求出表达式,再利用和事件的期望性质计算即得. 【详解】由题意，得，，； 依题意，可得， 设，展开并对照上式，可得，解得， 即，故数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，即， 所以. 设第次质点向左跳动的次数是随机变量，则服从两点分布， 且，，，，， 所以，又， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联； （2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）有关 （2） 【解析】 【分析】（1）根据零假设，结合所给卡方公式进行运算判断即可； （2）根据古典概型运算公式，结合组合的定义进行求解即可. 【小问1详解】 零假设：该校学生对食堂的满意度与年级无关. 经计算得， 依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，即该校学生对食堂的满意度与年级有关联，此推断犯错误的概率不大于0.1. 【小问2详解】 对食堂满意的学生共60人，其中大一或大二学生：20人，大三或大四学生：40人， 抽取2人均为大三或大四学生的概率：. 16. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，可得，根据组合数的求法，列式计算，即可得答案. （2）由（1）得，进而可得的通项公式，即可求出，分析可得当时，，当时，，根据古典概型概率公式，列式计算，即可得答案. 【小问1详解】 第3项与第项的二项式系数之和为， 即，解得或， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）得，则的通项公式为， 所以， 所以当时，，当时，， 所以从中任取两个相乘，积为负数的概率为. 17. 某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示： 宣传费（十万元） 3 4 5 6 销量（百万件） 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围. 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出样本中心点，再计算，最后代入得出，即可求出经验回归方程； （2）先求出的所有可能取值为的概率，再计算数学期望再应用数学期望性质计算解不等式即可. 【小问1详解】 由题知， ， 所以， 所以. 所以关于的经验回归方程为. 【小问2详解】 设甲､乙两人中选择购买这款电动玩具的人数为， 则的所有可能取值为， 又， ， ， 所以， ， 令，即，解得. 又，所以的取值范围为. 18. 围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立. （1）求的取值范围； （2）已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望； （3）若在甲与丙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率低于甲恰好赢两盘的概率，设甲与乙的三盘对弈中恰好赢一盘的概率为，甲与丙的三盘对弈中恰好赢一盘的概率为，求证：对任意的，存在，使得. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 . （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）甲恰好赢一盘的概率为，甲恰好赢两盘的概率为，计算即可； （2）利用二项分布计算即可； （3）由题，，构造函数进行计算. 【小问1详解】 在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为，甲恰好赢两盘的概率为， 因为甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率，所以， 又，所以，解得， 即的取值范围是. 【小问2详解】 已知在甲与丙对弈的三盘中，每盘甲赢棋的概率是，若甲赢的盘数是，则， 所以，， ，. 的分布列为： 0 1 2 3 所以或. 【小问3详解】 在甲与丙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率为，甲恰好赢两盘的概率为， 因为甲恰好赢一盘的概率低于甲恰好赢两盘的概率，所以， 又，所以，解得. 由题意，得，，， 令， 因为，所以， 又，所以当时，. 令， 因为，所以，，所以， 又，所以对任意的，存在，使得. 19. 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. （1）求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； （3）若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据全概率公式即可求解； （2）随机变量的取值为，，，，，，，分别计算概率，利用期望公式即可求解； （3）分为最后一个学生为高一学生和最后一个学生为高三学生两种情况，分别求出符合题意的排序情况，再求出总的排序情况，根据古典概率公式即可求解. 【小问1详解】 设事件：第号学生为高一学生， 则 . 【小问2详解】 根据题意，随机变量的取值为，，，，，，， 则，， ，， ，， ， 所以的分布列为： 4 5 6 7 8 9 10 所以. 【小问3详解】 ①若最后一个学生为高一学生，有种方法， 先将全部高三学生排在此高一学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高一学生一个一个地排入，共有种方法. 综上所述， 共有种方法； ②若最后一个学生为高三学生，有种方法， 先将全部高一学生排在此高三学生前面，共种方法， 再将全部的高二学生一个一个地排入，确保最后一个高二学生后面有高一学生和高三学生，共有种方法， 最后将剩余的个高三学生一个一个地排入，共有种方法， 综上所述，共有种方法. 综合①②，得高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）有种方法， 所以所要求的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级下学期第二次阶段总结 数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读中国名著和外国名著各一本，现有6本中国名著和5本外国名著可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（ ） A. 11种 B. 15种 C. 22种 D. 30种 2. 已知随机变量的分布列为 1 2 3 4 则（ ） A. B. C. D. 3. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.8 B. 0.6 C. 0.3 D. 0.2 4. 某同学参加校园义卖活动，将自己制作的8个不同类型的手工艺品排成一排进行售卖，要求其中的甲、乙、丙3个手工艺品相邻排列，则不同的排法总数为（ ） A. 1440 B. 2160 C. 4320 D. 5760 5. 甲、乙两位旅游博主准备周末去A，B，C，D这4个景点中的某一个景点打卡，事件M表示甲、乙至少有1人去A景点，事件N表示甲、乙去相同的景点，则（ ） A. B. C. D. 6. 的展开式中仅有第项的二项式系数最大，则展开式中的有理项有（ ） A. 9项 B. 10项 C. 20项 D. 21项 7. 端午节吃粽子是一大习俗，粽子，又叫角黍、筒粽.某礼盒中有6盒粽子，其中3盒是豆沙粽，3盒是鲜肉粽，从中任取2盒粽子，记取到的鲜肉粽有盒，则的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 某车企为了更好地设计开发新车型，统计了近期购车的车主性别与购车种类（新能源车或者燃油车）的情况，其中新能源车占销售量的74%，男性占近期购车车主总数的60%，女性购车车主有80%购买了新能源车，根据以上信息，则男性购车时，选择购买新能源车的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 通过随机抽样，得到变量和变量的7对数据，并绘制成散点图如图所示，已知变量和变量线性相关，且回归直线是图中直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线的斜率是负数 B. 变量与变量正相关 C. 相关系数 D. 若去掉图中点后，剩余数据的相关系数变大 10. 某高校安排男生甲、乙、丙和女生、到3家公司实习，每人只安排一家公司，则（ ） A. 共有种安排方式 B. 每家公司至少有一人的不同安排共有150种 C. 丙独自一人在一家公司的概率为 D. 、在同一家公司，甲、乙不在一家公司的安排方式共有30种 11. 在维空间中，以单位长度为边长的“立方体”的顶点坐标可表示为维坐标，其中.定义：在维空间中两点与的曼哈顿距离为.在6维“立方体”的顶点中任取两个不同的顶点，记所取两点间的曼哈顿距离为随机变量，则（ ） A. 6维“立方体”的顶点有36个 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则实数________. 13. 已知随机变量，若，则__________. 14. 一质点在数轴上每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动.若本次向左跳动，则后一次向左跳动的概率为；若本次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为.记第次质点向左跳动的概率为，则______；记前次跳动中，质点累计向左跳动次，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某大学想了解本校学生对食堂的满意度情况，对该大学的100名学生进行食堂满意度调查，调查结果如表所示： 满意 不满意 合计 大一或大二 20 20 40 大三或大四 40 20 60 合计 60 40 100 （1）根据小概率值的独立性检验，分析该大学的学生对食堂的满意度是否与年级有关联； （2）从样本中对食堂满意的学生中随机抽取2人，求这2人均是大三或大四学生的概率. 附：，. 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 已知的展开式中第3项与第项的二项式系数之和为30. （1）求的值； （2）记，从中任取两个相乘，求积为负数的概率. 17. 某公司投资某款电动玩具的宣传费（单位：十万元）和销量（单位：百万件）如表所示： 宣传费（十万元） 3 4 5 6 销量（百万件） 2.5 3 4 4.5 （1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程； （2）若甲､乙两人购买这款电动玩具的概率分别为，且甲､乙是否购买这款电动玩具互不影响.若每个电动玩具的售价均定为80元，且两人购买电动玩具的总金额的期望不超过120元，求的取值范围. 参考公式：经验回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为. 18. 围棋起源于中国，古时称“弈”，属“琴棋书画”四艺之一，是古老的智力游戏和高雅的竞技运动，“对弈”特指下围棋.现甲与乙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是，甲也与丙对弈三盘，每盘甲赢棋的概率是.在甲与乙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率高于甲恰好赢两盘的概率.已知各盘棋的输赢相互独立. （1）求的取值范围； （2）已知，在甲与丙对弈的三盘中，甲赢的盘数是，求的分布列与数学期望； （3）若在甲与丙对弈的三盘中，甲恰好赢一盘的概率低于甲恰好赢两盘的概率，设甲与乙的三盘对弈中恰好赢一盘的概率为，甲与丙的三盘对弈中恰好赢一盘的概率为，求证：对任意的，存在，使得. 19. 某校在高中三个年级中抽取个学生进行体能测试，且这人中高一年级的学生有人，将这个学生编号为，，，，并按照编号从小到大进行测试，直到所有学生测试完毕. （1）求2号学生为高一学生的概率（用与表示）； （2）若，，记随机变量为最后一个被测试的高一学生的编号，求； （3）若个学生中高二学生和高三学生的人数分别为，，求高二学生先于高一学生和高三学生被测试完（高二学生被全部测试完时，高一学生和高三学生都有剩余）的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $