广东省九校联考2025-2026学年高一下学期4月学情调研数学试题

**基本信息** 高一年级4月数学学情调研卷，以复数、向量、解三角形及立体几何为核心，通过基础题与创新题的梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理及几何直观素养，适配期中阶段性评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|复数几何意义、向量共线条件、斜二测画法|第8题向量模长最小值结合圆与直线位置关系，考查直观想象| |填空题|3题/15分|圆柱圆锥体积侧面积关系、测量问题|第13题以大厦测量为情境，体现数学应用意识| |解答题|5题/77分|向量运算、解三角形、正弦定理证明、柯西不等式|第17题用向量法证明正弦定理，第18题结合柯西不等式历史背景，渗透逻辑推理与文化素养|

高一年级4月份学情调研 数学答题卡 学校 班级： 姓名： 正确填涂 准考证号 考场号： 填 ■ 涂范 错误填涂 座位号： 以X I四I①①四0I 语闪 IDDD卫TIDI 刀刀刀2刀刃2刃刀2刃刃2 姓名XXX 考号XXXXXXXXX 3I33333I3I3I3I3 4四4④4四4④4四4四④4I4四 贴条形码区 5]555515]55515 616616161661616161 77 00 7 17 07 777 考场号XX 座位号XX 888888I8I888 99991919191999 缺考 (填涂说明，缺考考生由监考员用2B 标记 铅笔填涂准考证号及左边缺考标记) 选择题（每题5分，共40分） 1 A B CD四 6AIB团MD 2IB图CMD 7 A BI CD 3AIB图CMDI 8 ABIC四DI 4AB图C☑D ■ 5IB图CMD 选择题（每题6分，共18分） ■ 9AIB图四四 10A)B图CD四 ■ 11 A BI CD 非选择题（每题5分，共15分） 12. 13. 14. 请勿在此区域作答 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第1页（共6页） A 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效一 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 版 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 版 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 版 数学第6页（共6页）参考答案及解析 数学 高一年级4月份学情调研 数学参考答案及解析 一、选择题 C∈(0，元)，所以sinC≠0，所以sinC=1→C=受，则 1.B【解折】由短得==i2=一十号。 B=罗-C=晋故选D 其在复平面内对应的点为（一号，号），位于第二象 7.D【解析】因为A0=入AB+(1-λ)AC,所以Aò 限.故选B. AC=A(A官-AC),即CO=λCB,根据向量共线定理 2.A【解析】若存在A∈R,使得a=b,则a,b共线，充 可知Cò与CB共线，所以B,O,C三点共线.因为点O 分性成立；当b为零向量，a为非零向量时，a,b共线， 为△ABC的外心，所以BC为△ABC外接圆的直径， 但不存在A∈R,使得a=b,必要性不成立，所以“a= 则∠BAC=90°，因为BA在BC上的投影向量为子BC, b(λ∈R)”是“a,b共线”的充分不必要条件.故选A. BC 3.C【解析】结合斜二测画法，得到原几何图形是直角 所以IBA|cosB· BCI =子式，则cosB= 梯形ABCD,如图所示， 子1B ,又cosB= 1BAI IBAI ,所以co0sB=子·因为0 <B<90,所以cosB=2,故选D, A D 其中AB=2A'B'=2,BC=BC'=1,所以AC √AB+BC=√A+I=√5.故选C. 4.C【解析】因为DC=2AB,BE=2E式，所以D克 8,A【解析】法一：如图，∠A0x=∠BOx=号， DC+ci-D心+Ci-DC+}(Di-D心)-Dd C(1,0),D(3,0), +号(Di+A苏-D心)=号D心+号D耐+号Ai y个 号心+Di+}D心-=名a+号b.故选C. 5.D【解析】显然球心在圆锥的高所在的直线上，记球 半径为R,由勾股定理得R2=3+(R-3)2,R=2,可 得圆柱的底面半径为R=2,高为2R=4,故其体积V =π×R×2R=16π.故选D. 6.D【解析】由m⊥n,得m·n=0,即√3cosA-sinA 设e的起点为原点，终点为C(1,0),a的起点为原 =0→anA=5,由A∈(0，x),得A=号，因为 点，由题意得a的终点在射线OA:y=√3x或射线 acos B十bcos A=csin C,所以由正弦定理得 OB:y=一√3x上，b的起点为原点，根据向量减法以 sin Acos B+sin Bcos A=sinC,sin (A+B)= 及向量数量积的几何意义知b的终点在以线段CD sinC,又A+B+C=π，所以sinC=sinC,因为 为直径的圆上，所以a一b|的最小值为圆心 1 A版 数学 参考答案及解析 (2,0)到射线OA或射线OB的距离减去半径1，即 对于D,由题得SAAx=S△BD十SACD,即 √3-1.故选A. in经=子asin号十子can号，所以ac=a十 y 法二：设a=(x,y),e=(1,0),b=(m,n),由〈a,e) c,故D正确.故选BCD. =吾得ae=a受，则x=之F+y 11.ABD【解析】对于A,如图，若(a-c)·(b-c)= 所以y=±√3x.由(b-3e)·(b-e)=0,得m2十n2 0,则CA·CB=0,所以CA⊥CB,又a⊥b,所以 -4m十3=0，即(m-2)2十n2=1,所以a-b的最 ∠AOB+∠ACB=π，所以O,A,B,C四点在同一个 小值即为圆心(2,0)到直线y=土√3x的距离减去 圆上，故A正确： 半径1，即√5-1.故选A. 二、选择题 9.CD【解析】对于A,-2=2-i-(3+4i)=-1 一5i,其虚部为-5，故A错误；对于B,=2十i, |x1|2=x1·1=|1|2=5,7=(2-i)2=4-4i十 =3-4i≠5，故B错误：对于C,因为号一41十5=3 -4i-4(2-i)十5=3-4i-8+4i十5=0，所以在复 数范围内，1是方程x2一4x十5=0的根，故C正确； 对于B,若(a一c)·(b-c)=0,由A选项知O,A, 对于D,设之=x十yi,x,y∈R,由|x-2|=1,得 B,C四点在同一个圆上，因为|c=|OC|,所以其 (x-3)+(y-4)2=1,则在复平面内点(x,y)的 长度为圆上弦的长度，当线段OC为该圆的直径时， 轨迹为以点(3,4)为圆心，1为半径的圆，~|的几何 |c|最大，且最大值为|AB|=√a+b下= 意义为点(x,y)到原点的距离，由圆心(3,4)到原点 √瓦，故B正确；对于C,由题可得A,B,C均在以O为 的距离为5，得|z的最大值为6，故D正确.故 选CD. 圆心，1为半径的圆上，设OA=(cosa,sina),O元= 10.BCD【解析】对于A,因为acos A=bcos B,由余弦 (cosB,sinB),又OA上O,不妨设Oi= 定理得aG+ca=b(a+C-),所以 (cos(Ξ+a）sin(受+a)）=(-sine,cosa),其 2bc 2ac a2(b2十c2-a2)=6(a2十c2-b),整理得(a2 中a,B∈[0,2π)，所以(a-c)·(b-c)= b2)(a2十-c2)=0,所以a=b或a2+=c2,所以 (Oi-O心)·(Oi-OC)=(cosa-cosB)· △ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对 (-sin a-cos B)(sin a-sin B).(cos a-sin B) 于B,若△ABC为锐角三角形，则A十B>受，所以0 =sin acos B-sin Bcos a-(cos acos B++sin asin B)+ 1=sin (a-B)-cos (a-B)+1=1+2sin(a-B- <受-B<A<受，因为正弦函数y=sinx在 (o,罗)上单调递增，所以sinA>sin（罗-B） 平)<1+厄，-2x<a-<2,放当a-日=或 cosB,故B正确；对于C,如图，若△ABC有两解，则 要时取等号，所以a-c)·(b-c)的最大值为1十 asin B-<b<a,所以3<b<2√3，故C正确； √E,故C错误；对于D,结合C选项，由c=xa十b (x,y∈R),得 cos B=xcos a-ysin a ,又|c|=1, sin B=xsin a+ycos a 所以(xcos a-ysin a)2+(xsin a十ycos a)2=1,即 cos'a+sin'a)+y cos'a+sin'a)-2xycos asin a 十2 rycos asin a=1,即x2+y2=1,则由(x十y)2= x2+y2+2xy≤2(x2十y2)=2,得x十y≥-√2，当 ·2 A版 参考答案及解析 数学 =-3. (5分) 且仅当x=y= 号时取等号，所以x十y的最小值 (2)夹角为钝角需满足m·n<0且m与n不反向共 为一√2，故D正确.故选ABD. 线， (6分) 三、填空题 m·n=3xle1|2+(3-λ)e1·e2-|e| 【解析】设圆柱与圆锥的底面半径分别为R,, =3+3,2-1=1十1 2 21 (9分) 母线长分别为L,山，高均为九，由题意得Rh 由m·n<0得入<一方： 1 由(1)可知，当m与n共线时，λ=一3， (11分) 即，化简可得=故答 2πRL)2 πrl 所以当m与n不共线时，入≠一3，所以入的取值范围 3 为(-©，-3)U(-3,-号) (13分) 案为 16.解：(1)，asin(A+B-C)=csin(B+C), 13.60【解析】在△ABC中，∠BAC=45°，∠ABC= ∴.由正弦定理得sin Asin(π-2C)=sin Csin A, 90°，BC=40m,所以AC=40√2m.在△AMC中， (2分) ∠MAC=75°，∠MCA=60°，所以∠AMC=45°，由 0<A<π， 正弦定理得sn/AMCn/MCA,所以02、 AC AM ∴.sinA≠0， ∴.sin2C=sinC, 2 即2 sin Ccos C=sinC, (5分) AM,则AM=403m,则在Rt△AMN中，MN= 0<C<π， 2 ∴.sinC≠0， AMsin∠MAV=60m.故答案为60. f0s C 14.5y2-3 2 【解析】由余弦定理可得2S=+2 C=罗 (7分) 2 bccos A-(b-c)2=2bc(1-cosA),因为S= 1 之ksnA,所以esin A=2k(1-sA),所以 (2)S△Bc= absin C-5,C=号， .ab=4, sinA=2(1-cosA),又A∈(0，)，且simA+ (a=2.Ja=1 又2a+b=6,得 或《 (10分) c0sA=1,可得c0sA=号因为a2+8=2S,所以t 6=216=4 =ab+c2-2bccos A+b2 若a=2,b=2,则△ABC为等边三角形，其周长为6： 2S 2bc (1-cos A) (12分) 2b2+c2-2 bccos A.、22bc-2 bccos A_√E-cosA 若a=1,b=4,则c=√a+b-2 abcos C=√13， 2bc(1-cos A) 2bc(1-cos A) 1-cos A 此时△ABC的周长为5+√13 (14分) =3,当且仅当2=，即c=E6时等号成 2 综上，△ABC的周长为6或5+√/I3. (15分) 立，所以：的最小值为5巨-3，故答案为5巨-3 17.解：(1)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的 2 2 比相等， 四、解答题 即a b C (2分) 15.解：(1)由m与n共线，设m=kn, sin A-sin B sin C 即Ae1十e2=3ke1-ke2. (3分) (2)如图，在锐角△ABC中，过点A作与AC垂直的 由e1,e2不共线，得λ=3k且1=-k,解得k=-1,入 单位向量j, ·3· A版 数学 参考答案及解析 则j与A的夹角为受-A,j与C方的夹角为 -C, )=ccos 0仍然成立， (15分) 18.解：(1)因为2 sin Asin Bsin C=√5(sinB+sinC- (3分) sin2A), 所以由正弦定理得2 bcsin A=√3(b十c2-a2), 则nA=后.+a-=5osA, (2分) 2bc 所以tanA=√3， 又A∈(0，)，所以A=于 (4分) 因为AC+C弦=AB, 所以j·(AC+CB)=j·AB, (2)(i)设a=(x,y1),b=(x2,y2), 由a·b=|a||b|cos(a,b>,得|a·b|≤|al|b|, 由分配律得j·AC+j·CB=j·AB (5分) 所以|x1x2十yy2|≤√x+y·√x+, 即IjI|A花cos乏+lj1 Icos(乏-C) 即(x1x2十y1y2)≤(x十y)(x十y).(8分) =1j11A1cos(受-A), (DT部+鉴+祭而+是+品 也即asin C=csin A, 4a2 62 -e·PD十a·PEb·PFi (9分) 所以AiC (7分) 如图， 同理，过点C作与C3垂直的单位向量m,可得sB D =-c sin C' 因此ABC b C (8分) (3)如图，在△ABC中，A言+BC+CA=0.(9分) 1 1 S△PAB= 乞c·PD,SaBc= a·PE, Same-PF. 因为S△PAB十S△PBC十S△PMC=S△ABC, 所以c·PD十a·PE+b·PF=2S△ABc. (10分) 由三维分式型制西不等式得T=。D十十 设单位向量n= DE b2 (b+c十4)2_2(b+c+4)2 DE b·PF 2S△BC √3bc 则n·(Ai+BC+CA)=0, 2 即n·AB+n.BC+n.CA=0. 当且仅当而元=序，即PE=2PD=2PF时等 (10分) 号成立 (12分) 过点D作BC的平行线， 则n·BC=|BC|cos(B-0)=acos(B-), 由余弦定理得a2=B十c2-2 bccos A, n·AB=|AB|cos(π-)=-ccos0, 则4=B+c2-bc, 所以(b+c)2-4=3bc, n·CA=|CA|cos(A+8)=bcos(A+8),(13分) 所以-ccos0+acos(B-)+bcos(A十8)=0， 则x=b十c)-4 3 acos(B-0)+bcos(A+0)=ccos 0, (14分) 所以T≥2(6+c+4)2_23(6+c+4) 当0为零角、直角、钝角时，acos(B-)十bcos(A十 √3bc (b+c)2-41 ·4· A版 参考答案及解析 数学 23t 2W5 令t=b十c+4,则T≥40-4卫-8+1 的图象，如图所示， t (14分) y=-sin平x y=h(x) 由 jc-+g4<(空) 3 b+c>a=2 得2<b十c≤4，当且仅当b=c时等号成立， 所以6<8，则g<< (15分) 结合图象可知，方程h(x)十f(x十否)=0， 因为y=华-8+1=12（日-号）广-号在 +2 x∈(0,8)根的个数为3， (11分) 因为2026=8×253+2， [宫，言)上单测递减， 所以当x∈(0,2026)时，方程根的个数n=253×3 所以当日，即6=：=2时y取得最大值品， +1=760. (12分) (13分) 则T的最小值为2 ()g(sin牙)<号 (17分) 19.解：(1)因为Op=(1,2), 令m(x)=lnx十sin平x,x∈(0,2)， 所以op=e+2e, (1分) 则n(分)=-ln2+sin吾， 因为e·e=2,ei=6=1, 因为sm吾<吾=子h2=n4>ne 所以op2=(e+2e,)2=e+4e1·e2+4e =1十2+4=7， 所以o=7 (3分) 所以n(2)0, (14分) (2)因为a=(x1,y),b=(x2,y), 所以a=x1e1十Me2,b=xe1+y2e2, (4分) 又n)竖>0， 所以a·b=(xe1+ye2)·(x2e1十y2e) =x1x2e+(1十x2y)e1·e2+y1ye吃 所以m(分)m1)<0, =十为十之（为十y),故得证. (6分) 则由零点存在定理可得存在x∈（号，1），使得 (3)(i)由(2)得f(x)=a·b=sin2x-3cos2x+ m(x1）=0, (15分) 2W5cos2r-sin2x)=sin(2x-号）， 由(i)可知s(sin平z)=g(-ln)=e+ 所以f(答x+晋)=sim[2(gx+晋)-号] ch=1+ (16分) =sinx. (8分) 因为y=十在∈（分，1）上单调递减， 由h(x)+f(号x+否)=0，得h(x)=-sin平x, π 所以+x∈(2，号)，即g(sin于)e(2,号)）， 函数y=-sin平x的最小正周期T-2红=8， 所以g(sin平)<号 (17分) 4 作出函数y=h(x)与y=一sin平x在x∈(0,8)内 ·5· A版 1 A版 2 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考 证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 铅笔把答题卡上对应题 目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无 效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 数 学 A版 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知复数满足，则 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 [解析] 由题得 ，其在复平面内对应的点为 ，位于第二象限.故选B. √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4 2.已知平面向量,，则“”是“, 共线”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [解析] 若存在，使得，则,共线，充分性成立；当 为零 向量，为非零向量时，,共线，但不存在，使得 ，必要 性不成立，所以“”是“, 共线”的充分不必要条件.故选A. √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5 3.如图，梯形是平面图形 用斜二 测画法得到的直观图， ，则平 面图形的对角线 的长度为( ) A. B. C. D.5 [解析] 结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形 ，如图所示， 其中， ，所以 .故选C． √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 4.如图，在四边形中，，，设 ， ，则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为,，所以 .故选C. √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 5.已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为 ，高为3的圆锥的外接 球，则该圆柱的体积为( ) A. B. C. D. [解析] 显然球心在圆锥的高所在的直线上，记球半径为 ，由勾股定理 得，，可得圆柱的底面半径为 ，高为 ，故其体积 .故选D. √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 6.已知的内角,,的对边分别为,,，向量 , ，若，且，则角 的大 小为( ) A. B. C. D. [解析] 由，得，即 ， 由，得，因为 ，所以由正弦定 理得，即 ，又 ，所以，因为，所以 ， 所以，则 .故选D. √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 7.已知点为的外心，，，若 在 上的投影向量为，则 的值为( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 ，即 ，根据向量共线 定理可知与共线，所以，，三点共线.因为点为 的外 心，所以为外接圆的直径，则 .因为在 上的 √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 投影向量为 ，所以 ，则 ，又 ，所以，因为 ，所 以 .故选D. 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8.已知，，为平面向量，为单位向量．若非零向量与的夹角为 ， 且，则 的最小值为( ) A. B. C.2 D. √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 12 [解析] 法一：如图，,, ， 设的起点为原点，终点为， 的起点为原点，由 题意得的终点在射线 或射线 上， 的起点为原点，根据向量减法以及 向量数量积的几何意义知的终点在以线段 为直径的圆上，所以 的最小值为圆心到射线或射线 的距离减去半径1，即 .故选A. 法二：设,,，由, ，得 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 13 ，则，所以 .由 ，得，即 ， 所以的最小值即为圆心到直线 的距离减去半径1， 即 .故选A. 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选 项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分 分，有选错的得0分. 9.已知复数, ，则下列说法正确的是( ) A.的虚部为 B.记的共轭复数为，则 C.在复数范围内，是方程 的根 D.若复数满足，则 的最大值为6 √ √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 15 [解析] 对于A，，其虚部为 ，故 A错误；对于B，， ， ，故B错误；对于C，因为 ，所以在 复数范围内，是方程 的根，故C正确；对于D，设 ，,，由，得 ，则在复 平面内点的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆， 的几何意义 为点到原点的距离，由圆心到原点的距离为5，得 的最大值 为6，故D正确.故选 . 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 16 10.已知的内角,,的对边分别为,, ，则下列说法正确的是 ( ) A.若，则 一定为等腰三角形 B.若为锐角三角形，则 恒成立 C.若,，且有两解，则的取值范围为 D.若,的平分线交于点,，则 √ √ √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 17 [解析] 对于A，因为 ，由余弦定理得 ，所以 ，整理得 ，所以 或 ，所以 为等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于 B，若为锐角三角形，则，所以 ，因 为正弦函数在 上单调递增，所以 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18 ，故B正确；对于C，如图，若 有两解， 则，所以 ，故C正确； 对于D，由题得 ，即 ，所以，故D正确.故选 . 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 11.已知，，是互不相等的非零平面向量，其中， 是互相垂直的单 位向量，且，记，， ，则下 列说法正确的是( ) A.若，则，，， 四点在同一个圆上 B.若，则的最大值为 C.若，则的最大值为 D.若，则的最小值为 √ √ √ 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 [解析] 对于A，如图，若 ，则 ，所以，又 ，所以 ，所以，，， 四点在同一个圆 上，故A正确； 对于B，若，由A选项知，，， 四点在同一个 圆上，因为，所以其长度为圆上弦的长度，当线段 为该圆 的直径时，最大，且最大值为 ，故B正确； 对于C，由题可得，，均在以 为圆心，1为半径的圆上，设 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 21 ,，又 ，不妨设 ，其中 , ，所以 ， ，故当或 时 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 取等号，所以的最大值为 ，故C错误；对于D， 结合C选项，由，得 ，又 ，所以，即 ，即 ，则由 ，得 ，当且仅当时取等号，所以 的最小值为 ，故D正确.故选 . 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方， 则圆柱与圆锥的母线长之比为_ __． [解析] 设圆柱与圆锥的底面半径分别为，，母线长分别为， ，高均 为，由题意得，即，化简可得 .故答案 为 . 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 24 13.如图，为了测量某大厦的高 ，选择地面上一点 和另一栋楼的楼顶为测量观测点.从点测得 点的 仰角 ，点的仰角 , ，从点测得 .已知楼高 ，则大厦的高____ . 60 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 25 [解析] 在中， , , ，所以 .在中， , ，所以 ，由正弦定理得，所以 ，则 ，则在中， .故答案 为60. 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 26 14.已知锐角的内角，，的对边分别为，，， 的面 积满足，若，则 的最小值为_ _____. 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 27 [解析] 由余弦定理可得 ，因为 ，所以，所以 ， 又，且，可得，因为 ， 所以 ，当且仅当 ， 即时等号成立，所以的最小值为.故答案为 . 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 28 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明， 证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分） 已知平面向量，，其中，是夹角为 的单位向量. （1）若与共线，求 ； 解：由与共线，设 ， 即 .（3分） 由,不共线，得且，解得， .（5分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 29 （2）若与夹角为钝角，求 的取值范围. 解：夹角为钝角需满足且与 不反向共线，（6分） .（9分） 由得 ， 由（1）可知，当与共线时， ，（11分） 所以当与不共线时，，所以 的取值范围为 .（13分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 30 16.（本小题满分15分） 记的内角，，的对边分别为，， ，已知 . （1）求角 的大小； 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 31 解： ， 由正弦定理得 ，（2分） , ， ， 即 ，（5分） , ， ， .（7分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 32 （2）若，且的面积为，求 的周长. 解：, ， ， 又，得或 .（10分） 若,，则 为等边三角形，其周长为6；（12分） 若,，则 ， 此时的周长为 .（14分） 综上，的周长为6或 .（15分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 33 17.（本小题满分15分） （1）叙述正弦定理； 解：在一个三角形中，各边和它所对角的正 弦的比相等， 即 .（2分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 34 （2）用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； 解：如图，在锐角中，过点作与 垂 直的单位向量 ， 则与的夹角为，与的夹角为 ， （3分） 因为 ， 所以 ， 由分配律得 ，（5分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 35 即 ， 也即 ， 所以 .（7分） 同理，过点作与垂直的单位向量，可得 ， 因此 .（8分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （3）类比上述方法，解决以下问题：如图，直线与的边 ， 分别相交于点，，设,,, ，试用向 量方法证明： . 解：如图，在中，． （9分） 设单位向量 ， 则 ， 即 .（10分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 37 过点作 的平行线， 则 ， ， ，（13分） 所以 ， 则 ，（14分） 当 为零角、直角、钝角时， 仍然 成立. （15分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 18.（本小题满分17分） 记的内角，，的对边分别为，， ，已知 . （1）求 ； 解：因为 ， 所以由正弦定理得 ， 则 ，（2分） 所以 ， 又，所以 .（4分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 39 （2）奥古斯丁．路易斯．柯西，1789年 年 是法国著名的数学家，在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定 理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式，其中柯 西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用． 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 40 （ⅰ）用向量法证明二维柯西不等式： ； [答案] 设, ， 由,，得 ， 所以 ， 即 .（8分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 41 （ⅱ）已知三维分式型柯西不等式：,, , ，当且仅当时等号成立．若, 是内一点，过点分别作,,的垂线，垂足分别为,, ， 求 的最小值． 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 42 [答案] .（9分） 如图， , , ， 因为 ， 所以 . （10分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 43 由三维分式型柯西不等式得 ， 当且仅当，即 时等号成立.（12分） 由余弦定理得 ， 则 ， 所以 ， 则 ， 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以 ， 令，则 . （14分） 由 ， 得，当且仅当 时等号成立， 所以，则 ，（15分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为在 上单调递减， 所以当，即时，取得最大值 ， 则的最小值为 .（17分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.（本小题满分17分） 如图，设，且，当 时，定义平面坐标系为 的斜坐标系．在 的斜 坐标系中，任意一点的斜坐标这样定义：设 ， 分别为与,正方向同向的单位向量，若 ，则 ．在 的斜坐标系中． 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 47 （1）若，求 ； 解：因为 ， 所以 ，（1分） 因为, ， 所以 ， 所以 .（3分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 48 （2）若向量， ，证明： ； 解：因为, ， 所以, ，（4分） 所以 ，故得证.（6分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 49 （3）已知向量，的斜坐标分别为，， ， 设函数，， ，若 方程,的实数根从小到大依次为 , , . （ⅰ）求 ； 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 50 [答案] 由（2）得 ， 所以 .（8分） 由，得 ， 函数的最小正周期 ， 作出函数与在 内的图象，如图所示， 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 51 结合图象可知，方程, 根的个数为3， （11分） 因为 ， 所以当时，方程根的个数 .（12分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 （ⅱ）比较与 的大小，并说明理由．（参考数据： ， ） [答案] .（13分） 令, ， 则 ， 因为, ， 所以 ，（14分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 53 又 ， 所以 ， 则由零点存在定理可得存在，使得 ，（15分） 由（ⅰ）可知 ， （16分） 因为在 上单调递减， 所以，即 ， 所以 .（17分） 数 学 A版 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 $理数 序号 题号 试题形式 LBDZ: 试题形式：主观题和客观题 题型 分值 题型 知识模块 知识点 认知水平 核心素养 预计难度 1 1 客观题 选择题 5 单选题 复数 复数在坐标内的位置 掌握 逻辑推理 易 2 2 客观题 选择题 5 单选题 平面向量及其应用 共线判断 掌握 数学运算 易 3 3 客观题 选择题 5 单选题 立体几何初步 斜二测求长度 掌握 数学运算 逻辑推理 易 4 4 客观题 选择题 5 单选题 平面向量及其应用 平面向量基本定理 掌握 数学运算 易 5 5 客观题 选择题 5 单选题 立体几何初步 正余弦求角 理解 数学运算 中 6 6 客观题 选择题 5 单选题 平面向量及其应用 求抛物线的p值 理解 数学运算 中 7 7 客观题 选择题 5 单选题 平面向量及其应用 求数列的前n项和 理解 数学运算 逻辑推理 中 8 8 客观题 选择题 5 单选题 平面向量及其应用 比较函数的大小关系 理解 数学运算 逻辑推理 难 9 9 客观题 选择题 6 多选题 复数 统计的综合应用 掌握 数学运算 数据分析 易 10 10 客观题 选择题 6 多选题 平面向量及其应用 单位向量的应用 掌握 数学运算 逻辑推理 中 11 11 客观题 选择题 6 多选题 平面向量及其应用 三角形的值、定义域值域求解 理解 数学运算 逻辑推理 难 12 12 客观题 选择题 5 填空题 立体几何初步 求三棱柱的高 掌握 数学运算 易 13 13 客观题 填空题 5 填空题 平面向量及其应用 真假命题的范围求解 掌握 数学运算 数据分析 中 14 14 客观题 填空题 5 填空题 平面向量及其应用 二项式定理的应用 理解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难 15 15 客观题 填空题 13 解答题 复数 三角形中的几何计算 掌握 数学运算 数据分析 易 16 16 客观题 填空题 15 解答题 平面向量及其应用 用空间向量求线面垂直与二面角的正弦值 掌握 数学运算 数据分析 中 17 17 主观题 解答题 15 解答题 平面向量及其应用 求切线、最值 理解 数学运算 逻辑推理 直观想象 中 18 18 主观题 解答题 17 解答题 平面向量及其应用 直线与方程、圆锥曲线的综合 了解 数学运算 逻辑推理 难 19 19 主观题 解答题 17 解答题 平面向量及其应用 概率在现实生活中的应用 了解 数学运算 逻辑推理 数据分析 难 $高一年级4月份学情调研 数学参考答案及解析 三、填空题 12.5【解析】设圆柱与圆锥的底面半径分别为R,,母线长分别为工1，高均为h,由 2 πR2h -2πRL）2 R24RL ),即，，平，化简可得=5故答案为 12 2 13.60【解析】在ABC中，∠BAC=45°，∠ABC=90°，BC=40m,所以AC=40√2m.在 △AMC中，∠MAC=75°，∠MCA=60°，所以∠AMC=45°.由正弦定理得 402 AM sin∠AMC=sin 2∠ACM,所以V2V5,则AM=40NBm,则在Rta4MN中， AC AM 2 2 MN=AM sin∠MAN=60m.故答案为60. 14.5V5-3【解析】由余弦定理可得2S=b2+c2-2 bccosA--(b-c2=2bc(1-cosA到，因为 2 S=csn4,所以cm4=2l-cos,所以n4=2-cm4,又4e0引且 sin2A+c0s2A=1,可得c0sA=，因为42+62=2s ，所以 +b+c-2bccosA+b2+-2bccosA 2bc-2bccosA -c0sA 2bc(1-cosA) 2bc(1-cos A) 2bc(1-cos A) 1-cos A _2-3,当且仅当26=，即c=b时等号成立，所以t的最小值为5N5-3.故答案 2 2 为52-3 2 四、解答题 15.解：(1)由m与n共线，设m=km, 即e1十e2=3ke1-ke.(3分) 由e,e2不共线，得2=3k且1=-k,解得k=-1,1=-3.(5分) (2)夹角为钝角需满足m·n<0且m与n不反向共线，(6分) m·n=3e,+rcV(alvs4 alcol(3-)e·e2-le2 =t2-180别 由m·0得元<一亏 1 由(1)可知，当m与n共线时，元=-3，(11分) 所以当网与a不线时，文子-3，所以五的取位周为-，一U(3-写)03州 16.解：(1)asin(A+B-C)=csin(B+C), .由正弦定理得sin Asin(π-2C)=sinCsinA ,(2分) 0<A<π，.sinA≠0，sin2C=sinC, 即2 sin C cosC=sinC,(5分) 0<C<元，.sinC≠0cosC=2 1 C=π 7分) 2）:sac=absin C=5.c=号 1 ab=4, a=2a=1 又2a+b=6,得 或 1b=2b=4 (10分) 若a=2,b=2,则△ABC为等边三角形，其周长为6；(12分) 若a=l,b=4,则c=Va2+b-2 abcosC=√3 此时△ABC的周长为5+V13.(14分) 综上，△ABC的周长为6或5+V3.(15分) 17.解：(1)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， a b 即sin A sin B sinC.(2分) (2)如图，在锐角ABC中，过点A作与4C垂直的单位向量j, 则7与丽的夹角为号4，与C西的夹角为5-C,(3分) 因为AC+CB=AB,所以j·(AC+CB)=j·AB, 由分配律得j·AC+jCB=j.AB,(5分) 即o子+eos任-c小-eo}-4, 也即a sin C=csin A, 所以a=c.7分) sin A sin C 同理，过点C作与CB垂直的单位向量m,可得b。C sinB sinC' b 因此品A8C·（8分 (3)如图，在ABC中，AB+BC+CA=0.(9分) R DE 设单位向量n= DE 则n:(AB+BC+CA=0,即n.AB+nBC+n.CA=0.(10分) 过点D作BC的平行线， nBC BC cos(B-0)=a cos(B-0), n.4B=4B cos(x-0)=-ccos0, n.C4=C4cos(4+0)=bcos(4+0),(13) 所以-cc0s0+ac0s(B-0)+bc0s(A+0)=0, 则ac0s(B-0)+bc0s(A+0)=cc0s0,(14分) 当O为零角、直角、钝角时，acos(B-0)+bc0s(A+0)=ccos0仍然成立.(15分) 18.解：(1)因为2 sinAsinBsinC=V3sin2B+sin2C-sin2A), 所以由正弦定理得2 besin4=V5(b2+c2-a2), 则sinA=5.+c-a=5cosA,(2分) 2bc 所以tanA=√3， 3 又A∈(0，，所以A=元.(4分) 3 (2)(i)设a=(x,y),b=(x2,y2), 由a-i=cos(a,.,得a.ls, 所以xx+yy2≤Vx+V+, 即(xx2+2)≤+)x号+y).(8分) 、c2 ()T=4B+4BC+AC=c+4a+b +4a2b2 .(9分) PD PE PF PD'PE'PFc·PD'a·PE'b·PF 如图， B D Sw2c-fn.Sc=a-PE,SnE=b:pF. 1 因为SPAB+SPBC+S.PHC=SABC, 所以cPD+a·PE+b:PF=2S.HC,(10分) 由三维分式型柯西不等式得T= -+4×4+6≥b+c+4_2b+c+4 c·PDa·PE'b·PF 2S。ABC √3bc 当且仅当1=2.1 ,即PE=2PD=2PF时等号成立.(12分) PD PE PF 由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc0sA, 则4=b2+c2-bc, 所以(b+c)2-4=3bc, 则bc=b+c2-4 3 所以T≥26+c+42_2V3b+c+4 3bc (b+c)2-41 2W322V3 令1=6+c+4,则72a4-428+ .(14分) +1 b+c)2-4 由 be= b+c>a=2 得2<b+c≤4，当且仅当b=c时等号成立， 所以6<1≤8，则三 1<1, (15分) ”8t6 所以当=1， 8即6=c=2时，y取得最大值 6 则T的最小值为325.（17分) 3 19.解：(1)因为0p=(1,2),所以0p=e+2e,(1分) 因为65-6’-1， 所以0P=(6+20=e+4e6+4e=1+2+4=7, 所以OP=万.(3分) (2)因为a=(x1,y),b=(2,y2), 所以a=xg+y6,i=x2g+y2,(4分) 所以ab=(xe+yg)xe+y,6 =69+(xy+xy)86+6 =,++2(x+x),故得证.(6分) (3)0由(2)得f刘=a-6=sim2r-5cos2x+5co2x-sim2x)=sn2x-. 所以货+引m食哥引周m子s 由传+引-0，=经 函数y=-sin无x的最小正周期了 2元-8 π 作出函数y=h(x)与y=-sin工x在x∈(0,8)内的图象，如图所示， A -sin牙 = 结合图象可知，方程h(x)+f 6 =0,x∈(0,8)根的个数为3，(11分) 因为2026=8×253+2， 所以当x∈(0,2026)，方程根的个数n=253×3+1=760.(12分) .(13分) 令m()=lmr+sim4,r∈(0,2， 则m2 1 -n2+sn 因为sing<si π1 8 6 2 .In2 =-In4>Ine= 2 所以 <0,(14分) 又m(= >0,所以 (o. 则山零点存在定理可存在？少· 使得m(x)=0,（15分) 由（①可知g sin=g-Hnx)=es+e=1+x,(16分） 4 1 因为y= +x1在x1∈ 上单调递减， 所以 所以em)小分》高一年级4月份学情调研 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的， 1.已知复数之满足x(2一)=i,则之在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知平面向量a,b,则“a=b(入∈R)”是“a,b共线”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如图，梯形A'B'C'D'是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A'B'=B'C'=1,则平面图 形ABCD的对角线AC的长度为 A.√2 B.√3 C.√5 D D.5 4.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB,BE=2EC,设DC=a,DA=b,则DE B.号a+2b cga+号b 号a+ 5.已知一圆柱有内切球，该球为一底面半径为√3，高为3的圆锥的外接球，则该圆柱的体积为 A.2π B.4π C.8π D.16π 数学第1页（共4页） 6.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(3,一1)，n=(cosA,sinA),若 m⊥n,且acos B+bcos A=csin C,则角B的大小为 A. B晋 C. D 7.已知点O为△ABC的外心，A0=AA店+(1-)AC,A∈R,若Bi在BC上的投影向量为BC,则 cosB的值为 A号 R号 C.26 5 0.2 8.已知a,b,e为平面向量，e为单位向量.若非零向量a与e的夹角为，且(b-3e)·(b-e)=0, 则a-b的最小值为 A.√3-1 B.√3+1 C.2 D.2-√3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数1=2一i,2=3十4i,则下列说法正确的是 A.1一z2的虚部为一5i B.记1的共轭复数为之1，则=之12=之1·1=12 C.在复数范围内，之1是方程x2一4x十5=0的根 D.若复数之满足z一2|=1，则z的最大值为6 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是 A.若acos A=bcos B,则△ABC一定为等腰三角形 B.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB恒成立 C.若B=否，a=23,且△ABC有两解，则b的取值范围为(3,2B) D.若∠ABC=牙，∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1,则a十c=ac 11.已知a,b,c是互不相等的非零平面向量，其中a,b是互相垂直的单位向量，且c=xa十b (x,y∈R),记OA=a,OB=b,OC=c,则下列说法正确的是 A.若(a一c)·(b-c)=0,则O,A,B,C四点在同一个圆上 B.若(a-c)·(b一c)=0,则c的最大值为√2 C.若c=1,则(a一c)·(b-c)的最大值为+1 D.若c=1,则x+y的最小值为-√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥的母线长 之比为 数学第2页（共4页） A版 13.如图，为了测量某大厦的高MN,选择地面上一点A和另一栋楼的楼顶C为测量观测点.从A 点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠BAC=45°，∠MAC=75°，从C点测得∠MCA =60°.已知楼高BC=40m,则大厦的高MN= m. M 14.已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积S满足2S=a2-(b-c)2, 若a2+b=2tS,则t的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 已知平面向量m=e1十e2,n=3e,一e2,其中e1,e2是夹角为的单位向量. (1)若m与n共线，求； (2)若m与n夹角为钝角，求入的取值范围. 16.(本小题满分15分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asin(A+B-C)=csin(B+C). (1)求角C的大小； (2)若2a+b=6,且△ABC的面积为√3，求△ABC的周长. 17.(本小题满分15分) (1)叙述正弦定理； (2)用向量法证明正弦定理（以锐角三角形为例）； (3)类比上述方法，解决以下问题：如图，直线1与△ABC的边AB,AC分别相交于点D,E,设 AB=c,BC=a,AC=b,∠ADE=0,试用向量方法证明：acos(B-0)+十bcos(A+0)=ccos0. 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 sin Asin Bsin C=√3(sinB+sinC-sinA). (1)求A: (2)奥古斯丁.路易斯.柯西(Augustin Louis Cauchy,1789年-1857年)是法国著名的数学 家，在数学领域有非常高的造诣，很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯 西积分公式，其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. (1)用向量法证明二维柯西不等式：(x1x2十y1y2)2≤(x+y)(x十y); (i)已知三维分式型柯西不等式：M,2,5∈R,++≥+十》，当且仅当 y1 y2 y3 yi+y2+y3 ==时等号成立.若a=2,P是△ABC内一点，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别 V2 V3 为D,E.F求T8++S的最小值 19.(本小题满分17分) 如图，设a∈(0，元)，且a≠，当∠xOy=a时，定义平面坐标系为a的斜坐标系.在a的斜坐标 系中，任意一点P的斜坐标这样定义：设e1,e2分别为与Ox,Oy正方向同向的单位向量，若OP= e1十3e,则O2=(x,).在a=的斜坐标系中. (1)若OP=(1,2)求OP; (2)若向量a=(m),b=(x),证明：a·b=x十y十2(x十x: (3)已知向量a,b的斜坐标分别为(sin2x,√/3cos2x),(1,一1)，x∈R,设函数f(x)=a·b, g(x)=e*+e *,h(x)= 化，者方程A十=0，ue0.226的实数根國 小到大依次为x,…,xm (i)求n; (1)比较gsin至与的大小，并说明理由.（参考数据：e=2.71828…,n2=0.69314…) 数学第4页（共4页） A版