8.3.1分类变量与列联表 教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.3.1《分类变量与列联表》教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：了解分类变量的概念，理解列联表的意义和作用；会用频率分析法、图形分析法（等高堆积条形图）探究两个分类变量之间的关联；能通过实例体会用样本推断总体的思想，并认识到统计推断可能存在的随机性误差. 课标分析： 本节课是“成对数据的统计分析”中分类变量关联性分析的起始内容，承接前两节数值变量的回归分析，转向两个分类变量之间关系的研究.课标强调“了解”与“会用”，学生不仅要记住概念，更要能实际操作：根据数据制作2×2列联表，计算频率或条件概率，绘制等高堆积条形图，并据此判断两个分类变量是否存在关联.同时，课标要求体会样本的随机性可能导致推断错误，为下一节独立性检验埋下伏笔.本节课对培养学生的数据分析、数据建模素养具有重要意义. 2、 教材分析 “分类变量与列联表”是人教A版选择性必修第三册第八章第3.1节内容，是统计推断由数值变量扩展到分类变量的关键环节.教材通过“性别与体育锻炼的经常性”等实例，引入分类变量的概念及其与数值变量的区别，然后给出2×2列联表的定义和构造方法.教材重点介绍了三种分析两个分类变量之间关系的方法：频率分析法（比较条件概率）、图形分析法（等高堆积条形图）、以及通过条件概率比较.同时，教材通过“两校学生数学成绩优秀率差异”的案例，引导学生认识到样本随机性可能导致推断错误，为独立性检验中的“犯错误概率”做铺垫.本节内容是后续学习独立性检验的基础，也是培养学生从数据中发现问题、表达结论的重要素材. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了数值变量之间的相关分析和回归分析，熟悉用散点图、相关系数、回归方程等工具描述变量间的关系.但对于分类变量（如性别、是否锻炼、成绩优秀与否）的概念和处理方法，学生较为陌生.他们容易混淆分类变量的取值（如用0、1表示类别）与数值变量的大小意义.制作列联表、计算频率、绘制等高条形图等操作虽然难度不大，但学生可能不理解为什么要用这些方法，以及如何依据频率差异做出合理推断.另外，学生对“由样本推断总体可能犯错”这一统计思想的理解比较薄弱.教师应通过生活实例、动手填表、画图等方式，帮助学生建立直观认识，并逐步渗透统计推断的不确定性. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：通过实例抽象出分类变量的概念，理解其与数值变量的区别；能从实际问题中识别两个分类变量，并构建2×2列联表，提升从具体情境中提炼数学结构的能力. 1. 逻辑推理素养：能通过列联表中的频率（或条件概率）的差异，推断两个分类变量之间是否存在关联；能解释样本随机性可能导致推断错误的原因，培养批判性思维. 1. 数据分析素养：能根据原始数据或频数表制作2×2列联表；能计算不同类别下的频率或条件概率；能绘制等高堆积条形图，并依据图形和频率差异做出合理判断. 1. 直观想象素养：通过等高堆积条形图直观感知两个分类变量之间的关联程度，增强借助图形分析数据的能力. 1. 数学建模素养：能够将现实中的分类变量关系问题（如玩手机时间与成绩好坏、性别与体育锻炼）转化为列联表模型，并用频率和图形进行分析，体验从数据到结论的统计建模过程. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：分类变量的概念；2×2列联表的制作与解读；用频率分析法和等高堆积条形图判断两个分类变量是否有关联. 1. 难点：理解频率差异反映变量关联的原理；认识到样本随机性可能导致推断错误. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）下列变量中，属于分类变量的是（ ）（多选） A. 某人的年收入（元） B. 某人的血型（A、B、O、AB） C. 某校学生的年级（高一、高二、高三） D. 某次考试的成绩（分） 答案：B、C（因为血型和年级取值是类别，而非数值大小有意义；年收入和成绩是数值变量）. （2）对于两个分类变量 和 ，若我们想研究它们之间是否有关联，常用的统计图形是______. 答案：等高堆积条形图. （3）某中学调查了200名学生的性别与是否喜欢运动，得到如下数据：男生80人，其中喜欢运动的有60人；女生120人，其中喜欢运动的有70人.请完成下面的2×2列联表（填写括号中的数字）： 喜欢运动 不喜欢运动 合计 男生 60 ( ) 80 女生 70 ( ) 120 合计 130 ( ) 200 答案：男生不喜欢运动20人，女生不喜欢运动50人，合计不喜欢运动70人. 2. 请学生回答，教师点评并强调：列联表中每个格子都是频数，合计行列要匹配. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 我们前面学习了成对数据的统计分析，重点研究了哪类变量之间的关系？用到了哪些方法？ 2. 学生回答：数值变量，用散点图、相关系数、回归分析等. 教师展示两个例子： 例A：某班学生的身高与体重. 例B：某班学生的性别（男/女）与是否近视（是/否）. 问：这两个例子中的变量有什么不同？ 3. 学生回答：例A中的身高、体重是具体的数值；例B中的性别、是否近视是类别. 4. 教师总结：今天我们要研究的就是这种取值为“类别”的变量之间的关系. 环节三：合作探究 1. 分类变量的概念与变量分类（3分钟） 教师讲解： 数值变量：取值为实数，大小和运算有意义（如身高、成绩、时间）. 分类变量：取值表示不同类别，可以用数字编码（如1,2,3），但这些数字只作为标签，没有算术意义. 举例：性别（男/女）、是否吸烟（是/否）、班级（1班、2班）、血型. 引导学生举例： 请学生说出3个生活中的分类变量和3个数值变量. 学生答：分类变量——政治面貌、交通工具类型、手机品牌；数值变量——体重、温度、价格. 2. 2×2列联表的制作与频率分析法（6分钟） 呈现问题（教材中的普查数据）： 某中学全校学生中，523名女生有331名经常锻炼，601名男生有473名经常锻炼.判断性别与体育锻炼的经常性是否有关联. 教师引导学生整理成2×2列联表： 经常锻炼 不经常锻炼 合计 女生 331 192 523 男生 473 128 601 合计 804 320 1124 分析思路： 比较女生经常锻炼的频率 和男生经常锻炼的频率 . 如果性别与锻炼无关，两个频率应该大致相等；现在相差较大（0.633 vs 0.787），说明可能有关联. 也可计算条件概率：经常锻炼女生，经常锻炼男生，差异明显. 教师强调：频率差异是判断关联的依据，但要考虑样本随机性，不能绝对化. 3. 等高堆积条形图（4分钟） 教师展示如何根据列联表数据绘制等高堆积条形图： 横轴为性别（女生、男生），纵轴为比例（0到1），每个柱子的高度为1，柱子内部分为“经常锻炼”和“不经常锻炼”两个颜色块，高度分别对应各自的比例. 引导学生观察： 男生柱中“经常锻炼”部分的高度（0.787）明显高于女生柱中的对应部分（0.633），说明男生的锻炼比例更高，性别可能与锻炼有关. 教师总结：等高堆积条形图能直观对比不同类别下某一属性的分布差异，是分析分类变量关联的常用图形工具. 4. 样本随机性与推断可能犯错（2分钟） 教师提问：我们通过样本（或普查）数据得到频率差异，从而得出“性别与锻炼有关”的结论.如果只是随机抽取一部分学生，这个结论一定正确吗？ 学生思考后回答：不一定，可能抽到的样本恰好使差异夸大或缩小. 教师解释：这就是统计推断的不确定性.当根据样本数据推断总体时，可能犯错误（如实际无关联，样本显示有关联）.下一节课我们会学习如何量化这种犯错误的概率.本节课我们只做初步判断. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：某校为了解学生选考物理与性别是否有关，随机抽取了100名学生，得到如下数据：男生40人，其中选考物理的有28人；女生60人，其中选考物理的有30人. （1）完成下面的2×2列联表： 选考物理 不选考物理 合计 男生 28 ( ) 40 女生 30 ( ) 60 合计 ( ) ( ) 100 （2）分别计算男生和女生选考物理的频率； （3）根据频率差异，判断性别与选考物理是否可能有关联. 解： （1）男生不选考物理：40-28=12；女生不选考物理：60-30=30；选考物理合计：28+30=58；不选考物理合计：12+30=42.填表： 选考物理 不选考物理 合计 男生 28 12 40 女生 30 30 60 合计 58 42 100 （2）男生选考物理频率：；女生选考物理频率：. （3）0.7与0.5相差较大，说明男生选考物理的比例明显高于女生，因此性别与选考物理可能存在关联. 例2（概念辨析）：判断下列说法是否正确. （1）分类变量的取值如果使用1、2、3表示，那么这些数字可以进行加减运算.（ ） （2）2×2列联表只能用于两个分类变量，且每个变量只能有两个类别.（ ） （3）等高堆积条形图中，每个柱子的总高度为1.（ ） （4）如果两个分类变量独立，则各子类的频率应该大致相等.（ ） （5）根据样本数据推断总体关联时，结论一定正确.（ ） 答案：（1）×（数字仅作为标签，不能运算）；（2）√（2×2列联表要求每个变量二分类，但可推广）；（3）√；（4）√（在独立条件下，条件概率等于边际概率）；（5）×（可能犯错）. 2. 综合练习（7分钟） 例3：某机构调查了200名成年人的吸烟状况与是否患慢性支气管炎，数据如下： 患支气管炎 未患支气管炎 合计 吸烟 45 55 100 不吸烟 20 80 100 合计 65 135 200 （1）计算吸烟者中患支气管炎的频率和不吸烟者中患支气管炎的频率； （2）判断吸烟与患支气管炎是否可能有关联； （3）绘制等高堆积条形图的思路（不用画图，描述横轴、纵轴、柱子高度分配即可）； （4）如果这是从总体中随机抽取的样本，你认为“吸烟与患支气管炎有关”这个结论是否一定正确？为什么？ 解： （1）吸烟者患病频率：；不吸烟者患病频率：. （2）0.45明显大于0.20，说明吸烟者患病比例远高于不吸烟者，因此吸烟与患支气管炎可能有关联. （3）横轴分为“吸烟”和“不吸烟”两类，每个柱子高度为1，吸烟柱中患病部分占0.45，未患病部分占0.55；不吸烟柱中患病部分占0.20，未患病部分占0.80. （4）不一定正确.因为样本具有随机性，可能该样本恰好夸大了差异；也可能总体中实际无差异，但抽样导致出现差异.因此结论可能犯错，需要用统计检验来量化犯错概率. 例4（多选题）：下列关于2×2列联表和等高堆积条形图的说法，正确的有（ ） A. 列联表中的数据可以是频数，也可以是频率 B. 等高堆积条形图中，每个条形的总高度都相等 C. 通过比较两个条形的不同颜色部分的高度，可以直观判断两个分类变量是否相关 D. 列联表中的行合计与列合计必须相等 E. 若两个分类变量独立，则等高堆积条形图中各条形的内部结构应大致相同 答案：B、C、E（A错误：列联表通常填频数，频率可另算；D错误：行合计总和等于列合计总和，但不等于行合计等于列合计；B正确：因为高度归一化为1；C、E正确）. 例5：某高中调查了300名学生的文理分科意向与性别，得到如下列联表（部分数据缺失）： 倾向文科 倾向理科 合计 男生 60 100 160 女生 80 a b 合计 140 c 300 （1）求表中a、b、c的值； （2）计算女生中倾向文科的频率； （3）判断性别与文理倾向是否可能有关联. 解： （1）总合计300，男生160，所以女生b=300-160=140. 倾向文科合计140，男生60，所以女生倾向文科80，与已知一致. 倾向理科合计c=300-140=160，男生倾向理科100，所以女生倾向理科a=160-100=60. 因此a=60，b=140，c=160. （2）女生倾向文科频率 = . （3）男生倾向文科频率 = ，女生0.571，差异明显，女生更倾向文科，因此性别与文理倾向可能有关联. 小试牛刀： 一、单选题 1．为考查、两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（    ） A．药物的预防效果优于药物的预防效果 B．药物的预防效果优于药物的预防效果 C．药物、对该疾病均有显著的预防效果 D．药物、对该疾病均没有预防效果 2．一个列联表如下： 合计 35 45 7 合计 73 则表中，的值分别是    （   ） A．10，38 B．17，45 C．10，45 D．17，38 二、多选题 3．2018年12月1日，贵阳市地铁1号线全线开通，在一定程度上缓解了市内交通的拥堵状况．为了了解市民对地铁1号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高堆积条形图． 根据图中的信息，下列结论中一定正确的是（    ）． A．样本中男性比女性更关注地铁1号线全线开通 B．样本中多数女性是35岁及以上 C．样本中35岁以下的男性人数比35岁及以上的女性人数多 D．样本中35岁及以上的人对地铁1号线的开通关注度更高 三、填空题 4．下面是一个2×2列联表： 项目 y1 y2 总计 x1 a 21 70 x2 5 c 30 总计 b d 100 则由上表可得________. 四、解答题 5．下表是、两班关于选择“物理”作为“加三学科”的意愿的列联表，请根据已有数据完善表格. 单位：人 类别 愿意选择“物理” 不愿意选择“物理” 总计 班 20 42 班 16 总计 44 环节五：课堂小结 5. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 什么是分类变量？与数值变量的区别. (2) 2×2列联表的结构与制作方法. (3) 如何通过计算频率（或条件概率）比较两个分类变量是否有关联. (4) 等高堆积条形图的作用和绘制原理. (5) 样本随机性可能导致推断错误，结论不是绝对的. 2.教师补充： (1) 本节课的方法只是初步判断，下一节课我们将学习独立性检验，可以量化判断的可信度. (2) 在实际应用中，列联表可推广到多分类（如r×c列联表），原理类似. 环节六：布置作业 1. 书面作业： 完成教材第127页练习第4题（制作列联表并判断关联）. 配套课时达标检测《分类变量与列联表》基础题. 2. 拓展作业： 调查班级同学的两个分类变量（如“是否每天锻炼半小时以上”与“是否近视”），制作2×2列联表，计算频率，画出等高堆积条形图（手绘或用软件），并写出初步结论. 3. 预习引导： 思考：如果两个分类变量的频率差异不是特别大，我们如何判断这种差异是真实存在的，还是由随机性造成的？下一节课“独立性检验”将给出答案. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课从生活实例（玩手机与成绩、性别与锻炼）引入，激发了学生的兴趣.通过对比数值变量和分类变量，学生较好地区分了两类变量.在列联表的制作与频率分析环节，学生通过动手填表、计算，掌握了基本操作.等高堆积条形图的绘制虽然未在课上实际画图，但通过描述和示意图，学生理解了其直观比较的优势.需要改进的是：部分学生对“频率差异多大才算有关联”仍感到模糊，应强调这是初步判断，后续独立性检验会给出量化标准.另外，对“样本随机性可能导致犯错”这一思想，学生接受度较高，但还需在后续课程中反复强化.总体来看，本节课为独立性检验打下了良好的基础. 学科网（北京）股份有限公司 $