专题04 二元一次方程组（期末4大知识点汇编）2025-2026学年七年级数学下学期新教材人教版

七年级数学期末总复习讲义 第4课 相交线与平行线 知识点梳理 考点01二元一次方程组及其解法 考点02三元一次方程组及其解法 考点03一次方程组中的数学思想 考点04二元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 2. 二元一次方程组解法——消元法 （1）代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. （2）加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，根据二元一次方程组的定义，需满足：①含有两个未知数；②每个方程均为一次方程；③方程组由两个方程组成． 【详解】解：，是二元一次方程组， 方程含分式，未知数出现在分母中，次数为，不是一次方程， 中，方程含第三个未知数，导致方程组含三个未知数，不符合条件， ，方程中，项次数为2，不是一次方程， 符合条件的有第一个和第三个方程组，共2个， 故选：A． 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知解代入方程得，再将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ∴ ． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将关于的方程整理可得，根据与无关求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵不论为何值，的解都相同， ∴， ∴，． 4．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 5．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，根据非负数的性质列出方程组，解方程组求出和的值，再代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知方程，用含的代数式表示，则______． 【答案】 【分析】通过移项即可得出含的代数式表示． 【详解】解：， 移项得． 7．（24-25七年级下·山西长治·期末）已知方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为则这几个非负数分别等于并正确得出未知数的值是解题的关键．根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 8．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 【答案】 【分析】利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， ，得， ，得 解得：， 把代入，得 解得：， 方程组的解为． 9．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：，                                               ∴原方程组的解为； （2）解：， 整理得， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 10．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程组：． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）先整理原方程组，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得 系数化为得； （2）解：原方程组整理得， 得，解得， 将代入得，解得， 故原方程组的解为 11．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了同解方程组，熟练掌握方程组同解的含义是解题关键是解题的关键． 根据两个方程组有相同的解，把两个方程组拆开重新组合方程组，只需把两个方程组中不含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组，求出未知数x、y的值，再代入另一组含未知数a和含未知数b的方程分别组成方程组求出a、b的值即可． 【详解】（1）解：∵关于x、y的方程组和有相同的解， ∴联立， 解得． （2）解：∵也是方程的解， ∴， 解得， ∴． 12．（24-25七年级下·吉林·期末）已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是非负数的性质、平方根，熟记绝对值、算术平方根的非负性是解题的关键． （1）根据绝对值、算术平方根的非负性列出二元一次方程组，解方程组求出x、y； （2）把x、y的值代入，根据平方根的概念计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴由题意得：， 解得：； （2）解：当时，， ∵2的平方根是， ∴的平方根是． 13．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 14．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的错解复原问题；甲看错了方程（1）中的 ，但其解满足方程（2）；乙看错了方程（2）中的 ，但其解满足方程（1）．分别代入对应方程求出 和 ，再解原方程组． 【详解】解：甲的解为 ，代入方程（2）得 解得： 乙的解为 ，代入方程（1）得 解得： 原方程组为 由 得 ， 代入另一方程得 解得： 代入 得 所以方程组的解为 15．（24-25七年级下·河北·期末）解二元一次方程组． (1)小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入①得．所以这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ； (2)请你用另一种方法解该二元一次方程组． 【答案】(1)加减，一元一次方程； (2)见解析． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）由解方程组的过程即可判断为加减消元法，当消去未知数时，则转化为解一元一次方程； （2）由代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程， 故答案为：加减，一元一次方程； （2）解：由①，得③ 将③代入②，得，即． 解得． 将代入③， 得． 所以方程组的解为 16．（24-25七年级下·全国·期末）（1）已知的平方根为的算术平方根为4，求的立方根． （2）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c 抄错了，误解为 ，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查平方根，算术平方根，立方根、代数式求值，二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，代入代数式求值，继而求出立方根，即可解答； （2）把 和分别代入①，得到二元一次方程组，求出，把代入②，求出，代入代数式求值，继而求其平方根，即可解答． 【详解】解：(1)∵的平方根为的算术平方根为4， ∴ ∴． ∴ ∴其立方根为． （2）把 和分别代入①，得 ， 解得 把代入②，得， 解得， ∴． ∴的平方根为． 知识点02 三元一次方程组 1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 2. 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 真题汇编 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可得左脚的脚印距离起跳线的最短距离为， 故他的成绩为． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直的定义，根据，可得，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：D． 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的定义可得，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据平角的定义得到，根据垂直的定义得到，根据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 【答案】3或39 【分析】分两种情况：当转动时，，一共转动，． 【详解】解：当转动时，，如图： ∴， 当再转动时，，如图： ∴一共转动， ∴， 综上所述，t为3或39时，． 8．（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 【答案】25 【分析】根据相交线的性质可得到，根据垂线的性质得到，最后利用进行解答即可． 【详解】解：，交于点， ， ， ， ． 9．（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为___________． 【答案】 【分析】本题考查了垂线以及角平分线定义，弄清各个角之间的关系是解题的关键． 根据，得，由角平分线定义得出，因为，所以，即可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差关系、对顶角相等以及垂线的性质，熟练掌握垂直的定义，对顶角与邻补角的性质是解题的关键．根据，，，可得，，再根据垂直的性质可得，最后由，代入相应角即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 13．（24-25七年级下·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，平分，可求出，再根据角度的和差关系即可求解； （2）设，再结合角平分线和角度的和差关系即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 14．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 15．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，平分，过点作，平分． (1)求的度数． (2)若是内任意一条射线，其余条件不变，则与的数量关系为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，垂直的定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线定义． （1）首先由角平分线得到，然后求出，然后利用角平分线求解即可； （2）首先由得到，然后结合角平分线求解即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴． 16．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , 一、单选题 1．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组．由可得，再把代入②可得，然后把代入①，即可求解． 【详解】解： 由得：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 故选：C 二、填空题 2．若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 【答案】0 【分析】本题考查了三元一次方程：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做三元一次方程，熟记三元一次方程的定义是解题关键．根据三元一次方程的定义可得，，由此即可得． 【详解】解：∵是关于的三元一次方程， ∴， 解得， 故答案为：0． 三、解答题 3．解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，掌握将三元一次方程组转化成二元一次方程组求解是解题的关键． 观察到三个方程里的系数都是1或，故先用加减消元法消去，再把含、的方程联立方程组来解． 【详解】解：， 得：④， 得：⑤， 得：⑥， 得：， 解得：， 把代入④得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：， 原方程组的解为． 4．解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的解法，解题的关键是利用代入消元法将三元一次方程组转化为二元一次方程组进行求解． 通过观察方程组中方程的特点，利用代入消元法，逐步消去未知数，先求出一个未知数的值，再依次求出其他未知数的值． 【详解】解： 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， 把代入中，得， ， ∴方程组的解为． 5．解下列方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和解三元一次方程组． （1）用加减消元法求解即可； （2）消去y，与②组成关于x，z的二元一次方程组求解x，z的值，再求出y的值即可． 【详解】（1） ，得 ∴ 把代入①，得 ∴ ∴ （2） ，得 联立②和④，得 ， 解得 把代入①，得 ∴ 6．解方程（方程组） (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，解三元一次方程组，掌握解方程组的消元思想是解题的关键． （1）运用代入消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解即可； （3）先通过消元转化为二元一次方程组，即可求解． 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得， 把代入②，得， ∴方程组的解为． （2）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为． （3）解： ，得， ①与④组成方程组，得， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 7．解方程（组）： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）先移项，再合并同类项，最后把的系数化为1即可； （2）先方程两边同时乘以6去分母得到，然后再去括号、移项、合并同类项，最后把的系数化为1即可； （3）利用代入消元法，由①得，把③代入②，解得，再把代入③，解得即可； （4）利用加减消元法，得，得，再由，得到，进而代入解出，即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 由①得，， 把③代入②，得， 解得， 把代入③，得， 故原方程的解为． （4）解： ，得， ，得， ，得，解得：， 把代入②，得， 把代入④，得， 故原方程的解为． 8．已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中，，的值． 【答案】 【分析】根据题意列出三元一次方程组，解方程组即可．本题考查了三元一次方程组的应用，根据题意正确列出三元一次方程组，并熟练掌握方程组的解法是解题关键． 【详解】解：由题意得：，解得． 1. 一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题过程中，常常思路不清、过程繁知识点04 一次方程组中的数学思想 2. 思想方法应用的常见题型 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 （4）整体思想在含参数的方程组中的应用 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】将两式整体相加，再代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①+②得2x-y=9k， 即 ， 解得 . 2．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组．将方程组两式相加，得到，再代入求解． 【详解】解：∵方程组为 两式相加得： 又∵， ∴ 解得： 故选：C． 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法；加减消元法． 将三个方程相加，求出的值，再代入方程中解出k的值． 【详解】解：将方程组中的三个方程相加： ∴ ∴ 将代入方程中： 解得： 故选：C． 4．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）已知方程组，则_____． 【答案】8 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，通过加减消元法，将两个方程相加后化简，直接得到的值 【详解】解：将方程组中的两个方程相加，得，即， 两边同时除以3，得． 故答案为：8． 6．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值、列二元一次方程组． （1）将代入计算即可； （2）根据得到关于a、b的方程组，解方程组得到，然后将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 7.（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程组 解：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得：4x+3(21-3x)=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 8.（24-25七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 9.解方程组 【分析】这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。这是学生通常用的方法。 如果把 (x+y) 换成 m， (x-y) 换成 n，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是整体代换。 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可华为 解之，得：，即 解之，得： 10.（24-25七年级下·山东·期中）解方程组： 【分析】本题考查了解三元一次方程组．通过将三个方程相加，得到的值，然后分别用各个方程减去该式，逐一求解未知数． 【详解】解： 得， 即 ④ ①④得 即 得 即 ③④得 解得： ∴ 11. 若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【分析】本题运用整体换元的思想，根据二元一次方程组解的定义，将所求方程组中的整体部分对应原方程组的未知数，再根据原方程组的已知解列方程求解即可． 【详解】解：令，，则所求方程组可化为， ∵原方程组 的解为 ， ∴对于方程组，其解为， ∴， 解第一个方程得：，即， 解第二个方程得：， ∴所求方程组的解为 知识点04 二元一次方程组的应用 1. 解题关键： 从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组. 2. 常见题型： （1） 和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2） 数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. （3） 图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意列方程是解题的关键． 根据题意，设有x人，y辆车，第一种情况：每车坐3人，空余两辆车，则实际使用车辆为辆，故；第二种情况：每车坐2人，有9人步行，则总人数x等于坐车人数加上步行人数9，故，由此列出方程组． 【详解】解：∵每车坐3人，空余两辆车， ∴实际使用车辆为辆，得； ∵ 每车坐2人，有9人步行， ∴得 ； ∴ 方程组为 ， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列二元一次方程组，根据等量关系列出方程组是解题的关键． 根据“用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺”即可列出方程组． 【详解】解：设木头长尺，绳子长尺，根据题意，得 ． 故选：A． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）用如图1中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，现做这两种纸盒，两种纸板恰好用完，如果设做竖式的无盖纸盒为个，横式的无盖纸盒为个，则可列出的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实际问题抽象出二元一次方程组，找出合适的等量关系，正确列出二元一次方程组是解决本题的关键． 根据仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，由此列二元一次方程组即可． 【详解】解：∵设做竖式的无盖纸盒为个，横式的无盖纸盒为个， 由图可知，一个竖式的无盖纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板， 那么个竖式的无盖纸盒需要个长方形纸板和个正方形纸板， 一个横式的无盖纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板， 那么个横式的无盖纸盒需要个长方形纸板和个正方形纸板， 又∵仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板， ∴． 故选：A ． 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：由题意得：， 整理得：， 解得：， 即； 故选：C． 6．（24-25七年级下·全国·期末）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林拼成了一个正方形，中间还留下了一个边长为的小正方形，如图②所示，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用及长方形的面积公式．设小长方形的长为，宽为，根据拼图，可以得出关于x，y的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设每个小长方形的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ∴. 故选：A． 7．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 【答案】B 【分析】设这个活动小组男生有人，女生有人，由题意：每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，列出二元一次方程组，解方程组即可．此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设这个活动小组男生有人，女生有人， 由题意得：， 解得：， ， 即这个活动小组一共有16人， 故选：B． 二、填空题 8．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：第一列与对角线上的三个数之和相等， ∴； 第二行与第三列上的三个数之和相等， ∴． 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·全国·期末）A地急需从B地运100吨物资到A地，B地决定用大、小货车共20辆去完成运输任务．若大货车每辆运6吨物资，小货车每辆运2吨物资，且大、小货车均满载，则大货车、小货车各需多少辆？若设需大货车x辆，需小货车y辆，则根据题意可列方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查了从实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意可得等量关系：两种货车的数量和为20，大货车运的吨数和小货车运的吨数之和为100吨；根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设需大货车x辆，需小货车y辆， 根据题意得：， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·全国·期末）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价．调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲、乙两种商品原来的单价分别为x、y元，则可列方程组为___． 【答案】 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，如果设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元，那么根据“甲、乙两种商品原来的单价和为100元”可得出方程为；根据“甲商品降价，乙商品提价，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了”，可得出方程为． 【详解】解：设甲商品原来的单价是x元，乙商品原来的单价是y元． 根据题意列方程组： ． 故答案为：． 11．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费________万元． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．设型机器人每台价格是万元，型机器人每台价格是万元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组求解，即可求解4台A型机器人和6台B型机器人的花费． 【详解】解：设型机器人每台价格是万元，型机器人每台价格是万元， 根据题意得 解得：， ∴购买4台A型机器人和6台B型机器人花费：（万元）， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为______．（只列不解） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“一房七客多七客，一房九客一房空”得出方程组即可． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米 (2) (3)一摞碗的高度不能为，理由见解答 【分析】（1）设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米，根据“第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用高度一个碗的高度每增加一个碗增加的高度碗的数量，即可用含的代数式表示出； （3）假设一摞碗的高度能为，根据一摞碗的高度为，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合为正整数，可得出假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 【详解】（1）解：设一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米， 根据题意得：， 解得：． 答：一个碗的高度是厘米，每增加一个碗增加的高度是厘米； （2）解：根据题意得：； （3）解：一摞碗的高度不能为，理由如下： 假设一摞碗的高度能为，根据题意得：， 解得：， 为正整数， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即一摞碗的高度不能为． 14．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 15．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 【答案】(1) (2)16元 (3)大于10千克且小于等于11千克 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及一元一次方程的应用． （1）根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，进行求解即可． （2）根据吉林省内收费标准计算即可． （3）设这份特产按千克计费，根据江浙沪地区收费标准列出关于x的一元一次方程，解方程，再结合不足1千克按1千克计算即可得出这份特产重量的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知： 解得． （2）∵不足1千克按1千克计算，故千克按4千克计算， 即（元）． 故她需要支付快递费16元． （3）解：设这份特产按千克计费， 则 解得． 所以这份特产的重量大于10千克，小于等于11千克． 16．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 【答案】每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元，根据3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元，2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设每人每次体验“绘画”活动的票价为元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为元， 由题意得： 解得： 答：每人每次体验“绘画”活动的票价为20元，每人每次体验“剪纸”活动的票价为30元． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学期末总复习讲义 第4课 相交线与平行线 知识点梳理 考点01二元一次方程组及其解法 考点02三元一次方程组及其解法 考点03一次方程组中的数学思想 考点04二元一次方程组的应用 知识点01 二元一次方程组 1. 二元一次方程组的概念 由几个方程组成的一组方程叫作方程组.如果方程组中含有两个未知数，含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共含有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组. 2. 二元一次方程组解法——消元法 （1）代入消元 将二元一次方程组中的一个方程进行适当变形，把一个未知数用另一个未知数表示，就可以用“代入”的方法实现消元，进而求得这个 二元一次方程组的解. （2）加减消元 将二元一次方程组中的方程进行适当变形，使两个方程中 有一个未知数的系数相等或互为相反数，就可以用“加减”的方法实现消元， 进而求得这个二元一次方程组的解. 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在方程组，，，，中．是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．1个 D．5个 2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·山西长治·期末）解关于的方程时，不论为何值，的解都相同，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 5．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）已知，则等于（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·吉林长春·期末）已知方程，用含的代数式表示，则______． 7．（24-25七年级下·山西长治·期末）已知方程，则______． 三、解答题 8．（24-25七年级下·吉林长春·期末）解方程组： 9．（24-25七年级下·黑龙江双鸭山·期末）解方程组： (1)． (2)． 10．（24-25七年级下·山西长治·期末）解决下列问题： (1)解方程：； (2)解方程组：． 11．（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x、y的方程组和有相同的解，求： (1)它们相同的解； (2)的值． 12．（24-25七年级下·吉林·期末）已知． (1)求x、y的值； (2)求的平方根． 13．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 14．（24-25七年级下·四川资阳·期末）已知关于x，y的方程组，甲由于看错了方程（1）中的a，得到方程组的解为，乙由于看错了方程（2）中的b，得到方程组的解为． 试求出方程组的正确解． 15．（24-25七年级下·河北·期末）解二元一次方程组． (1)小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入①得．所以这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ； (2)请你用另一种方法解该二元一次方程组． 16．（24-25七年级下·全国·期末）（1）已知的平方根为的算术平方根为4，求的立方根． （2）解关于x，y的方程组时，甲正确地解出，乙因为把c 抄错了，误解为 ，求的平方根． 知识点02 三元一次方程组 1. 如果方程组中含有三个未知数，且含未知数的项都是一次项，这样的方程组就叫作三元一次方程组. 例如： 2. 解三元一次方程组的基本方法是： 三元一次方程组 二元一次方程组 一元一次方程 真题汇编 1．（24-25七年级下·广东佛山·期中）下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（   ） A．B．C． D． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）跳远成绩是沙坑中留下的最近着地点到起跳线的距离．下图是某同学立定跳远后留下的脚印，则他的成绩是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知直线相交于点O，，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，直线和相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为______． 7．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）含有的直角三角板和含有的直角三角板按如图放置，其中和重合．三角板的位置保持不变，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转．当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒．则____时，． 8．（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，，交于点，于点．若，则_____°． 9．（24-25七年级下·山西太原·期末）如图，点在直线上，，是的平分线，且，则的度数为___________． 10．（24-25七年级下·全国·期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为________． 11．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 三、解答题 12．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，直线，相交于点，，平分． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 13．（24-25七年级下·重庆合川·期末）点O是直线上一点，线段绕点O旋转，平分，过点O作（在的右侧），平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，求的度数． 14．（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 15．（24-25七年级下·山西运城·期末）如图，，平分，过点作，平分． (1)求的度数． (2)若是内任意一条射线，其余条件不变，则与的数量关系为___________． 16．（24-25七年级下·福建莆田·期中）如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 一、单选题 1．方程组 的解是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．若是关于x，y，z的三元一次方程，则m的值是___． 三、解答题 3．解方程组： 4．解方程组． 5．解下列方程组． (1) (2) 6．解方程（方程组） (1)； (2)； (3)． 7．解方程（组）： (1)； (2)； (3)； (4)． 8．已知在代数表达式中，当时，；当时，；当时，．求这个表达式中，，的值． 1. 一次方程组的解法看似简单，核心思想是消元，主要方法是代入法和加减法。事实上，学生在实际解题过程中，常常思路不清、过程繁知识点04 一次方程组中的数学思想 2. 思想方法应用的常见题型 （1）整体代入法在一次方程组中的应用 （2）整体加减法在一次方程组中的应用 （3）整体换元法在一次方程组中的应用 （4）整体思想在含参数的方程组中的应用 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为(   ) A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25七年级下·福建泉州·期末）若方程组的解满足方程，则k的值为（　　） A．1 B．3 C．5 D．7 4．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期末）已知方程组，则_____． 6．（24-25七年级下·四川乐山·期末）十八世纪伟大的数学家欧拉，他创造并推广了大量的数学符号，使数学表达更加简洁与方便．把关于的多项式用符号的形式来表示，把等于的多项式的值用来表示． 例如：当时，的值记为． （1）已知，则__________； （2）已知，若，，则__________． 三、解答题 7.（24-25七年级下·贵州黔东南·期中）解方程组 解：由①得：5y=21-3x ③ 把③代入②，得：4x+3(21-3x)=53 解之，得：x=2 把x=-2,代入③式，得y=3 所以，方程组的解为 【点睛】这里把3y看成一个整体，实施整体代入消元，避免了含有分数的计算，过程简洁，清晰明了。 8.（24-25七年级下·全国·期末）阅读下列解方程组的方法，然后回答问题． 解方程组： 解：，得，即．③ ，得．④ ，得，解得．把代入③，解得， ∴原方程组的解是 (1)请你仿照上面的解法，解方程组： (2)解关于x，y的二元一次方程组：（）． 【分析】本题考查二元一次方程组的解，能够仿照例题方法，结合加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）由得到③，由得到的值，再把的值代入③求出的值即可； （2）仿照（1）的解法，用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．③ ，得， 解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 （2）解： ，得． ∵，∴．③ ，得，解得． 把代入③，得，解得， ∴原方程组的解是 【点睛】因为未知数的系数较大，如果直接找两个未知数系数的最小公倍数，计算量较大。本题运用整体加减消元，计算简洁明了。 9.解方程组 【分析】这题可以先把方程组化简后，组成新的方程组，再用适当的方法进行求解。这是学生通常用的方法。 如果把 (x+y) 换成 m， (x-y) 换成 n，重新组成新的方程组来求解的方法就是换元法，换元法的实质就是整体代换。 解：设x+y=m，x-y=n 原方程组可华为 解之，得：，即 解之，得： 10.（24-25七年级下·山东·期中）解方程组： 11. 若方程组的解为，则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 知识点04 二元一次方程组的应用 1. 解题关键： 从实际问题中找出两个独立的等量关系,并正确设未知数，列出二元一次方程组. 2. 常见题型： （1） 和差、倍分、分配等基础问题； 解答此类应用题的关键是要从“和、差、倍、共、总数”等关键词中找出两个等量关系； （2） 数量关系较为隐蔽的复杂问题； 如行程问题、工程问题、利润问题等等，此类题缺少“和、差、倍、共、总数”等关键词，不能直接地发现等量关系，需要通过通过画图、列表来分析隐蔽的等量关系. （3） 图表信息、分段计费、销售问题 生活中的水费、电费、出租车费、商品打折等问题都可以转化为数学问题，都可以用方程组解决。此类题型信息多、来源广解题的关键点是要学会提取信息、处理复杂情境，体会方程组在生活实际中的应用价值。 真题汇编 一、单选题 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车；若每辆车乘坐2人，则有9人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）《孙子算经》中有一道题：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺，问几何，意思是：用一根绳子去量一根木头，绳子剩余4.5尺，将绳子对折再量木头，木头剩余1尺，问木头长多少尺？假设木头长尺，绳子长尺，则根据题意列二元一次方程组正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）用如图1中的长方形和正方形纸板为侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖纸盒（图2中两个盒子朝上的一面不用纸板）．现在仓库里有500张长方形纸板和200张正方形纸板，现做这两种纸盒，两种纸板恰好用完，如果设做竖式的无盖纸盒为个，横式的无盖纸盒为个，则可列出的二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·北京东城·期末）将9个不同的整数填入方格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则a和b的值分别是（    ） 12 7 A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·全国·期末）小东在拼图时，发现8个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图①所示．小林看见了说：“我也来试一试．”结果小林拼成了一个正方形，中间还留下了一个边长为的小正方形，如图②所示，则每个小长方形的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）一次社会实践小组活动中，男生戴白色帽子，女生戴红色帽子，每个人可以看到除自己以外的每位同学的帽子．每位男生看到的白色帽子比红色帽子多1顶，每位女生看到的红色帽子数量的2倍比白色帽子多3顶，则这个活动小组一共有（    ） A．17人 B．16人 C．15人 D．14人 二、填空题 8．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为______． 9．（24-25七年级下·全国·期末）A地急需从B地运100吨物资到A地，B地决定用大、小货车共20辆去完成运输任务．若大货车每辆运6吨物资，小货车每辆运2吨物资，且大、小货车均满载，则大货车、小货车各需多少辆？若设需大货车x辆，需小货车y辆，则根据题意可列方程组为________． 10．（24-25七年级下·全国·期末）甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价．调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了．设甲、乙两种商品原来的单价分别为x、y元，则可列方程组为___． 11．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）某快递公司为了提高快递分拣的速度，决定购买分拣机器人来代替人工分拣．已知购买2台A型机器人和1台B型机器人共需16万元，购买3台A型机器人和2台B型机器人共需26万元．若该快递公司准备购买4台A型机器人和6台B型机器人，共需要花费________万元． 12．（24-25七年级下·福建福州·期末）《算法统宗》是我国明代著名数学家程大位的数学名著，它里面有这样一道题：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．李三公家的店有多少间客房，来了多少房客？若设该店有客房x间，房客y人，根据题意，可列方程组为______．（只列不解） 三、解答题 13．（24-25七年级下·吉林长春·期末）数学活动小组为了研究整齐叠放的一摞碗的总高度随碗的数量变化的规律，小组成员从食堂取来两摞相同型号的碗进行测量，第一摞有四个碗叠放在一起的高度为，第二摞有七个碗叠放在一起的高度为． (1)请你求出一个碗的高度以及每增加一个碗增加的高度是多少厘米； (2)设一摞碗由个碗组成，高度是，则______ （用含的代数式表示）； (3)一摞碗的高度能否为，如果可以，请求出这摞碗的数量；如果不可以，请说明理由． 14．（24-25七年级下·湖南张家界·期末）小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 15．（24-25七年级下·吉林·期末）综合与实践 【背景】家住吉林省蛟河市的小颖想给亲朋好友寄送蛟河特产． 【素材】 素材1：她了解到某快递公司的收费标准（单位：元/千克）如表1； 计费单位 收费标准 吉林省内 江浙沪地区 首重 a 续重 b （表1） 素材2：她查看到该快递公司寄出的2份电子存单如表2； 电子存单1 电子存单2 托寄物：蛟河特产 目的地：长春 计量重量：2千克 件数：1 总费用：12元 托寄物：蛟河特产 目的地：上海 计量重量：5千克 件数：1 总费用：36元 （表2） 素材3：收费说明 ①每件快递按送达地分别计算运费； ②运费计算方式：首重价格＋续重×续重运费．首重均为1千克，超过1千克即要续重，续重以1千克为计重单位（不足1千克按1千克计算）． 【问题解决】 (1)求a，b的值； (2)小颖给珲春（吉林省内）的朋友寄出了3.6千克的蛟河特产，她需要支付多少元快递费？ (3)小颖给杭州（江浙沪地区）的外婆寄特产花了72元快递费，求这份特产重量的取值范围． 16．（24-25七年级下·陕西安康·期末）“女娲故里”是平利最核心、最具影响力的文化名片，女娲文化影响着平利的艺术创作，如绘画和剪纸，某校七年级（5）班学生去平利体验女娲文化，其中第一组有3人选择体验“绘画”活动，2人选择体验“剪纸”活动，共花费120元；第二组有2人选择体验“绘画”活动，4人选择体验“剪纸”活动，共花费160元．则每人每次体验“绘画”和“剪纸”活动的票价各为多少元？ 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $