二次函数中直角三角形的存在性问题专题提升训练2026年中考数学提分必刷训练

二次函数中直角三角形的存在性问题专题提升训练 1．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且 (1)求抛物线的表达式； (2)若点M是线段上的一动点，连接，求的最小值． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过、两点，抛物线的顶点为． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直角三角形斜边上一动点（点A、除外），过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一个点，使是以为直角边的直角三角形?若存在，直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直角斜边上一动点(点，除外)，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标； (3)在（2）的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，直接写出所有点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过A，B两点，抛物线的顶点为D． (1)求顶点D的坐标； (2)点E是斜边上一动点（点A、B除外），过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E、F的坐标； (3)在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点P，使是以为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图，已知抛物线经过点B（4，0）和点C（0，－2），与x轴的另一个交点为点A，其对称轴与x轴交于点E，过点C且平行x轴的直线交抛物线于点D，连接AD． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断△ABD的形状，并说明理由； (3)P为线段AD上一点，连接PE，若△APE是直角三角形，求点P的坐标； (4)抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△APD是直角三角形，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线经过点，，并交轴于另一点，点在第一象限的抛物线上，交直线于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)当点的坐标为时，求四边形的面积； (3)当的值最大时，求此时点的坐标； (4)若点在抛物线上，在（3）的条件下，当是直角三角形时，直接写出点的横坐标___________． 7．已知在直角坐标平面中，抛物线经过点、两点，抛物线与x轴交于A、B两点． (1)求该抛物线的表达式并写出B点坐标； (2)点P是抛物线上的动点，点P的横坐标为m． ①当时，求P点坐标； ②当点P是抛物线在第一象限内的动点，且是以为斜边的直角三角形，求m的值． 8．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴向下平移（）个单位长度，平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点．求的值； (3)点是抛物线对称轴上一动点，是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，已知抛物线与轴相交于两点，与轴相交于点． (1)直接写出坐标：点___________，点___________； (2)若点为抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求面积的最大值； (3)点是线段上异于的动点，过点的直线轴于点，交抛物线于点．当为直角三角形时，请直接写出点的坐标． 11．如图，已知二次函数经过A，B两点，轴于点C，且点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点E是线段上一动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段的长度最大时，求点E的坐标及； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在这样的P点，使成为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交点，点，与轴交于点，点坐标为． (1)求抛物线解析式； (2)如图①，点是直线下方的抛物线上一点，当的面积为5时，求此时点的坐标； (3)若点为抛物线上一点，连接交轴于点． ①当时，求点的坐标． ②当是以为直角边的直角三角形时，直接写出点的横坐标． 13．已知抛物线，与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求抛物线顶点的坐标，对称轴，并求出的面积； (3)如图，点是第一象限内抛物线上一动点，连接、、，设点的横坐标为． ①当为何值时，的面积最大？并求出最大面积； ②当为何值时，是直角三角形？（直接写出答案） 14．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过点、，已知B点坐标为，点在抛物线上，设点的横坐标为． (1)求抛物线与直线的解析式； (2)如图1，连接，若是直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点在直线下方的抛物线上，过点作，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《二次函数中直角三角形的存在性问题专题提升训练2026年中考数学提分必刷训练》参考答案 1．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】本题考查待定系数法求抛物线的解析式，勾股定理，求线段长的最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）求出点A的坐标，然后把和代入解析式求出b，c的值即可； （2）以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接，即可得到，点C，N，B共线，即可得到当时，最小为，然后根据勾股定理解答即可； （3）设点P的坐标为，表示，，然后分为为斜边，为斜边或为斜边三种情况，利用勾股定理求出m的值解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A在负半轴， ∴点A的坐标为， 把和代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图，以为斜边在y轴的右侧作等腰直角三角形，连接， 则， 又∵，， ∴， ∴, 令，则， 解得或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴点C，N，B共线， ∴当时，最小为， 这时， ∴， ∴， 解得，（负值舍去） 即的最小值为． （3）解：， ∵， ∴对称轴为直线， 设点P的坐标为， 则，， ①当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为或； ②当为斜边时，， 即， 解得， ∴点P的坐标为； ③当为斜边时，， 即， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 2．(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到A，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把A，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把A，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点A，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值， 当时，的最大值为9． ∴，， ∴点，点； （3）存在 ①当时，点的纵坐标为3， 即， 解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即， 解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 3．(1) (2)点，点 (3)存在，，， 【分析】（1）根据，求出的长，进而得到，的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，用含的式表示出、的坐标，求出的长度最大时的值，即可求得、的坐标； （3）分两种情况，和时，分别求得点的坐标，将纵坐标代入抛物线解析式，即可求得点的值． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∴，， 把，代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）∵直线经过点， 设直线的解析式为： 把，代入代入得： 解得：， ∴直线的解析式为： ∵过点作轴的垂线交抛物线于点， 设点横坐标为，点在线段上(点，除外)， ∴点， ∴点横坐标为，点在抛物线上， ∴点， 据图知：点在点上方， ∴， ∵，开口向下，有最大值，当时，的最大值为． ∴，， ∴点，点； （3）①当时，点的纵坐标为， 即，解得：，， ∴，； ②当，点的纵坐标为， 即，解得，（舍去） ∴点， 综上所述，存在点，使是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质和分类讨论思想． 4．(1)(1，4) (2)E(，)，F(，) (3)存在，P点的坐标为(，)或(，)或(，)． 【分析】（1）根据题意可得出A点坐标和B点坐标，再利用待定系数法求出其解析式，最后化为顶点式即可得出其顶点坐标； （2）设直线AB的解析式为y=kx+t，将A与B坐标代入求出k与t的值，确定出直线AB解析式，结合抛物线解析式，设出E与F坐标，两纵坐标相减表示出EF，再利用二次函数的性质即可确定出此时E和F的坐标； （3）分类讨论①当中时和②当中时，根据P点纵坐标与E点纵坐标或F点纵坐标相等，即可求出答案． 【详解】（1）∵，， ∴，A(-1，0)， ∴， ∴B(4，-5)． ∵抛物线经过A，B两点， ∴，解得：， ∴该抛物线解析式为， ∴顶点D的坐标为(1，4)； （2）设直线AB的解析式为， 则，解得： ∴直线AB的解析式为． ∵点E是斜边上一动点（点A、B除外）， ∴可设E(x，-x-1)(-1<x<4)，则F(x，)， ∴， ∴当时，EF有最大值，此时， 即E(，)，F(，)； （3）分类讨论：①当中时，如图点即为此时使以为直角边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴(，)； ②当中时，如图和点即为此时使以为直角边的直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴(，)，(，)； 综上可知，存在一点P，使是以为直角边的直角三角形，P点的坐标为(，)或(，)或(，)． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查坐标与图形，利用待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．利用数形结合的思想是解题关键． 5．(1) (2)直角三角形，见解析 (3)(1，－1)或(，－) (4)存在，( ，－1＋ )，( ，－1－ )，( ，5)，( ，－5) 【分析】（1）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． （2）把点的坐标代入解析式，联立解方程组求解即可． 【详解】（1）∵经过点B（4，0）和点C（0，－2）， ∴， 解得， 故抛物线的解析式为． （2）△ABD为直角三角形.理由如下： 如图①，连接BD， 对于抛物线，令y＝0， ， 得， ∵B(4，0)，   ∴点A的坐标为(－1，0)， ∴抛物线的对称轴为直线x＝ ， ∵CD∥x轴，且点C、D均在抛物线上， ∴点C与点D关于直线x＝对称， ∵C(0，－2)， ∴点D的坐标为(3，－2)， 过点D作DM⊥AB于点M， ∴在Rt△ADM、Rt△BDM中，利用勾股定理可得 ，，， ∴， ∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°． （3） ∵由(2)得BD⊥AD， ∴当PE∥BD时有PE⊥AD， ∵E是抛物线对称轴x＝与x轴的交点， ∴点E是AB的中点， ∴点P是AD的中点， ∴此时点P的坐标为(1，－1)， 如图，当点P是直线与AD的交点时， 有∠AEP＝90°，由A(－1，0)，D(3，－2)得直线AD的解析式 为y＝－x－； 当x＝ 时，有y＝－×－＝－， ∴此时点P的坐标为(，－)， ∴当△APE是直角三角形时， 点P的坐标为(1，－1)或(，－)． （4） ∵点P在直线：x＝上，则设点P的坐标为( ，p)， 如图，由勾股定理得AP²＝( ＋1)²＋p²＝ ＋p²， PD²＝(3－ )²＋(p＋2)²＝＋(p＋2)²， 由题意可得AD²＝20， 当△APD是直角三角形时， ①当∠APD＝90°时，  则AP²＋PD²＝AD²， 即 ＋p²＋ ＋(p＋2)²＝20， 解得p1＝－1＋  ，p2＝－1－ ， 此时点P的坐标为( ,－1＋ )，(   ,－1－ ) ②当∠PAD＝90°时，则AP²＋AD²＝PD²， 即＋p²＋20＝＋(p＋2)²，解得p＝5， 此时点P的坐标为( ，5)； ③当∠PDA＝90°，则PD²＋AD²＝AP²， 即 ＋ (p＋2)²＋20＝ ＋p²，解得p＝－5， 此时点P的坐标为( ，－5)． ∴当△APD为直角三角形时， 点P坐标分别为( ,－1＋ )，(   ,－1－ )，( ，5)，( ，－5)． 【点睛】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，勾股定理及其逆定理，熟练掌握待定系数法，灵活运用勾股定理及其逆定理，抛物线的性质是解题的关键． 6．(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，过点P作轴于E，先求出点B的坐标，再根据进行求解即可； （3）过点P作轴交直线于F，则，进而推出当最大时，有最大值，求出直线的解析式为，设点P的坐标为，则，则，据此求解点P的坐标； （4）分别以P、Q、A为直角顶点三种情况利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：把代入抛物线解析式得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图所示，过点P作轴于E， 令，则， 解得或， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作轴交直线于F， ∴， ∴， ∵是个定值， ∴当最大时，有最大值， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设点P的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，此时点P的坐标为； （4）解：设点Q的坐标为； 当时，如图所示， 过点P作轴于，过点Q作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或（不符合题意）； 当时，如图所示，过点P作轴于，过点Q作轴于， 同理可证， ∴，即， 解得或（不符合题意）； 当时，如图所示，过点Q作轴于，过点P作于， 同理可证， ∴，即， 解得或； 综上所述，点Q的横坐标为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数综合，相似三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 7．(1) (2)①或；② 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，利用待定系数法求解二次函数的解析式，旋转的性质，锐角三角函数的应用，作出符合题意的图形是解本题的关键． （1）运用待定系数法直接解答即可； （2）①过点作轴于，利用可知是等腰直角三角形，即．设，分在轴上方和下方两种情况，分别列方程求解，得到点坐标；②作轴，垂足为．由题意可得，证明，再建立方程求解即可； 【详解】（1）解： 经过点、两点， ， 解方程组得： 抛物线的表达式为： （2）解：①    过点作轴于点，则． ∵， ∴是等腰直角三角形，． 设，则，． 当在轴上方时，，即， 解得或（与点重合，舍去）． 此时， ∴． 当在轴下方时，，即， 解得或（舍去）． 此时， ∴． ②作轴，垂足为． 点在抛物线的图象上，横坐标为， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得，经检验符合题意； 8．(1) (2)有最大值，点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）先求出顶点的坐标，则，设点的坐标为，则，，再分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；根据勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线经过点，，， ，解得． 抛物线的解析式为：； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点． 设直线的解析式为，由题意，得 ，解得， 直线的解析式为：． 设点坐标为，则点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值，此时点的坐标为； （3）解：在轴上存在点，能够使得是直角三角形．理由如下： ， 顶点的坐标为， ， ． 设点的坐标为， ，， 分三种情况进行讨论： ①当为直角顶点时，如图3①， 由勾股定理，得， 即， 解得， 点的坐标为； ②当为直角顶点时，如图3②， 由勾股定理，得， 即， 解得， 点的坐标为； ③当为直角顶点时，如图3③， 由勾股定理，得， 即， 解得或， 点的坐标为或； 综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 9．(1)， (2) (3)存在，或 【分析】此题考查了二次函数与几何综合题，用到了待定系数法求函数解析式、抛物线与一次函数的交点、抛物线的顶点、直角三角形的性质等知识，读懂题意，准确计算是解题的关键． （1）根据待定系数法求解函数解析式即可； （2）先得出平移后的函数表达式，将交点问题转换为方程根的问题，由即可求解； （3）设点的坐标为，用表示、、的长度，对的斜边进行分类讨论，结合勾股定理得出方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：将点，，代入 ， 得，解得， 故抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 当时，， 故点的坐标为． （2）解：假设平移后的函数表达式为， 假设直线所在的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， 故直线所在的函数表达式为， 由于平移后的抛物线与直线恰好只有一个公共点， 即方程仅有一个实数解， 整理得， 故， 解得． （3）解：假设点的坐标为， ∵，，， ∴，，， 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 当为直角的斜边时， ， 即， 解得； 故点的坐标为或． 10．(1)，； (2)； (3)或． 【分析】解方程，可得：，，所以点的坐标是，点的坐标是； 过点作轴，交于点，利用待定系数法求出直线的解析式是，设点的坐标为，可得：点的坐标是，所以，根据三角形面积公式可得：，根据二次函数的性质可以求出面积的最大值； 当为直角三角形时，应分两种情况讨论，一种情况是当时，另一种情况是当时． 【详解】（1）解：解方程， 分解因式可得：， 解得：，， 点的坐标是，点的坐标是； 故答案为：，； （2）解：如下图所示，过点作轴，交于点， 当时，， 点的坐标是， 设直线的解析式为， 把点和点的坐标代入， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点的坐标为， 当时，， 则点的坐标是， ， ， 面积最大值是； （3）解：如下图所示，当时， 则有轴， 点和点关于对称轴对称， 点的坐标是，抛物线的对称轴是， 点的坐标是； 如下图所示，当时，过点作轴， ， ， ，， ， 设，则， 点的坐标是， 可得：， 整理得：， 解得：(与点重合，舍去)，， 当时，， 点的坐标是． 综上所述，点的坐标是或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数关系式、求二次函数的最值、等腰直角三角形的判定、二次函数图象的性质等，学会用坐标差表示线段长是解题的关键． 11．(1) (2)点E的坐标为，； (3)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）先求出点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）先利用待定系数法求出直线的解析式，点，则， 得出，利用二次函数求最值方法进一步求解即可； （3）根据题意，分三种情况①点B为直角顶点；②点A为直角顶点；③点P为直角顶点分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点，， ∴，， ∵， ∴， 把和代入二次函数中得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，∵直线经过点和， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵二次函数， ∴设点，则， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴点E的坐标为； ∴； （3）解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，分三种情况： ①点B为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ②点A为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴； ③点P为直角顶点时，由勾股定理得：， ∴， 解得：或， ∴或； 综上，点P的坐标为或或或． 12．(1) (2)或 (3)①点或；②或 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据二次函数图象与坐标轴的交点的计算得到直线的解析式，设，结合几何图形面积的计算得到，由此即可求解； （3）①根据题意得到或，运用待定系数法得到直线的解析式，联立方程组求解即可； ②根据直角三角形的性质，分类讨论，结合相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点坐标为， ∴， 解得，， ∴抛物线解析式为； （2）解：抛物线解析式为， ∴当时，，则， 当时，，即， 解得，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， ∵点是直线下方的抛物线上一点， ∴设， 如图所示过点作轴，交于点， ∴，， ∴ ， ∵的面积为5， ∴， 整理得，， 解得，， ∴当时，，即， 当时，，即， ∴点的坐标为或； （3）解：①，，连接交轴于点， ∴，则或， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， ， 解得，或（舍去）， ∴； 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 联立方程组得， ， 解得，或（舍去）， ∴； 综上所述，点或； ②如图所示，是以为直角边的直角三角形， 当时，即，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时，，即与点重合，且原方程无意义，不符合题意，舍去； 当时，，即，符合题意； 当时，即，过点作轴于点， ∵， ∴，且， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 整理得，， 解得，，， 当时，，即与点重合，且原方程无意义，不符合题意，舍去； 当时，，即，符合题意； 综上所述，当是以为直角边的直角三角形时，点的横坐标为或． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，二次函数与图形面积的计算，一次函数解析式的计算，二元一次方程组的计算，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 13．(1) (2)抛物线顶点的坐标为，对称轴为，的面积等于3 (3)①当时，的面积最大，最大面积是；②或 【分析】本题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值问题等，熟练掌握相关知识， 并作出适当的辅助线是解题的关键． （1）将点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数求解； （2）将抛物线解析式化为顶点式，可求顶点的坐标，对称轴，过点E作y轴的平行线交于点D， 利用待定系数法求出直线的解析式，进而可求点D的坐标，再利用“铅锤法”求的面积； （3）①设故，过点P作y轴的平行线交于点Q，则，利用“铅锤法”表示出的面积，再求的最大面积； ②先确定，分两种情况，当时，过点P作轴于点F，构造“一线三垂直”，证明， 可得，代入解方程可求出t的值；当时，一样的构造“一线三垂直证三角形相似”，同理可求出t的值． 【详解】（1）将点和点代入抛物线解析式可得， ， 解得， 该抛物线的函数表达式为． （2）抛物线，顶点，对称轴为 如图1，连接，，过点E作y轴的平行线交于点D，则， 当时，，故， 设直线的解析式为， 代入点，可得， 解得， 直线的解析式为． 当时，，故， ， ， 的面积为3． 综上可知，抛物线顶点的坐标为，对称轴为，的面积等于3． （3）①当时，，故 ， 如图2，过点P作y轴的平行线交于点Q，则， ， ． ， 当时，取得最大值． ， 当时，取得最大值，的面积取得最大值． 当时，的面积最大，最大面积是． ②由①知， ， 点P是第一象限内抛物线上一动点， ， 当时，如图3所示，过点P作轴于点F，则， ， ，， 又， ， 又， ， ，即， ， 解得，（舍去）， ． 当时，如图4所示，过点P作轴于点G，过点B作，交反向延长线于点H，则， ，， ， 又， ， ，即， ， 又， 整理得， 解得，（舍去）， ． 综上可知，当或时，是直角三角形． 14．(1)抛物线解析式为，直线解析式为 (2)当为直角三角形时，点的坐标为或 (3)最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式； （2）分两种情况进行讨论，利用相似三角形的判定和性质进行求解； （3）构造相似三角形，表示出相关线段之间的数量关系，利用二次函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：将代入二次函数关系式得， ， 解得， ∴抛物线解析式为， 将代入二次函数关系式， 求得， ∴， 假设直线的解析式为， 将分别代入得， ， 解得：， ∴直线解析式为； （2）解：①当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 当时，， 解得或， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ②当时，如图所示，过点作轴于点， ∴，， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 解得或（舍去）， ∴； ③当时，点在以为直径的圆上， 由勾股定理得， ∴圆的半径为， 由②得，， 由勾股定理得， ∵， ∴以为直径的圆与抛物线无合适的交点， 即此种情况，点不存在，不符合题意； 综上，当为直角三角形时，p点的坐标为或； （3）解：如图，过作轴交于E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 过E作轴交y轴于F， ∴， ∴， ∴， ∴， 假设， ∴， ∴， 又∵， 即， ∵， ∴当时，的最大值为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $