2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（D卷）

2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（D卷） 一、填空。 1．（4分）计算：　 　 ． 2．（4分）自然数2025可以表示成两个自然数的乘积，这些表示方法中两个乘数都能被5整除的情况有 　 　 种．（注：A×B和B×A算作同一种情况） 3．（4分）如图，O是正六边形ABCDEF内任一点，AG＝GB＝EJ＝JD，FL＝FK＝CH＝CI＝3KE，正六边形ABCDEF的面积是4050，阴影部分面积是　 　 ． 4．（4分）某旅游景区有15处打卡景观，分别用A，B，…，O表示，游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次．游客小明按上述规则从入口出发到达景观A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O的不同路线分别有a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，l，m，n，o条，则b+d+f+h+j+l+n＝　 　 ． 5．（4分）如图，半径为2.5厘米的小圆在长9厘米，宽8厘米的长方形内任意移动，小圆能扫到的总面积是　 　 平方厘米．（π取3.14） 6．（4分）有一杯糖水，如果加入2400克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入80克糖，它的浓度则变为原来的两倍。这杯糖水原来含糖　 　 克。 7．（4分）如图所示，有2025个正方形嵌套在一起，由内向外正方形的边长分别是1m，2m，3m，……，最外层的正方形边长为2025m．在边长为2025m的正方形内部，白色部分面积与阴影部分面积之比是　 　 ． 8．（4分）环保公司将三种废料溶液混合在一起：含30%可回收成分的废料溶液A，含50%可回收成分的废料B，含70%可回收成分的废料C．现制备了1000升混合液，可回收成分占比50%，且废料溶液A的用量是废料溶液B的两倍。那么，废料溶液C的用量是　 　 升。 9．（4分）幸福小学科技竞赛选拔考试制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选题中一次抽取3道题作答，至少正确完成其中2道题则可以进入面试．已知小星能正确完成6道备选题中的4道题，另外2道题不能正确完成．那么有 　 　 种抽取题目的情况能让小星进入面试． 10．（4分）为弘扬爱国主义精神，光明小学举办“2025国庆阅兵知识竞赛”，竞赛设置40道题，满分100分，每一题答对得2.5分，答错扣1分，不答得1分．若规定总得分大于或等于94分的参赛同学可以被评为“国庆阅兵知识小达人”，则参赛同学至少需答对 　 　 道题才能确保被评为“国庆阅兵知识小达人”． 11．（4分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，则　 　 ． 12．（4分）如图所示，幸福小区的22条长度相同的道路围成8个小方格．李阿姨打扫一条道路用20分钟，而同样的道路她如果只是路过而不打扫则用3分钟．那么李阿姨从A点出发，打扫完全部道路至少用　 　 分钟． 13．（4分）湖里和岸上各有一群野鸭，如果岸上的野鸭飞走一只，那么湖里的野鸭只数是岸上的10倍；如果飞来一只野鸭，落到湖里，那么湖里的野鸭只数是岸上的9倍．那么原来湖里和岸上一共有　 　 只野鸭． 14．（4分）一副扑克牌共54张，从上到下依次是大王，小王，红桃A，红桃2，……每次操作从最上面拿7张牌，不改变顺序，一起放到最下面．至少经过　 　 次操作后，最上面一张牌是小王． 15．（4分）将20写成若干个自然数的和，这些自然数的乘积最大是M；将26写成若干个自然数的和，这些自然数的乘积最大是N，则N﹣M＝ 　 　 ． 16．（4分）将一根长为2025厘米的合金铝管截成长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗可忽略不计．那么，剩余部分最少是 　 　 厘米． 17．（4分）如图，校园里有一个正六边形花坛框架，框架内部均匀排列着六个边长为1米的正六边形花池（用于种植花卉），其余空白区域种植绿草。每个花池均沿花坛框架的内部边缘摆放，且相邻花池的边相互贴合。已知从花坛框架的任意一个角到距离它最近的花池顶点的距离为米。花坛中种植花卉的区域面积是种植绿草区域面积的 　 　 倍。 18．（4分）精灵王国的货币面值为8元，10元，25元．若只能用这些面值的货币组合进行支付，则无法用它们买到的最昂贵的物品价格是 　 　 元． 19．（4分）来自同一个公司的8人薪资互不相同，现将他们平均分成两行（每行4人），每行人员的工资均按从左至右依次增加排列，且第一行从左至右第k个位置的人，工资高于第二行从左至右第k个位置的人（k＝1，2，3，4）．这样的排序方式共有 　 　 种． 20．（4分）某老年公寓居住着20位老人，他们的年龄总和为1520岁，其中年龄最长者的岁数在90到100之间，剩下19人的年龄构成连续的自然数．这20位老人中年龄最小者的年龄为 　 　 岁． 21．（4分）黑板上写着2025个数：1，，，，……，，每次从中选取两个数x，y，擦去这两个数后在黑板上写上x+y+xy．反复进行这种操作，直至黑板上剩下一个数，这个数是 　 　 ． 22．（4分）如图，在4×4的方格中放入相同的棋子，每个格子内至多放一枚棋子．要求每行恰好各有2枚棋子，且每列也恰好各有2枚棋子．这样的棋子放置方式共有 　 　 种． 23．（4分）记n!＝1×2×3×…×n，an．如果n是自然数，且12100是n!的因数，那么n最小是　 　 ． 24．（4分）如图，一个半径为200米、圆心角为144°的扇形，弧上依次有A、B、C、D、E、F六个点．已知弧AB、弧BC、弧DE、弧EF的长度相等，且弧CD的长度是弧AB的4倍．那么，图中阴影部分的面积是 　 　 平方米．（π取3.14） 25．（4分）一艘货轮往返于A、B两港之间，顺水而下需用3小时，逆水而上需要4小时．某一天涨潮时水速增加，该货轮顺水航行是逆水航行所用时间的，那么涨潮时逆水航行需 　 　 小时． 2026年希望杯IHC六年级数学竞赛试卷（D卷） 参考答案与试题解析 一、填空。 1．（4分）计算：　6　 ． 【分析】分子分母逆用乘法分配律即可简算。 【解答】解： ＝6。 故答案为：6。 【点评】本题考查了分数的简便运算。 2．（4分）自然数2025可以表示成两个自然数的乘积，这些表示方法中两个乘数都能被5整除的情况有 　3　 种．（注：A×B和B×A算作同一种情况） 【分析】自然数2025可以表示成两个自然数的乘积，这些表示方法中两个乘数都能被5整除，设为（5a）×（5b）＝2025解答即可。 【解答】解：设为（5a）×（5b）＝2025， 即ab＝81， 即81＝1×81＝3×27＝9×9，共有3种。 答：这些表示方法中两个乘数都能被5整除的情况有3种。 故答案为：3。 【点评】本题考查了整数拆分方法的灵活运用。 3．（4分）如图，O是正六边形ABCDEF内任一点，AG＝GB＝EJ＝JD，FL＝FK＝CH＝CI＝3KE，正六边形ABCDEF的面积是4050，阴影部分面积是　2025　 ． 【分析】如解答图，连接OA、OB、OD、OE，反复利用等高模型，结合正六边形的性质即可求出阴影部分的面积即为正六边形面积的一半。 【解答】解：连接OA、OB、OD、OE，如下图所示： 因为AG＝GB＝EJ＝JD，FL＝FK＝CH＝CI＝3KE，所以： S△BOG＝S△AOG且S△BOG＝S△AOGS△AOB， S△EOJ＝S△DOJ且S△EOJ＝S△DOJS△DOE， S△FOL＝3S△AOL且S△FOLS△AOF， S△EOKS△FOK且S△EOKS△EOF， S△BOHS△COH且S△BOHS△BOC， S△COI＝3S△DOI且S△COIS△COD， 根据正六边形的性质可得： S阴影部分＝S△BOG+S△BOH+S△COI+S△EOJ+S△EOK+S△FOL S△AOBS△BOCS△CODS△DOES△EOFS△AOF ＝（S△AOBS△DOE）+（S△CODS△AOF）+（S△BOCS△EOF） （S△AOB+S△DOE）（S△COD+S△AOF）（S△BOC+S△EOF） S正六边形ABCDEFS正六边形ABCDEFS正六边形ABCDEF S正六边形ABCDEFS正六边形ABCDEFS正六边形ABCDEF S正六边形ABCDEF 4050 ＝2025。 答：阴影部分面积是2025。 故答案为：2025。 【点评】熟练掌握正六边形的性质以及等高模型是解题的关键。 4．（4分）某旅游景区有15处打卡景观，分别用A，B，…，O表示，游客按照箭头所示方向（不可逆行）可以任意选择一条路径走向其它景观，并且每个景观至多经过一次．游客小明按上述规则从入口出发到达景观A，B，C，D，E，F，G，H，I，J，K，L，M，N，O的不同路线分别有a，b，c，d，e，f，g，h，i，j，k，l，m，n，o条，则b+d+f+h+j+l+n＝　609　 ． 【分析】由题意可知数列an为斐波那契数列，即an+an+1＝an+2（1≤n≤14且n∈N），即求a2i，求出斐波那契数列的每一项an，再求偶数项的和。 【解答】解：a1＝1， a2＝1， a3＝a1+a2＝1+1＝2， a4＝a2+a3＝1+2＝3， a5＝a3+a4＝2+3＝5， a6＝a4+a5＝3+5＝8， a7＝a5+a6＝5+8＝13， a8＝a6+a7＝8+13＝21， a9＝a7+a8＝13+21＝34， a10＝a8+a9＝21+34＝55， a11＝a9+a10＝34+55＝89， a12＝a10+a9＝55+89＝144， a13＝a11+a12＝89+144＝233， a14＝a12+a13＝144+233＝377， 所以a2+a4+a6+……+a14＝1+3+8+21+55+144+377＝609。 即a2i＝609。 所以b+d+f+h+j+l+n＝609。 答：b+d+f+h+j+l+n＝609。 故答案为：609。 【点评】本题考查了排列组合以及数列求和的应用，明确题意是解题的关键。 5．（4分）如图，半径为2.5厘米的小圆在长9厘米，宽8厘米的长方形内任意移动，小圆能扫到的总面积是　66.625　 平方厘米．（π取3.14） 【分析】小圆与长方形的右边、上边相切时，右上角是小圆移动时无法扫到的区域；正方形四角有4个这样的区域，小圆能扫到的总面积＝长方形的面积﹣4角无法扫到的区域面积之和，据此作答。 【解答】解：如图： 9×8﹣（2.5×2.5﹣3.14×2.52÷4）×4 ＝72﹣（6.25﹣3.14×6.25÷4）×4 ＝72﹣6.25×4+3.14×6.25÷4×4 ＝72﹣25+19.625 ＝47+19.625 ＝66.625（平方厘米）。 答：小圆能扫到的总面积是66.625平方厘米。 故答案为：66.625。 【点评】本题考查了有关圆的面积计算的应用问题，解题关键是要弄清相应图形的和差关系。 6．（4分）有一杯糖水，如果加入2400克水，它的浓度就变为原来的一半；如果加入80克糖，它的浓度则变为原来的两倍。这杯糖水原来含糖　75　 克。 【分析】设原来糖水质量是x克，浓度为y，加入2400克水，糖水质量为（2400+x）克，加入80克糖，则糖水质量为（x+80）克，利用浓度列方程组去解答。 【解答】解：设原来糖水质量是x克，浓度为y， ， 解得：， 这杯糖水原来含糖：240075（克）。 答：这杯糖水原来含糖75克。 故答案为：75。 【点评】本题考查的是浓度问题的应用，解决本题的关键是找出题中数量关系。 7．（4分）如图所示，有2025个正方形嵌套在一起，由内向外正方形的边长分别是1m，2m，3m，……，最外层的正方形边长为2025m．在边长为2025m的正方形内部，白色部分面积与阴影部分面积之比是　　 ． 【分析】观察图形规律：阴影部分由最内层的正方形以及奇数层正方形与偶数层正方形的面积差组成，白色部分由偶数层正方形与奇数层正方形的面积差组成。由于相邻正方形边长之差为1，利用平方差公式a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）计算，将化简后的式子整理为连续整数的和，最后计算比值即可。 【解答】解：设第n个正方形的边长为nm，则其面积为n2m2，则： 正方形由内向外边长依次为：1，2，3，……，2025， 阴影部分包括： 第1个正方形（边长为1）， 第3个正方形与第2个正方形的面积差， 第5个正方形与第4个正方形的面积差， …… 第2025个正方形与第2024个正方形的面积差。 即S阴影＝12+（32﹣22）+（52﹣42）+……+（20252﹣20242） ＝1+（3+2）+（5+4）+……+（2025+2024） ＝1+2+3+4+5+……+2024+2025 （1+2025）×2025 2026×2025 ＝1013×2025， 白色部分包括： 第2个正方形与第1个正方形的面积差， 第4个正方形与第3个正方形的面积差， …… 第2024个正方形与第2023个正方形的面积差。 即S空白＝（22﹣12）+（42﹣32）+……+（20242﹣20232） ＝（2+1）+（4+3）+……+（2024+2023） ＝1+2+3+4+……+2023+2024 （1+2024）×2024 ＝1012×2025， 即白色部分面积与阴影部分面积之比＝S空白：S阴影＝（1012×2025）：（1013×2025）＝1012：1013。 答：白色部分面积与阴影部分面积之比是。 故答案为：。 【点评】本题主要考查平方差公式的应用以及图形面积的计算，解题的核心思路是将复杂的图形面积分割问题转化为代数求和问题。 8．（4分）环保公司将三种废料溶液混合在一起：含30%可回收成分的废料溶液A，含50%可回收成分的废料B，含70%可回收成分的废料C．现制备了1000升混合液，可回收成分占比50%，且废料溶液A的用量是废料溶液B的两倍。那么，废料溶液C的用量是　400　 升。 【分析】假设全是C，计算可回收成分与实际的差值，计算多算的量，已知废料溶液A的用量是废料溶液B的两倍，则计算每组实际可回收成分，计算每组合并为C时的可回收成分，计算每组多算的量，用总多算量除以每组多算量，计算组数以及A、B总用量，用总用量减去A、B用量，就是C的量。 【解答】解：1000×70%＝700（升）， 1000×50%＝500（升）， 700﹣500＝200（升）， 将2升A和1升B视为一组，每组总量：2+1＝3（升）， 每组实际可回收成分为：2×30%+1×50%＝1.1（升）， 每组视为C时的可回收成分为：3×70%＝2.1（升）， 每组多算的可回收成分为：2.1﹣1.1＝1（升）， 所需组数为：200÷1＝200（组）， A和B的总用量为：200×3＝600（升）， 废料溶液C的用量：1000﹣600＝400（升）。 答：废料溶液C的用量是400升。 故答案为：400。 【点评】本题考查的是浓度问题的应用，本题通过假设法去解答。 9．（4分）幸福小学科技竞赛选拔考试制定了如下的规则：笔试阶段，考生从6道备选题中一次抽取3道题作答，至少正确完成其中2道题则可以进入面试．已知小星能正确完成6道备选题中的4道题，另外2道题不能正确完成．那么有 　16　 种抽取题目的情况能让小星进入面试． 【分析】已知小星能正确完成6道备选题中的4道题，另外2道题不能正确完成，能让小星进入面试：可以从4道能正确完成题中取3道；或从4道能正确完成题中取2道，剩下的1道，从2道题不能正确完成中选1道，据此解答即可。 【解答】解： ＝4+12 ＝16（种）。 答：有16种抽取题目的情况能让小星进入面试。 故答案为：16。 【点评】用两个计数原理解决计数问题时，最重要的是在开始计算之前要进行仔细分析要完成的“一件事”是什么，可以“分类”还是需要“分步”。 10．（4分）为弘扬爱国主义精神，光明小学举办“2025国庆阅兵知识竞赛”，竞赛设置40道题，满分100分，每一题答对得2.5分，答错扣1分，不答得1分．若规定总得分大于或等于94分的参赛同学可以被评为“国庆阅兵知识小达人”，则参赛同学至少需答对 　39　 道题才能确保被评为“国庆阅兵知识小达人”． 【分析】要确保被评为“国庆阅兵知识小达人”（即总得分大于或等于94分），从最不利的情况考虑，尽量使答错的最多，且总得分大于或等于94分，要扣掉100﹣94＝6（分），每一题答对得2.5分，答错扣1分，相当于相差2.5+1＝3.5（分），然后除6即可解答。 【解答】解：100﹣94＝6（分）， 2.5+1＝3.5（分）， 6÷3.5≈1.7（道）， 所以从最不利的情况考虑，答错的题最多有1道，否则不能确保被评为“国庆阅兵知识小达人”． 即至少答对：40﹣1＝39（道）。 答：参赛同学至少需答对39道题才能确保被评为“国庆阅兵知识小达人”。 故答案为：39。 【点评】本题考查了极值问题的灵活运用，注意从最不利的情况考虑。 11．（4分）如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，则　　 ． 【分析】“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有an个球，即： 第1层：a1＝1， 第2层：a2＝1+2＝3， 第3层：a3＝1+2+3＝6， …… 第n层：an＝1+2+3+……+nn（n+1）， 对裂项，即2（），据此解答。 【解答】解： 2（） ＝2×（1） ＝2×（1） ＝2 。 故答案为：。 【点评】本题考查了分数的简便运算，求出通项公式是解题的关键。 12．（4分）如图所示，幸福小区的22条长度相同的道路围成8个小方格．李阿姨打扫一条道路用20分钟，而同样的道路她如果只是路过而不打扫则用3分钟．那么李阿姨从A点出发，打扫完全部道路至少用　458　 分钟． 【分析】图中奇数点8个，不能一笔画走完所有的道路，需要重复走6段长度相同的道路才能全部打扫完所有道路，而同样的道路她如果只是路过而不打扫则用3分钟，即全部打扫完毕所有的道路的同时多用时（3×6）分钟，所有22条长度相同的道路打扫完毕需要用时（20×22）分钟，相加求和即可解答本题。 【解答】解：20×22+3×6 ＝440+18 ＝458（分钟）。 答：李阿姨从A点出发，打扫完全部道路至少用458分钟。 故答案为：458。 【点评】明确一笔画的前提是奇数点为0个或2个是解题的关键。 13．（4分）湖里和岸上各有一群野鸭，如果岸上的野鸭飞走一只，那么湖里的野鸭只数是岸上的10倍；如果飞来一只野鸭，落到湖里，那么湖里的野鸭只数是岸上的9倍．那么原来湖里和岸上一共有　89　 只野鸭． 【分析】如果岸上的野鸭飞走一只，那么湖里的野鸭只数是岸上的10倍；设原来岸上有（x+1）只野鸭，湖里的野鸭只数是10x只，如果飞来一只野鸭，落到湖里，则湖里有鸭（10x+1）只，那么湖里的野鸭只数是岸上的9倍，据此可得方程：9（x+1）＝10x+1，求出未知数，然后求出湖里、岸上鸭子的只数，然后求和计算即可。 【解答】解：设原来岸上有（x+1）只野鸭，湖里原来有野鸭10x只。 9（x+1）＝10x+1， 解得：x＝8， 一共有野鸭：8+1+10×8＝89（只）。 答：原来湖里和岸上一共有89只野鸭。 故答案为：89。 【点评】本题考查了差倍问题，解决本题的关键是找出等量关系列方程解答。 14．（4分）一副扑克牌共54张，从上到下依次是大王，小王，红桃A，红桃2，……每次操作从最上面拿7张牌，不改变顺序，一起放到最下面．至少经过　31　 次操作后，最上面一张牌是小王． 【分析】要让小王牌移到最上面，需让大王牌被移走的总张数满足7n≡1（mod 54），即求最小的正整数n，使得7n≡1（mod 54），所以求7n﹣54k＝1（k为正整数）的最小正整数解，利用辗转相除法求出7n﹣54k＝1（k为正整数）正整数解即可。 【解答】解：因为54＝7×7+5， 7＝5×1+2， 5＝2×2+1， 2＝1×2+0， 所以1＝5﹣2×2 ＝5﹣（7﹣5×1）×2 ＝3×5﹣2×7 ＝3×（54﹣7×7）﹣2×7 ＝3×54﹣23×7， 即﹣23×7≡1（mod 54）， 所以7×（54﹣23）＝7×31≡1（mod 54）。 即最小的正整数解是n＝31。 所以经过31次操作后，最上面一张牌是小王。 答：至少经过31次操作后，最上面一张牌是小王。 故答案为：31。 【点评】本题考查了最值问题的应用，明确题意表达的意思是解答本题的关键。 15．（4分）将20写成若干个自然数的和，这些自然数的乘积最大是M；将26写成若干个自然数的和，这些自然数的乘积最大是N，则N﹣M＝ 　11664　 ． 【分析】把一个自然数N拆分成若干个自然数的和，只有当这些分拆数由2或3组成，其中2最多为2个时，这些分拆数的乘积最大；据此解答即可。 【解答】解：20＝3×6+2，M＝36×2＝1458， 26＝3×8+2，N＝38×2＝13122， N﹣M＝13122﹣1458＝11664。 故答案为：11664。 【点评】这类问题有个规律，口诀是“三多二少避一零”，也就说，你分出来的数尽量都是3，如果最后出现了1，那么这个1就再和一个3拆成两个2．最后加数里千万不能有0。 16．（4分）将一根长为2025厘米的合金铝管截成长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗可忽略不计．那么，剩余部分最少是 　9　 厘米． 【分析】求出36和24的最大公因数为12，2025÷12＝168（段）……9（厘米），即2025厘米可以分成168段12厘米，还剩下9厘米，即可得出结论。 【解答】解：（36，24）＝12， 2025÷12＝168（段）……9（厘米）， 即2025厘米可以分成168段12厘米，还剩下9厘米， 比如：168＝84+84， 即2025＝12×84+12×84+9， ＝（12×3）×28+（12×2）×42+9， ＝36×28+24×42+9， 所以符合要求。 答：剩余部分最少是9厘米。 故答案为：9。 【点评】本题考查整数的拆分与求最大公因数问题的综合运用。 17．（4分）如图，校园里有一个正六边形花坛框架，框架内部均匀排列着六个边长为1米的正六边形花池（用于种植花卉），其余空白区域种植绿草。每个花池均沿花坛框架的内部边缘摆放，且相邻花池的边相互贴合。已知从花坛框架的任意一个角到距离它最近的花池顶点的距离为米。花坛中种植花卉的区域面积是种植绿草区域面积的 　3　 倍。 【分析】构造如图：，AD∥BE，已知正六边形花池的每个内角是：180°×（6﹣2）÷6＝120°，则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝180°﹣120°＝60°，所以三角形ABC为等边三角形，四边形ABED是平行四边形，已知正六边形花池边长是1米，从花坛框架的任意一个角到距离它最近的花池顶点的距离为米，因为AD＝BE，DE＝AB＝BC，所以DE＝CE﹣AD＝1（米），则正六边形花坛框架的边长为[1+1（1）]米，正六边形的面积边长×边长，花坛中种植花卉的区域面积等于6个边长是1米的正六边形的面积，种植绿草区域面积等于正六边形花坛框架的面积减去花坛中种植花卉的区域面积，由此解答本题。 【解答】解：构造如图： ， AD∥BE， 已知正六边形花池的每个内角是：180°×（6﹣2）÷6＝120°， 则∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝180°﹣120°＝60°， 所以三角形ABC为等边三角形，四边形ABED是平行四边形， 已知正六边形花池边长是1米，从花坛框架的任意一个角到距离它最近的花池顶点的距离为米， 因为AD＝BE，DE＝AB＝BC， 所以DE＝CE﹣AD＝1（米）， 则正六边形花坛框架的边长为：1+13（米）， 花坛中种植花卉的区域面积：3×3（平方米）， 种植绿草区域面积：1×1×6 9 （平方米）， 花坛中种植花卉的区域面积是种植绿草区域面积的：3。 答：花坛中种植花卉的区域面积是种植绿草区域面积的3倍。 故答案为：3。 【点评】本题考查的是剪切和拼接的应用，解决本题的关键是计算出正六边形花坛框架的边长。 18．（4分）精灵王国的货币面值为8元，10元，25元．若只能用这些面值的货币组合进行支付，则无法用它们买到的最昂贵的物品价格是 　47　 元． 【分析】弗罗贝尼乌斯数硬币问题，但题目是三种面值且不存在两两互质，即不能直接套用公式ab﹣a﹣b（2个互质数）计算。对于一组互质的正整数a1，a2，...，an（最大公因数gcd（a1，a2，...，an）＝1），弗罗贝尼乌斯数g（a1，a2，...，an）表示无法用这组数的非负整数线性组合表示的最大正整数。简单说就是用这些数凑不出来的最大数。 核心公式（仅适用于两个互质的数）：若a，b为互质的正整数，则g（a，b）＝ab﹣a﹣b，举例如下： 3和5互质，g（3，5）＝3×5﹣3﹣5＝7（验证：7凑不出来，8＝3+5，9＝3×3，10＝5×2，后续都能凑）。 公式仅对两个互质的数有效：若两个数不互质（如8和10，gcd＝2），则存在无穷多个数无法被表示（所有奇数都凑不出来），此时没有弗罗贝尼乌斯数；对于三个及以上互质的数，没有通用的闭式公式，只能通过枚举、递推验证，即本题可以依次枚举后即可解答本题。 【解答】解：从1元开始检查能否组成： 1～7：显然不能（最小面值8）， 8＝8， 9：不能， 10＝10， 11：不能， 12：不能， 13：不能， 14：不能， 15：不能， 16＝8+8， 17：不能， 18：不能， 19：不能， 20＝10+10， 21：不能， 22：不能， 23：不能， 24＝8+8+8， 25＝25， 26＝8+8+10， 27：不能， 28＝8+10+10， 29：不能， 30＝10+10+10， 31：不能， 32＝8+8+8+8， 33：不能， 34＝8+8+8+10， 35＝10+25， 36＝8+8+10+10， 37：不能， 38＝8+10+10+10， 39：不能， 40＝8+8+8+8+8， 41：不能， 42＝8+8+8+8+10， 43：不能， 44＝8+8+8+10+10， 45＝10+10+25， 46＝8+8+10+10+10， 47：不能， 48＝8×6， 49＝8+8+8+25， 50＝25+25， 51＝8+8+10+25， 52＝8+8+8+8+10+10， 53＝8+10+10+25， 54＝8+8+8+10+10+10， 55＝10+10+10+25， 56＝8×7， 57＝25+8×4， 58＝8+25+25， 59＝25+8+8+8+10， 60＝10×6， …… 一旦连续出现8个能支付的金额，那么之后的所有金额都能支付（因为可以用8去填补差值）， 即无法用它们买到的最昂贵的物品价格是47元。 故答案为：47。 【点评】枚举过程中做到不重不漏是解题的关键。 19．（4分）来自同一个公司的8人薪资互不相同，现将他们平均分成两行（每行4人），每行人员的工资均按从左至右依次增加排列，且第一行从左至右第k个位置的人，工资高于第二行从左至右第k个位置的人（k＝1，2，3，4）．这样的排序方式共有 　14　 种． 【分析】利用卡特兰数的模型分析解答即可解答本题。 【解答】解：8个不同薪资的人，先从8人中选4人作为第一行，剩余4人自动为第二行，选法有70（种）， 因为每行必须从左到右递增，所以选定4人后，第一行和第二行各自的内部顺序是唯一确定的。 设第一行4人薪资从小到大：a1＜a2＜a3＜a4，第二行4人薪资从小到大：b1＜b2＜b3＜b4， 第一行从左至右第k个位置的人，工资高于第二行从左至右第k个位置的人（k＝1，2，3，4）， 即a1＞b1，a2＞b2，a3＞b3，a4＞b4， 这个约束等价于卡特兰数的经典模型（n＝4时的Dyck路径问题），满足条件的配对方式数为第4个卡特兰数。 卡特兰数公式：∁n， 当n＝4时，C470＝14（种）。 答：这样的排序方式共有14种。 故答案为：14。 【点评】这是一道组合数学中的排列组合问题，解题关键是熟悉卡特兰数的模型。 20．（4分）某老年公寓居住着20位老人，他们的年龄总和为1520岁，其中年龄最长者的岁数在90到100之间，剩下19人的年龄构成连续的自然数．这20位老人中年龄最小者的年龄为 　66　 岁． 【分析】根据等差数列求和公式可得，19人中最小的年龄与最大的年龄的和除以2再乘19的积小于1520﹣90＝1430，大于1520﹣100＝1420，可求得年19人的年龄和。再根据首项+（项数﹣1）×公差＝末项，求得最小者的年龄。 【解答】解：1520﹣100＜19×75＝1425＜1520﹣90 设最小年龄为x岁，则 x+x+（19﹣1）＝75×2 解得x＝66 答：这20位老人中年龄最小者的年龄为66岁。 故答案为：66。 【点评】熟悉等差数列各部分间的关系是解决本题的关键。 21．（4分）黑板上写着2025个数：1，，，，……，，每次从中选取两个数x，y，擦去这两个数后在黑板上写上x+y+xy．反复进行这种操作，直至黑板上剩下一个数，这个数是 　2025　 ． 【分析】x+y+xy＝（x+1）（y+1）﹣1，即通过构造新数列找规律即可解答。 【解答】解：x+y+xy＝（x+1）（y+1）﹣1， 设bn＝an+1，则操作变为：去掉bx﹣1、by﹣1，写上bxby﹣1，即新数对应的b值是原来两个b值的乘积。 黑板上原始2025个数：1，，，，……，， 对应的bn为： 1+1＝2， 1， 1， …… 1， 22026， 设最后一个数为a，则其对应的b＝a+1＝2026，因此： a＝2026﹣1＝2025。 综上，最后剩下的数是2025。 答：反复进行这种操作，直至黑板上剩下一个数，这个数是2025。 故答案为：2025。 【点评】解答本题的关键是通过构造新数列将复杂操作转化为“乘积/和/差”的简单运算，利用“不变量”（总和、总乘积等）求解最终结果。 22．（4分）如图，在4×4的方格中放入相同的棋子，每个格子内至多放一枚棋子．要求每行恰好各有2枚棋子，且每列也恰好各有2枚棋子．这样的棋子放置方式共有 　90　 种． 【分析】每行恰好各有2枚棋子且每列也恰好各有2枚棋子，每行4个格子选2个格子有6种选法，每列也恰好各有2枚棋子，即第一行的6种中的一种情况进行分析，第一、二行可以分竖向2格对齐、竖向1格对齐和竖向0格对齐三种情况求出一种情况的排列数，该排列数乘6即可解答本题。 【解答】解：每一行4个格子选2个格子的选法：6（种）， 对第一行的6种中的一种情况（如图1）进行分析，第一、二行可以分竖向2格对齐、竖向1格对齐和竖向0格对齐三种情况。 ①竖向2格对齐（如图2），第三、四行共1种情况： ②竖向1格对齐（如图3～6），有一列已经满足有两枚棋子，有一列空白，则空白列的第三、四行各放置一枚棋子，两列已经满足有两枚棋子放置，第三行的另一枚棋子在另两列中任选一列，有种情况，第四行只有一种放置法，所以共有4＝8（种）情况： ③竖向0格对齐（如图7），第三行有6（种）情况，第四行有1种情况，所以第三、四行共6种情况： 综上共有1+8+6＝15（种）情况。 所以： （1+8+6） ＝6×15 ＝90（种）。 答：这样的棋子放置方式共有 90种。 故答案为：90。 【点评】本题考查了排列组合问题的应用，明确题意不难解答本题。 23．（4分）记n!＝1×2×3×…×n，an．如果n是自然数，且12100是n!的因数，那么n最小是　207　 ． 【分析】12100＝（2×2×3）100＝2200×3100，由于n!的因数中3出现的频率低于因数2，因此n!中因数2的个数会先达到200。我们需要找到最小的n，所以n的最小值小于3×100＝300；所以先从200验证考虑；据此解答即可。 【解答】解：12100＝（2×2×3）100＝2200×3100，由于n!的因数中3出现的频率低于因数2， 所以问题转化为3100是n!的因数，求n的最小值， 假设n＝200，则： []＝66（个）， []＝22（个）， []＝7（个）， []＝2（个）， 66+22+7+2＝97（个）， 还差因数3：100﹣97＝3（个）， 201（贡献1个因数3）、204（贡献1个因数3）、207（贡献2个因数3）， 所以n最小是207。 故答案为：207。 【点评】本题考查了极值问题与因数倍数问题的综合运用。 24．（4分）如图，一个半径为200米、圆心角为144°的扇形，弧上依次有A、B、C、D、E、F六个点．已知弧AB、弧BC、弧DE、弧EF的长度相等，且弧CD的长度是弧AB的4倍．那么，图中阴影部分的面积是 　12560　 平方米．（π取3.14） 【分析】如解答图，连接OB、OC、OD、OE，阴影部分的面积等于弓形BCDE的面积减去弓形CD的面积，则弓形BCDE面积等于扇形OBE的面积减去三角形OBE的面积，弓形CD的面积等于扇形OCD的面积减去三角形OCD的面积，两个弓形面积作差即可解答本题。 【解答】解：连接OB、OC、OD、OE，如下图所示： 设弧AB＝弧BC＝弧DE＝弧EF＝x， 因为弧CD的长度是弧AB的4倍， 所以弧CD＝4x， 总弧长对应的圆心角：144°， 总弧长对应的份数：x+x+4x+x+x＝8x， 则每份弧长对应的圆心角：144°÷8＝18°， S扇形OBE3.14×2002＝37680（m2）， S△OBE2002×sin（144°﹣18°×2）2002×sin108°400005000（m2）， S弓形BCDE＝S扇形OBE﹣S△OBE＝37680﹣5000（m2）， S扇形OCD3.14×2002＝25120（m2）， S△OCD2002×sin（144°﹣18°×4）2002×sin72°400005000（m2）， S弓形CD＝S扇形OCD﹣S△OCD＝25120﹣5000（m2）， S阴影＝S弓形BCDE﹣S弓形CD＝37680﹣500025120+500012560（m2）。 答：图中阴影部分的面积是12560平方米。 故答案为：12560。 【点评】熟练掌握等腰三角形的面积计算公式是解题的关键。 25．（4分）一艘货轮往返于A、B两港之间，顺水而下需用3小时，逆水而上需要4小时．某一天涨潮时水速增加，该货轮顺水航行是逆水航行所用时间的，那么涨潮时逆水航行需 　　 小时． 【分析】设船在静水中的速度为v船，原来的水速为v水，A、B两港之间的距离为S。根据“路程＝速度×时间”，可得顺水速度＝v船+v水，逆水速度＝v船﹣v水，两式联立即可求出v船和v水，同理，设涨潮时水速为v′水，求出涨潮时顺水速度和逆水速度以及顺水航行时间和逆水航行时间，根据该货轮顺水航行是逆水航行所用时间的，即可求出船速和涨潮时的水速之间的关系，进而求出逆水速度，最后求出逆水航行时间，据此解答。 【解答】解：设船在静水中的速度为v船，原来的水速为v水，A、B两港之间的距离为S。则： 顺水速度＝v船+v水① 逆水速度＝v船﹣v水② 联立①②可得： v船S， v水S。 设涨潮后的水速为v′水，则涨潮后： 顺水速度＝v船+v′水， 顺水时间t顺， 逆水速度＝v船﹣v′水， 逆水时间t逆， 因为涨潮时水速增加，该货轮顺水航行是逆水航行所用时间的， 所以t顺t逆， 即， 化简可得：v船＝5v′水， 而v船S， 即S＝5v′水， 所以v′水S， 所以逆水速度＝v船﹣v′水SSS， 所以逆水时间t逆（小时）。 答：涨潮时逆水航行需 小时。 故答案为：。 【点评】熟练掌握顺水速度、逆水速度、水速、船速之间的关系是解题的关键。 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/2 8:29:55；用户：邢连强；邮箱：13468187680；学号：36611160 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $