8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

8.2.2 《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》（第2课时）教学设计

一、课标及课标分析

课标要求：

根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：了解非线性回归模型的意义，掌握通过变量代换将非线性回归问题转化为线性回归的方法；理解决定系数 的含义，能用 和残差图判断回归模型的拟合效果；能运用回归模型进行预测，并解释其局限性.

课标分析：

本节课是“成对数据的统计分析”的进阶内容，在第1课时掌握线性回归参数估计的基础上，进一步处理非线性关系和模型评价问题.课标强调“了解”与“掌握”相结合：学生不仅要会建立非线性回归模型（通过转化），还要能定量评价模型的好坏（、残差图）.教学中应注重实际数据的探究，帮助学生体会模型选择的过程，避免机械套用.本节课对提升学生的数据分析、数学建模素养具有重要意义.

二、教材分析

“一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）”是人教A版选择性必修第三册第八章第2.2节的延续内容.教材在上一课时介绍最小二乘估计公式和残差分析的基础上，进一步探讨两个问题：一是当变量间呈非线性相关时如何处理（如百米世界纪录与年份的关系）；二是如何量化评价回归模型的拟合效果（引入决定系数 ）.教材通过树高与胸径的实例巩固线性回归，再通过男子100米世界纪录的实例展示非线性回归的变量代换方法（取对数变换），最后给出 的定义及其意义.本节内容是回归分析的核心组成

授课人个案修改记录：

部分，为学生后续学习更复杂的统计模型打下基础.

三、学情分析

学生在学习本节课之前，已经掌握了一元线性回归模型的基本结构、最小二乘估计方法、残差和残差图的概念，能够根据样本数据计算经验回归方程并进行简单预测.但是，对于非线性关系的识别和处理，学生缺乏经验；变量代换（如取对数）的思想较为陌生，容易混淆变换前后的变量含义；决定系数 的公式及其与相关系数 的关系（ 在一元线性回归中成立）需要厘清.此外，学生可能对“模型适用范围” “预测的局限性”理解不深.教师应通过对比图形、动手计算和案例分析，帮助学生建立直观认识，避免抽象说理.

四、教学目标/核心素养目标

1. 数学抽象素养：从散点图的形态抽象出非线性关系的特征，理解变量代换的思想，能将非线性回归问题转化为线性回归问题.
2. 逻辑推理素养：理解决定系数 的构造原理（残差平方和与总离差平方和之比），能解释 越接近1表示拟合效果越好；能通过残差图的规律判断模型是否合适.
3. 数据分析素养：能根据实际问题的散点图选择适当的回归模型（线性或非线性），通过变量代换建立非线性经验回归方程，并利用 或残差图评价模型；能合理地进行预测并解释预测的局限性.
4. 直观想象素养：通过散点图和非线性拟合曲线的对比，理解变换后数据呈线性关系的几何意义；通过残差图的分布判断模型假设的合理性.
5. 数学建模素养：能够从实际问题中收集数据，判断变量间的非线性关系，选择合适的数学模型（如指数型、对数型等）进行拟合，并评价模型的实际效果，体会统计建模的全过程.

五、教学重难点及课时安排

1. 重点：非线性回归模型的识别与变量代换方法；决定系数 的含义与计算；利用残差图和 判断拟合效果.
2. 难点：根据散点图形态选择合适的非线性模型（如对数型、指数型）并

进行变量代换；理解 与相关系数 的关系；回归模型预测的局限性.

六、教学过程

环节一：检查预习

1. 展示预习问题：

（1）对于成对样本数据，若散点图呈现曲线形态（如指数增长），直接使用一元线性回归模型会导致______较大.

答案：残差（或误差）.

（2）已知某非线性关系可表示为 ，为将其转化为线性关系，可对两边取自然对数，得到 .此时令 ，则新变量 与 呈______关系.

答案：线性.

（3）决定系数 ，它反映了回归模型对总离差平方和的解释比例. 的取值范围是______.

答案：.

2. 请学生回答，教师点评并强调：变量代换的目的是将非线性问题线性化，但要注意变换后的回归方程要还原到原变量.

环节二：引入课题

1. 教师提问：

上一节课我们学习了最小二乘法，请问经验回归方程中的斜率 和截距 如何计算？

学生回答：，.

2. 教师追问：

我们如何判断一个线性回归模型的好坏？

学生回答：通过残差图，如果残差均匀分布在0左右，没有明显规律，则模型