二次函数压轴之线段周长问题2026年中考数学二轮专题精练

**基本信息** 聚焦二次函数压轴题线段周长问题，以待定系数法、对称变换、分类讨论为核心方法，构建“概念-性质-应用”逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析式与基础性质|3题|待定系数法求解析式、对称轴公式|从抛物线与坐标轴交点坐标抽象解析式，推导对称轴与顶点性质| |线段周长最值|5题|对称点转化、二次函数最值法|结合几何图形性质（等腰直角三角形、平行四边形），将线段和差转化为函数关系求解| |图形存在性|5题|分类讨论（等腰三角形、平行四边形）、勾股定理|以动态点为载体，通过代数推理验证几何图形存在性，发展逻辑思维|

2026年中考数学二轮专题精练-二次函数压轴之线段周长问题 1．已知抛物线与x轴交于，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点，D为对称轴与x轴的交点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，在x轴的上方且平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点，且为等腰直角三角形． （i）求的面积； （ii）点为该抛物线段上一动点，过点G作轴，与直线相交于点N，直接写出线段取得最大值时p的值． 2．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找出一点Q，使的值最小，并求出点Q的坐标． (3)点P是抛物线上位于直线上方的点，连接，P点的横坐标为m，，请写出S与m的函数关系，并求S的最大值． (4)在平面直角坐标系中，是否存在一点E，使得以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，直接写出点E坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点E，已知点B的坐标为，经过点B的直线与抛物线另一个交点D的坐标为，连接． (1)求抛物线及直线的解析式； (2)若点F在x轴上，则当的值最小时，求点F的坐标； (3)若点P是y轴上的一点，使得为等腰三角形，求点P的坐标． 4．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点，点P为x轴下方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，当点P的横坐标为2时，D为直线上一点，的周长为7是否成立，若成立，请求出D点坐标，若不成立，请说明理由； (3)若直线与y轴交于点M，直线与抛物线交于点Q，连接与y轴交于点H，求的值． 6．如图，已知抛物线与轴交于点和点B，与轴交于点，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作轴的平行线交抛物线于点Q，连接．当线段长度最大时，判断四边形的形状并说明理由； (3)如图2，在（2）的条件下，D是的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且．在轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，二次函数的图象交x轴于点，，交y轴于点，连接，点P是线段上一动点．过点P作直线，交线段于点E，交y轴于点D，交二次函数的图象于点F．且点F在第一象限． (1)求二次函数的解析式； (2)当点P为线段的三等分点时，求点P的坐标； (3)在点P运动的过程中，是否存在的情况？若存在．求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图，已知二次函数图象的顶点为，直线与该二次函数的图象交于两点，其中点的坐标为，点在轴上． (1)求的值及此二次函数的表达式； (2)为线段上的一个动点（点与点不重合），过点作轴的垂线与二次函数的图象交于点，设线段的长为，点的横坐标为，求与之间的函数表达式（写出自变量的取值范围）． 9．如图，抛物线经过点三点，D为直线BC上方抛物线上一动点，DE⊥BC于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，求线段长度的最大值； (3)如图2，设的中点为F，连接，是否存在点D，使得中有一个角与相等？若存在，求点D的坐标；若存在，请说明理由． 10．如图，抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式为 ． (2)若直线轴，在第一象限内与抛物线交于点M，与直线交于点N，设线段 的长度为n，请结合函数图象求出n的取值范围． (3)若抛物线的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有 个． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点，点是该抛物线的顶点． (1)求直线的解析式； (2)求，两点的坐标； (3)请在抛物线的对称轴上找一点，使的周长最小，求出点的坐标； (4)点是轴上一个动点，点作直线交抛物线于点，试探究：随着点的运动，在抛物线上是否存在定点，使得，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点是第一象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当轴时，求的周长； (3)当的面积等于面积的时，求点D的横坐标． 13．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过、、三点，抛物线的顶点为，对称轴交轴于点，接． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)如图1，将绕点旋转得到，点能否恰好落在直线上？若能，求出点恰好落在直线的坐标，若不能，请说明理由； (3)如图2，点是抛物线上的动点，连接、，将沿所在直线对折，点的对应点为点，点能否落在直线上？若能，求出点恰好落在直线上时的点横坐标，若不能，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）代入点坐标，待定系数法求解析式即可； （2）（i）先通过对称轴公式求出D的坐标，设出点P的坐标，利用等腰直角三角形的性质，确定的中点与点P和点D的关系，并构建方程求出点P的坐标，即可计算求出各线段长，进而计算出面积； （ii）待定系数法求出直线的解析式，从而表示出点N的坐标，进而用含p的式子表示，得到关于p的二次函数，利用二次函数求最值的方法求解即可． 【详解】（1）解：代入和，得， 解得， ∴； （2）解：（i）由（1），得抛物线的对称轴为直线， ∴， 如图，设的中点为，则，， 设，则， ∴，， ∵， ∴， 解得，或（不合题意，舍去）， ∴，， ∴， ∴； （ii）设直线：， 代入，，得， 解得， ∴， 由题意，得，， ∴， ∵， 当时，取得最大值． 2．(1) (2) (3)，最大值为 (4)或或 【分析】（1）根据点A，B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式； （2）利用二次函数的性质可得出抛物线对称轴为直线，作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q，此时取最小值，求出直线的解析式，即可解答； （3）由题得，过点P作轴的垂线，交于点，求出直线的解析式，则，求出，根据，再利用二次函数的性质即可解答； （4）设，利用平行四边形的性质，分以为对角线，以为对角线，以为对角线三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 则，解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点C关于抛物线对称轴的对称点，连接，交抛物线对称轴于点Q， 则，， 此时取最小值， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 将代入，则， ∴； （3）解：∵P点的横坐标为m， ∴， 过点P作轴的垂线，交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 则 ∴， ∵，且， ∴当时，有最大值，最大值为； （4）解：设， 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 当以为对角线，四边形是平行四边形时，如图： 则，解得， ∴； 综上，存在点E坐标为或或时，以E、A、B、C四个点为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质，熟练运用分类讨论的思想是解题的关键． 3．(1)抛物线解析式为；直线的解析式为 (2) (3)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）可求出，顶点E的坐标为；，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，，可证明当三点共线时，有最小值，即此时有最小值；求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （3）求出点A坐标，进而求出的长，再分，和三种情况，讨论求解即可． 【详解】（1）解：把点B和点D的坐标代入中得， ∴， ∴抛物线解析式为； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴； ∵抛物线解析式为， ∴顶点E的坐标为； 如图所示，作点C关于x轴的对称点G，连接，则，， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点F的坐标为； （3）解：在中，当时，解得或， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则点P的坐标为或； 当时，∵， ∴， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， ∴， 解得， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 4．(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 5．(1) (2)不成立，理由见解析 (3)3 【分析】（1）将，两点代入解析式即可求解； （2）过P作轴,作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接，可推出此时，最小．由翻折可得：，进而得在中， ，最小值为， 最小值为 ，据此即可判断； （3）过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K，设，可推出得，；再证得，；进而得；最后证，即可求解； 【详解】（1）解：∵抛物线过，两点， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； （2）解：不成立．理由如下： 过P作轴， 由题意得：当时，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， 作O关于直线的对称点，连接与交于D，连接， 此时最小． 由翻折可得：， ∴， ∴， 当时，， 解得， ∴． ∴， ∴， 在中， ， ∴最小值为， ∴最小值为 ， ∵， ∴的周长不可能为7； （3）解：过P作轴交于F，过P作轴交于N，过Q作轴交于E，过Q作轴交于K， 设， ∴， ∵轴，． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及了待定系数法、翻折、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 6．(1) (2)四边形是平行四边形，理由见解析 (3)或或 【分析】（1）设抛物线，根据待定系数法，即可求解； （2）先求出直线的解析式为：，设，则，得到，从而求出线段长度最大值，进而即可得到结论； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，交于点，推出，从而得，进而求出，设，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点和，与轴交于点，对称轴为直线， ∴， 设抛物线，把代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设，则，， ∴， ∴当时，线段长度最大， ∴此时，， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，交于点， 由（2）得：， 是的中点， ， 轴， ， 又， ， ， ， 即， 设， 则， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴， 设， 则， ， ， ①当时，， 解得：，则点的坐标为； ②当时，， 解得：或， 则点的坐标为或； ③当时，，无解， 综上所述：点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数与平面几何的综合，涉及解直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，二次函数与特殊三角形，平行四边形的判定等知识点，掌握二次函数的性质以及图像上点的坐标特征，添加辅助线是解题的关键． 7．(1) (2)或 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用正切函数求得，即，推出．得到，设，则，由，得到，分两种情况讨论，或，列式计算即可求解； （3）假设存在．则，过点F作于点H，交于点G，利用面积公式得到，设，得到，利用根的判别式即可判断． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交x轴于点，， ∴设二次函数的表达式为． 将点代入，得，解得． ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，，． ∴，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴． 设，则． ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵点P为线段的三等分点， ∴或，即或． ∴或． ∴点P的坐标为或； （3）解：不存在． 理由：假设在线段上存在点P，使得，则， 连接，如图所示， 则． 过点F作于点H，交于点G， 则 ． ∴． ∵，， 设直线的表达式为，则，解得， ∴直线的表达式为． 设，则，． ∴， 整理，得． ∵， ∴该方程无实数解． ∴假设不成立． ∴在线段上不存在点P，使得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，锐角三角函数，三角形的面积公式，一元二次方程根的判别式．解决问题的关键是转化条件，列出方程． 8．(1)， (2) 【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）因为直线过点A，将A点坐标直接代入解析式即可求得m的值；设出二次函数的顶点式，将代入求解即可； （2）由于P和E的横坐标相同，将P点横坐标代入直线和抛物线解析式，可得其纵坐标表达式，h即为二者之差；根据P、E在二者之间，即可求出x的取值范围． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， ∵二次函数图象的顶点为， ∴设二次函数的表达式为， 把代入得， 解得， ∴； （2）解：∵点的横坐标为，轴， ∴点E的横坐标为x， ∵点E在抛物线上，点P在线段上（点与点不重合）， ∴点E的纵坐标为，点P的纵坐标为，， ∴， 即． 9．(1) (2) (3)存在 ，D点坐标为或 【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式； (2)根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得，根据相似三角形的判定与性质，可得的长，根据二次函数的性质，可得答案； (3)根据正切函数，可得，根据相似三角形的性质，可得，，根据待定系数法，可得的解析式，根据解方程组，可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，解得， ∴； （2）设直线的解析式为， ∵直线过点， 则 解得， 直线的解析式为， 设， 过点D作轴交于M点，如图1， 则， ， ∵轴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ，，， ∴， ， ， 当时，取最大值，最大值是； （3）存在． 假设存在这样的点D，中有一个角与相等， 点F为的中点，， ∴， ，， 过点B作，交的延长线于G点，过点G作轴，垂足为H，如图2， ①若， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ，， ∴， ， 设直线的解析式为， ， 解得 直线的解析式为， 联立， 解得，或（舍）， ∴D点坐标为； ②若， 同理可得， ∴， 同理可得，直线的解析式为， 联立， 解得或（舍）， ∴D点坐标为； 综上所述，存在点D，使得中有一个角与相等，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数综合题，相似三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解(1)的关键是待定系数法，解(2)的关键是利用相似三角形的性质得出的长，又利用了二次函数的性质；解(3)的关键是利用相似三角形的性质得出G点的坐标，利用了待定系数法求函数解析式，解方程组求得横坐标． 10．(1) (2) (3)4 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的综合应用，熟练掌握函数图象的相关性质是解题的关键． （1）把A、B的坐标代入函数解析式，得出方程组，求出方程组的解即可； （2）求出直线的解析式，设点M横坐标为m，根据函数解析式得出点M的坐标为，点N的坐标为，求出n的值，再化为顶点式，即可得出答案； （3）根据的面积等于的面积的一半，求得，在分情况讨论即可求出点P的情况． 【详解】（1）解：抛物线经过点和点， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， 直线的解析式为， 如图，设点M横坐标为m， 则点M的坐标为，点N的坐标为， 又点M、N在第一象限， 线段的长度， 当时，n有最大值，最大值为， n的取值范围是； （3）， ， 的面积等于的面积的一半， ， 设点P的坐标为，当点P在第一象限时， ， ， 解得， 或， 在第一象限内有两个符合条件的点P； 当点P在第二象限时，过点P作轴，则， ， ， 解得， 或， 在第二象限内有一个符合条件的点P，在第四象限内有一个符合条件的点P； 综上所述，这样的点P共有4个． 11．(1) (2) (3) (4)或或 【分析】本题是二次函数综合题型，主要考查了抛物线与x轴的交点问题，待定系数法求二次函数解析式，轴对称确定最短路线问题，平行四边形的对边平行且相等的性质； （1）令，解方程求出、的坐标，再令求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解即可； （2）把函数解析式整理成顶点式形式求出顶点的坐标，即可求解； （3）根据轴对称确定最短路线问题，连接，与对称轴的交点即为所求的点，然后求出直线的解析式，再求解即可； （4）分点在点的左边和右边两种情况，根据平行四边形的对边平行且相等，从点、的坐标关系，用点的坐标表示出点的坐标，然后把点的坐标代入抛物线解析式求解即可． 【详解】（1）解：令，则， 整理得，， 解得，， 所以，点，， 令，则， 所以，点的坐标为， 设直线的解析式为 则， 解得． 所以，直线的解析式为； （2）， 顶点的坐标为， 由（）可得 （3）、关于对称轴直线对称轴， 直线与对称轴的交点即使的周长最小的点， 设直线的解析式为 则， 解得， 所以，直线的解析式为， 当时，， 所以，点的坐标为； （4）直线， 且， ，， 设点的坐标为， 则①若点在轴上方，则点的坐标为， 此时，， 解得 舍去，， 所以，点的坐标为， ②若点在轴下方，则点的坐标为， 此时，， 整理得，， 解得，， 综上所述，点的坐标为：或或 12．(1) (2) (3)1或3 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、二次函数的对称性、一次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及三角形面积的计算，解题的关键是熟练运用待定系数法求函数解析式，结合图形性质（如平行于x轴的点的对称性、垂直辅助线构造直角三角形）转化几何问题，利用面积割补法建立方程求解． （1）将抛物线与x轴交点A、B的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可求出a、b的值，进而确定抛物线解析式； （2）先由抛物线解析式确定C点坐标（与y轴交点）和对称轴；根据轴，利用抛物线对称性得D点坐标，计算长度；再用勾股定理分别求出的长度，三者相加得周长； （3）先用待定系数法求直线的解析式；设D点横坐标为m，结合抛物线和直线解析式表示出D、G（与交点）的纵坐标，计算长度；求出的面积，根据与的面积关系，利用“”列方程，求解得D点横坐标． 【详解】（1）解：将代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图①，由抛物线的解析式可知抛物线对称轴为直线． ∵轴， ∴点D与点C关于直线对称， ∴， ∴． ∵， ∴， ， 过点D作轴于点E， ∵， ∴， ， ∴的周长为； （3）解：如图②，过点D作轴于点F，交于点G， 设所在直线的解析式为， 将代入得解得 ∴所在直线的解析式为， 设，则， ， ∵， ， ，， ，整理得，解得， ∴点D的横坐标为1或3． 13．(1)， (2)点能恰好落在直线，或 (3)点能落在直线上，点P的横坐标为或 【分析】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，旋转与折叠的性质，一次函数的性质，动点坐标的求法； （1）待定系数法求解析式，进而化为顶点式求得顶点坐标； （2）先求得直线的解析式为：，依题意，设，勾股定理分别表示出，根据，建立方程，进而解方程，即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，进而求得点的坐标，根据落在直线上，进而代入直线解析式得出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵已知抛物线经过、 ∴ 解得： ∴ ∵ ∴顶点 （2）解：点能恰好落在直线，理由如下， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线对称轴为直线，对称轴交轴于点， ∴ ∵， ∴， 依题意，设， ∴ 解得：或 ∴当时,，则 当时,，则 综上所述，或 （3）点能落在直线上，理由如下， 如图，过点作轴于，过点作于， ， 由题意知，， ， 由折叠知，，， ∴， ， ，， 设点， ，， ，， 点， 点在直线上， ①， 点在抛物线上， ②， 联立①②解得， 或， 即点的横坐标为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $