8.2.2 一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）教学设计-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版选择性必修三教学设计 年级：高二 学科：数学 授课人： 8.2.2 《一元线性回归模型参数的最小二乘估计》（第2课时）教学设计 1、 课标及课标分析 课标要求： 根据《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》选择性必修课程“统计与概率”主题，学生应能够：了解非线性回归模型的意义，掌握通过变量代换将非线性回归问题转化为线性回归的方法；理解决定系数 的含义，能用 和残差图判断回归模型的拟合效果；能运用回归模型进行预测，并解释其局限性. 课标分析： 本节课是“成对数据的统计分析”的进阶内容，在第1课时掌握线性回归参数估计的基础上，进一步处理非线性关系和模型评价问题.课标强调“了解”与“掌握”相结合：学生不仅要会建立非线性回归模型（通过转化），还要能定量评价模型的好坏（、残差图）.教学中应注重实际数据的探究，帮助学生体会模型选择的过程，避免机械套用.本节课对提升学生的数据分析、数学建模素养具有重要意义. 2、 教材分析 “一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）”是人教A版选择性必修第三册第八章第2.2节的延续内容.教材在上一课时介绍最小二乘估计公式和残差分析的基础上，进一步探讨两个问题：一是当变量间呈非线性相关时如何处理（如百米世界纪录与年份的关系）；二是如何量化评价回归模型的拟合效果（引入决定系数 ）.教材通过树高与胸径的实例巩固线性回归，再通过男子100米世界纪录的实例展示非线性回归的变量代换方法（取对数变换），最后给出 的定义及其意义.本节内容是回归分析的核心组成部分，为学生后续学习更复杂的统计模型打下基础. 3、 学情分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了一元线性回归模型的基本结构、最小二乘估计方法、残差和残差图的概念，能够根据样本数据计算经验回归方程并进行简单预测.但是，对于非线性关系的识别和处理，学生缺乏经验；变量代换（如取对数）的思想较为陌生，容易混淆变换前后的变量含义；决定系数 的公式及其与相关系数 的关系（ 在一元线性回归中成立）需要厘清.此外，学生可能对“模型适用范围” “预测的局限性”理解不深.教师应通过对比图形、动手计算和案例分析，帮助学生建立直观认识，避免抽象说理. 4、 教学目标/核心素养目标 1. 数学抽象素养：从散点图的形态抽象出非线性关系的特征，理解变量代换的思想，能将非线性回归问题转化为线性回归问题. 1. 逻辑推理素养：理解决定系数 的构造原理（残差平方和与总离差平方和之比），能解释 越接近1表示拟合效果越好；能通过残差图的规律判断模型是否合适. 1. 数据分析素养：能根据实际问题的散点图选择适当的回归模型（线性或非线性），通过变量代换建立非线性经验回归方程，并利用 或残差图评价模型；能合理地进行预测并解释预测的局限性. 1. 直观想象素养：通过散点图和非线性拟合曲线的对比，理解变换后数据呈线性关系的几何意义；通过残差图的分布判断模型假设的合理性. 1. 数学建模素养：能够从实际问题中收集数据，判断变量间的非线性关系，选择合适的数学模型（如指数型、对数型等）进行拟合，并评价模型的实际效果，体会统计建模的全过程. 5、 教学重难点及课时安排 1. 重点：非线性回归模型的识别与变量代换方法；决定系数 的含义与计算；利用残差图和 判断拟合效果. 1. 难点：根据散点图形态选择合适的非线性模型（如对数型、指数型）并进行变量代换；理解 与相关系数 的关系；回归模型预测的局限性. 6、 教学过程 环节一：检查预习 1. 展示预习问题： （1）对于成对样本数据，若散点图呈现曲线形态（如指数增长），直接使用一元线性回归模型会导致______较大. 答案：残差（或误差）. （2）已知某非线性关系可表示为 ，为将其转化为线性关系，可对两边取自然对数，得到 .此时令 ，则新变量 与 呈______关系. 答案：线性. （3）决定系数 ，它反映了回归模型对总离差平方和的解释比例. 的取值范围是______. 答案：. 2. 请学生回答，教师点评并强调：变量代换的目的是将非线性问题线性化，但要注意变换后的回归方程要还原到原变量. 环节二：引入课题 1. 教师提问： 上一节课我们学习了最小二乘法，请问经验回归方程中的斜率 和截距 如何计算？ 学生回答：，. 2. 教师追问： 我们如何判断一个线性回归模型的好坏？ 学生回答：通过残差图，如果残差均匀分布在0左右，没有明显规律，则模型合理；还可以看相关系数 . 教师展示两组散点图：一组呈明显的曲线关系（如抛物线或指数型），另一组呈线性关系.提问： 对于呈曲线关系的点，直接用直线拟合合适吗？ 学生答：不合适，误差会很大. 3. 教师引入：今天我们就来学习如何处理非线性关系，以及如何定量评价模型的好坏. . 环节三：合作探究 1. 非线性回归模型的识别与转化（7分钟） 教师展示男子100米世界纪录与年份的散点图（课件中已有）.引导学生观察： 问：这些点是否大致分布在一条直线附近？ 学生答：不是，早期点偏离较大，后期呈现某种曲线趋势. 教师总结：这种非线性特征提示我们不能直接使用线性回归. 教师介绍常用处理思路： 通过变量代换将非线性关系转化为线性关系.例如，观察散点图形态： 若像 ，则令 ； 若像 ，则对 取对数，令 ； 若像 ，则对两边取对数，令 ，. 以百米世界纪录为例： 原始数据年份 与纪录 ，发现变换 后，新数据 近似线性. 教师板书步骤： ① 确定变换形式（根据图形或背景知识）； ② 计算新变量； ③ 对变换后的数据求线性回归方程； ④ 还原为原变量的非线性方程. 强调：变换的选择需结合背景和图形试探，没有唯一方法. 2. 决定系数 与模型拟合效果（5分钟） 教师提问：我们有了回归方程，如何定量说明它拟合得好不好？相关系数 只能衡量线性相关程度，对于非线性模型呢？ 引入决定系数 ： 定义： 其中分子 是残差平方和（未解释的变异），分母 是总离差平方和（总变异）. 越接近1，说明模型解释的变异比例越大，拟合效果越好. 在一元线性回归中，（ 为样本相关系数）. 也可用于比较不同模型（包括非线性模型）的拟合效果. 结合树高与胸径的例子（课件中已有），计算 ，说明其意义. 3. 残差图的进一步应用（3分钟） 回顾残差图的作用：判断模型假设是否合理（随机误差均值为0、方差恒定）. 对于非线性模型，残差图如果呈现规律性（如U形或倒U形），说明模型可能不合适，需要改进. 示例：百米纪录线性回归的残差图呈现明显的“先正后负再正”模式，说明线性模型不恰当；而经过对数变换后的残差图更均匀. 环节四：学以致用 1. 基础练习（5分钟） 例1：某研究者收集了某细菌数量 与时间 （小时）的数据，散点图显示 随 增长呈指数型，即 .现测得以下数据： 0 1 2 3 4 2 5.4 14.8 40.2 109.2 （1）为了建立线性回归模型，应对哪个变量作何种变换？ （2）完成变换后，写出新变量的线性回归方程（只需写出形式，不要求具体计算）. （3）若求得变换后的回归方程为 ，其中 ，求原变量 关于 的非线性经验回归方程. 解： （1）对 取自然对数，令 ，则 ，与 成线性关系. （2）设 ，其中 ，. （3）由 ，得 ，所以 . 答案：. 例2（概念辨析）：判断下列说法是否正确. （1）对于一元线性回归模型，决定系数 等于相关系数 的平方.（ ） （2）非线性回归模型经过变量代换后，得到的新变量回归方程可以直接用于预测原变量的值，无需还原.（ ） （3）残差图中残差呈规律性变化，说明模型可能不合适.（ ） （4） 越大，说明模型拟合效果越好，因此 是最理想的.（ ） 答案：（1）√；（2）×（必须还原后才能预测原变量）；（3）√；（4）√（但 在现实中极少，意味着完全拟合）. 2. 综合练习（7分钟） 例3：某林场收集了某种树的胸径 （cm）与树高 （m）的数据，经计算得线性回归方程为 ，相关数据如下：，. （1）计算决定系数 （保留三位小数）； （2）解释 的含义； （3）已知胸径与树高的样本相关系数 ，验证 是否成立（计算结果一致即可）. 解： （1）. （2） 表示树高的总变异中有约91.2%可以由胸径的线性关系解释，模型拟合效果很好. （3），与0.912略有差异（因保留小数所致），理论上应相等. 例4（多选题）：关于非线性回归模型，下列说法正确的有（ ） A. 所有非线性关系都可以通过变量代换转化为线性关系 B. 变量代换后建立的回归方程，其残差分析应基于变换后的变量 C. 决定系数 可以用于比较不同非线性模型的拟合效果 D. 利用非线性回归模型进行预测时，必须注意变换的还原 E. 散点图是判断是否使用非线性模型的重要工具 答案：B、C、D、E（A错误，并非所有非线性关系都能简单线性化，如周期函数等）. 例5：已知某地区GDP（亿元）与年份 （以2000年为原点）的数据散点图呈指数增长趋势，研究者采用模型 ，对 取对数后得到线性回归方程 . （1）求原变量 关于 的经验回归方程； （2）预测当 （即2020年）时的GDP； （3）若实际2020年GDP为150亿元，计算残差（原尺度），并解释残差的意义. 解： （1）由 得 . （2）当 时，（亿元）. （3）残差 （亿元），表示实际值比预测值高出89.7亿元，模型低估了实际增长，可能因为后期增长速度加快. 例6（开放思考）：为什么不能直接用线性回归模型拟合百米世界纪录与年份的关系？请从散点图形态和残差图两方面说明. 参考答案： 从散点图看，早期（如1900年前后）纪录下降缓慢，中期（1920-1960）下降较快，后期（1960后）又变缓，整体呈曲线形态，不是直线.从残差图看，若用直线拟合，残差会呈现“正—负—正”的规律性分布，不满足随机误差均值为0的假设，说明线性模型不合适.因此需要采用非线性模型（如对数型）. 小试牛刀： 一、单选题 1．下列命题正确的是（    ） A．残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B．当相关系数时，两个变量负相关； C．甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D．线性回归直线必过样本数据的中心点； 2．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在10℃至35℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．某类汽车在今年1至5月的销量y（单位：千辆）如下表所示（其中2月份销量未知）： 月份x 1 2 3 4 5 月销量y 2.4 m 4 5 5.5 若变量y与x之间存在线性相关关系，用最小二乘法估计建立的经验回归方程为，则下列说法正确的是（    ） A． B．残差绝对值最大为0.2 C．样本相关系数 D．当解释变量每增加1，响应变量增加0.85 三、填空题 4．若关于某人工智能设备的使用年限和所支出的维修费用（万元）统计数据如下： 使用年限 2 3 4 5 6 维修费用 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若有数据知对呈线性相关关系.其线性回归方程为，请估计使用10年时的维修费用是__________万元. 四、解答题 5．随着季节的变化，某种生物的繁殖量也发生变化，某研究员对所在地区该生物2025年1月至5月每月的繁殖量进行统计分析（取近似值），结果如下表： 月份 1 2 3 4 5 繁殖量/千个 1.5 2 3.5 8 15 (1)据上表数据，计算与的相关系数（精确到0.01），并说明与的线性相关性的强弱；（若，则认为与线性相关性很强，否则认为与线性相关性较弱） (2)利用最小二乘法建立关于的线性回归方程，并计算5月份该生物繁殖量的残差. 参考数据：，，. 参考公式：对于一组数据，其相关系数，其经验回归直线中，， 环节五：课堂小结 1. 请学生回顾本节课所学内容： (1) 非线性回归的处理思路：观察散点图 → 选择合适变换 → 线性化 → 求回归 → 还原. (2) 决定系数 的定义与意义：反映模型对总变异的解释比例， 越接近1越好. (3) 残差图的作用：判断模型假设是否合理，发现非线性规律. (4) 回归模型的适用范围：不能外推太多，预测结果是有条件的. 2.教师补充： (1) 实际应用中，可以尝试多种变换，比较 和残差图选择最优模型. (2) 统计软件（如R、Python、Excel）可以方便地进行非线性拟合. 环节六：布置作业 1. 书面作业： 完成教材第121页习题8.2第4题（建立非线性回归模型并计算 ）. 配套课时达标检测《一元线性回归模型参数的最小二乘估计（第2课时）》. 2. 拓展作业： 查找一个实际生活中呈非线性相关的成对数据（如COVID-19累计病例数与时间），尝试用变量代换建立非线性回归模型，并计算 ，撰写简短分析报告. 3. 预习引导： 预习下一节内容“列联表与独立性检验”，了解分类变量之间的关联性分析方法. 授课人个案修改记录： 教学反思 本节课通过两个典型案例（树高与胸径、百米世界纪录）分别巩固了线性回归和非线性回归的处理方法，层次清晰.学生在变量代换环节表现出一定困难，尤其是选择合适的变换形式，需要教师多给提示和图形观察的时间.决定系数 的引入，使学生对模型评价有了量化标准，并与相关系数 建立联系，加深了理解.在练习中，设计了还原预测和残差解释的题目，帮助学生避免常见错误.不足之处：部分学生对对数变换的还原计算不够熟练，下节课可增加针对性练习；另外，对于“模型适用范围”的问题，学生讨论不够充分，后续可结合课后作业中的GDP长时段预测案例进一步探讨.整体上，本节课达成了预设目标，学生能够处理简单的非线性回归问题并评价模型. 学科网（北京）股份有限公司 $