精品解析：广东省珠海市香洲区拱北中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷

拱北中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为一切实数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数这一性质，列不等式求解x的取值范围即可． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数． ∴对于，有． ∴解得． 故选：B． 2. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，逐一判断每个选项，即可得到不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、∵， ∴ 是直角三角形，本选项不符合题意； B、∵，设，，， ∵，， ∴， 是直角三角形，本选项不符合题意； C、∵，，， ∴， ∴是直角三角形，本选项不符合题意； D、∵，三角形内角和为， ∴最大角， ∴ 不是直角三角形，本选项符合题意． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查立方根、二次根式的乘法运算、完全平方公式及算术平方根的性质，掌握二次根式的相关运算方法是解题关键， 逐一计算各选项，判断其运算是否正确即可． 【详解】∵ ，而选项A中结果为，∴ A错误． ∵ ，而选项B中结果为16，∴ B错误． ∵ ，与选项C结果一致，∴ C正确． ∵ ，而选项D中结果为，∴ D错误． 故选：C． 4. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接套用多边形内角和公式（为多边形边数）计算即可． 【详解】解：八边形内角和为． 5. 若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理．利用任何多边形的外角和是除以一个外角度数即可求出答案． 【详解】解：多边形的外角的个数是． 所以多边形的边数是8． 故选：B． 6. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和等腰三角形的判定，解题的关键是利用平行四边形的性质和角平分线的性质得出等腰三角形，进而求出的长度．根据平行四边形的性质和角平分线的性质，得出，从而得到的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， 平分， ． 又， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 7. 铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（ ） A. 平行线间的距离处处相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线之间的距离，解题的关键在于理解铁轨枕木的设计与平行线间距离的关系．依据铁轨双轨道平行进行分析即可得出结论． 【详解】解：A、铁轨是平行的两条直线，枕木位于两轨之间，若枕木形状相同，则无论放置在哪个位置，都能保证与两轨的距离一致，符合平行线间距离处处相等，故A正确； B、此选项强调两点间最短路径，与枕木形状无关，故B不合题意； C、垂线段最短是点到直线的垂直距离，与枕木横向支撑无关，故C不合题意； D、此选项用于解释直线方向的确定，与枕木形状的统一性无关，故D不合题意． 故选：A． 8. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到、的中点D、E，并且测出的长为，则A、B间的距离为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．根据三角形的中位线定理即可得到结果． 【详解】解：∵D，E分别为，的中点， ∴，故A正确． 故选：A． 9. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在平行四边形中，证出有一个直角或对角线相等，即可判定为矩形，据此对选项进行判断． 【详解】解：选项：，无法推出或有直角，故无法证明平行四边形是矩形； 选项：，对角线相等，可证平行四边形是矩形； 选项：，则，可证平行四边形是矩形； 选项：由，则，又，，则，可证平行四边形是矩形． 10. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．由直角三角形斜边中线的性质推出，得到． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， ∴， 故选：D． 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式与二次根式的运算，观察式子符合平方差公式的结构，利用平方差公式展开后，结合二次根式的性质计算即可得到结果． 【详解】解： 12. 如图所示，在数轴上点A表示的实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 13. 已知：如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是：__________.(只需填一个你认为正确的条件即可) 【答案】.(答案不唯一) 【解析】 【分析】由AO=OC，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得添加BO=OD即可． 【详解】添加的BO=OD． 理由：∵在四边形ABCD中，BO=DO，AO=CO， ∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定．此题难度不大，注意掌握平行四边形的判定定理是解此题的关键． 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，根据菱形的性质结合勾股定理求出的长，进而求出菱形的周长即可． 【详解】解：∵菱形，，， ∴，，， ∴， ∴该菱形的周长为； 故答案为：20． 15. 我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 【答案】200 【解析】 【分析】本题考查了正方形与平行四边形的面积公式．运用直角三角形的角性质，获取平行四边形的高，是解本题的关键． 【详解】解：四边形是正方形，发生形变后，四条边长度不变，依然相等， ， 四边形是菱形，也是平行四边形， 过点C，作的垂线，垂足为E；为平行四边形在边上的高， ，是直角三角形， ， ， ， ． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二次根式的性质、指数幂的定义、绝对值的性质，把算式中各部分分别计算出来，再根据运算法则进行计算； （2）根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： . 17. 如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， ， ， 四边形是平行四边形． 【解析】 【详解】略． 18. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）判断支架，是否垂直； （2）求点C到的距离 【答案】（1） 解：， 理由：∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理逆定理，进行求解即可； （2）过C作于D，利用等面积法进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过C作于D， ∵， ∴，解得， 即点C到的距离为． 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 又， ． （2） 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，结合，即可证明； （2）由（1）得，推出四边形是菱形，，得到，求出、，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， 四边形是菱形，， 在中，， ， ， ， ∴ ，  ，， ． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 【答案】（1） 与垂直且相等，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴与垂直且相等； （2） 【解析】 【分析】（1）利用正方形性质证明，继而利用全等三角形性质即可得到答案； （2）利用正方形性质计算出，再利用勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∵点是的中点， ∴． 五．解答题（三）（本大题2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； （2）化简：； （3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【小问1详解】 解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 23. 如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 【答案】（1） 证明：在和中， ， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可求证； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可求得； （3）过点作，证明，在四边形中求出，证明是等边三角形，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 过点作， 在和中， ， ∴， ∴， 在四边形中 ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， 设， 则， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得， ∴． 【点睛】此题考查了正方形的性质、三角形全等、勾股定理，解题的关键是综合运用正方形的性质、三角形全等、勾股定理的知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 拱北中学2025-2026学年度第二学期八年级期中质量监测数学试卷 一．选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分） 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 为一切实数 2. 在中，所对的边分别为a、b、c，下列条件中，不能判定是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的每个外角都是，则这个多边形的边数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 如图，在中，的平分线交于点M．若，则的长为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1 7. 铁道工人把铁轨下面的每根枕木做成一模一样的依据是（ ） A. 平行线间的距离处处相等 B. 两点之间，线段最短 C. 垂线段最短 D. 两点确定一条直线 8. 如图，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A、B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A、B的点C，找到、的中点D、E，并且测出的长为，则A、B间的距离为( ) A. B. C. D. 9. 如图，四边形是平行四边形，添加下列条件，不能判定四边形是矩形的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，中，，点为的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________________． 12. 如图所示，在数轴上点A表示的实数是________． 13. 已知：如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，需添加一个条件是：__________.(只需填一个你认为正确的条件即可) 14. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．小芳家有一个菱形中国结装饰，将该中国结简化成菱形，测得，，则该菱形的周长为______． 15. 我们都知道，四边形具有不稳定性，老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取教具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，则四边形的面积减少了__________． 三．解答题（一）（本大题3小题，每小题7分，共21分） 16. 计算． （1） （2） 17. 如图，在中，，，垂足分别为，．求证：四边形是平行四边形． 18. 如图是某超市购物车的侧面简化示意图．测得支架，，两轮中心的距离． （1）判断支架，是否垂直； （2）求点C到的距离 四．解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，已知，延长到，使，连接，，，若． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，，求的长． 20. 如图，中，对角线，相交于点，点是上一点，连接，．且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 21. 如图，在正方形中，点分别在上，且，与相交于点，是的中点，连接． （1）与之间有怎样的关系？请说明理由． （2）若，，求的长． 五．解答题（三）（本大题2小题，其中第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： （1）点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； （2）化简：； （3）已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 23. 如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接． （1）求证：； （2）当时，求的度数； （3）如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $