第十一章 二次根式【期末复习讲义】（基础版）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 二次根式【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 二次根式的乘法 题型六 二次根式的除法 题型七 二次根式的乘除混合运算 题型八 分母有理化 题型九 最简二次根式的判断 题型十 化为最简二次根式 题型十一 已知最简二次根式求参数 题型十二 复合二次根式的化简 题型十三 同类二次根式 题型十四 二次根式的加减运算 题型十五 二次根式的混合运算 题型十六 已知字母的值，化简求值 题型十七 已知条件式，化简求值 题型十八 比较二次根式的大小 题型十九 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 求二次根式的值 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【答案】(1)小亮 (2) (3) 【思路引导】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 【变式】观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是__________，数的位置为有序数对_________．    【答案】 【思路引导】根据题意，找出题目的规律，中含有4个数，中含有9个数，中含有16个数，……，中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，偶数列是从上至下开始，然后根据这个规律即可得出答案． 【完整解答】解：根据题意，如图：    ∴有序数对的数是； 由图可知，至时含有4个数，至时含有9个数，至时含有16个数； …… ∴中含有64个数，且奇数行都是从左边第一个数开始，奇数列是从下至上， ∵，， ∴是第9列的第8个数； ∴数位置为有序数对是． 故答案为：；． 【考点剖析】此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题． 题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【思路引导】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【完整解答】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 【变式】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【完整解答】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 【答案】1 【思路引导】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，求出的值，再代入原式求出的值即可． 【完整解答】解：根据题意得：， 解得， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子．善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如，都是根分式．结合上述信息，关于根分式与，下列结论中正确的选项是（   ） ①根分式A中的的取值范围是 ②根分式B中的的取值范围是 ③不存在的值，使得两个根分式满足 A．② B．②③ C．①②③ D．③ 【答案】B 【思路引导】分别根据二次根式有意义的条件、分式分母不为零的要求判断结论①②，根据题意列分式方程，解方程检验后判断结论③即可得到答案. 【完整解答】解：①对于根分式， ∵二次根式被开方数非负，分式分母不能为零， ∴， 解得且，故①错误. ②对于根分式， ∵， ∴，对任意实数都满足二次根式有意义的要求， 只需满足分母不为零，即，得，故②正确； ③若，代入得： ， 整理得， ∵，等式两边同乘得：， 整理得， 解得， 检验：当时，分母，是原方程的增根，原方程无解， ∴不存在的值满足，故③正确； 综上，正确的结论是②③． 题型讲练四 利用二次根式的性质化简 【例4】（25-26八年级下·浙江温州·期中）为参加学校“温州非遗传承”实践活动，小芳制作了如图1所示的一面瓯绣团扇，象征着团圆和吉祥．这把团扇的圆形扇面面积为，手柄长为．为了展示，小芳设计了一个长、宽比为，面积为的团扇展示框，如图2所示． (1)求该圆形扇面的半径； (2)求团扇展示框的长和宽； (3)该团扇展示框能装得下这面团扇吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)长为，宽为 (3)能，理由见解析 【思路引导】（1）根据面积公式列出方程，解方程即可求解． （2）设团扇展示框长为，宽为，根据面积法公式列出方程，解方程，即可求解． （3）分别求得圆形团扇的直径进而求得总高度，与长方体的长和宽比较，即可求解． 【完整解答】（1）解：设该圆形团扇的半径为， 团扇面积为， ， 解得，（舍去） （2）解：设团扇展示框长为，宽为， ， 解得（舍去） 该团扇展示框的长为，宽为； （3）解：能 ，理由如下： 圆形团扇的直径为，总高度为， ，， 这个长方体盒子能装得下这面团扇． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，为正整数，，求证：一定是偶数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）依据题意，由，从而，进而可以判断得解； （2）依据题意，由，，从而，又由m为正整数，从而，故可判断得解． 【完整解答】（1）证明：∵实数满足 ∴ ． ∵对于任意实数a，b都有， ∴． ∴为非负数． （2）证明：∵，， ∴ ． 又∵m为正整数， ∴． ∴c一定是偶数． 题型讲练五 二次根式的乘法 【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)直接写出第7个等式：______； (2)根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【思路引导】（1）根据已有式子找出规律即可； （2）结合（1）中的规律，并验证即可． 【完整解答】（1）解：已知第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故第7个等式：； （2）解：第个等式（为正整数）为：． 证明：左式， 为正整数， ， ， 左式右式， 即． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据二次根式比较大小的方法可得，再根据定义可得答案； （2）根据定义可得，可估算出，则，据此代入求值即可． 【完整解答】（1）解：∵，且， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∵， ∴， ∵a和b为两个连续的正整数， ∴， ∴． 题型讲练六 二次根式的除法 【例6】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，格点（顶点均是网格线的交点）和格点O，小正方形的边长为1． (1)以点O为对称中心，作出的中心对称图形； (2)若的底边上的高为h，则________． 【答案】(1)图见解析 (2) 【思路引导】（1）根据中心对称的性质，画图即可； （2）根据勾股定理和等积法进行求解即可. 【完整解答】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知，边上的高为，，， ∵， ∴. 【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）完成下列题目 (1)【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含，的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：．像这样用两种不同方式来表示同一个图形的面积，从而得到等式或方程的方法，我们不妨称之为“等面积法”； (2)【问题探究】 将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为）按如图2方式放置，在同一直线上，显然，连接．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理； (3)【问题拓展】 如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得，请用“等面积法”求该三角形边上的高． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【思路引导】（1）根据题意填空，即可求解． （2）根据可证； （3）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高，即可求解． 【完整解答】（1）解：图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即（用含，的式子表示），从而得到等式：，化简便推导出重要的勾股定理：． （2）证明：， ， ， ； （3）解：设边上的高为h， ∵，， , ， 即边上的高是． 题型讲练七 二次根式的乘除混合运算 【例7】按要求完成下列各题： (1)计算：； (2)求方程的解． 【答案】(1)1 (2)或 【思路引导】（1）根据二次根式的乘除运算法则求解； （2）利用二次根式的性质解方程即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： 解得或． 【变式】．（25-26八年级下·北京·开学考试）计算： (1) (2) (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】根据多项式乘以多项式、二次根式的乘除运算、分式的化简求值依次计算即可. （1）根据多项式乘以多项式的法则，进行计算； （2）根据二次根式的运算法则进行计算； （3）根据分式的运算法则计算，可得：原式，再把代入化简后的分式进行计算． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ， 当时， 原式． 题型讲练八 分母有理化 【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【完整解答】（1）证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点到边的距离为． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【完整解答】解： ， 当时，原式． 题型讲练九 最简二次根式的判断 【例9】（24-25八年级下·河北保定·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握满足最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数或因式．据此判断即可． 【完整解答】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意； B．中的被开方数为，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．中的被开方数含分母，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．中的被开方数含能开方的因数，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)不是最简二次根式，化简为 (2)不是最简二次根式，化简为 (3)不是最简二次根式，化简为 【思路引导】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键． （1）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （2）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简； （3）先判断是否为最简二次根式，如不是再根据二次根式的性质与运算进行化简． 【完整解答】（1）解：被开方数中含有开得尽方的因数4， 不是最简二次根式，则不是最简二次根式． ． （2）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． （3）被开方数中含有分母， 不是最简二次根式． ． 题型讲练十 化为最简二次根式 【例10】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为_____． 【答案】 【思路引导】先结合勾股定理得，又因为垂直平分，得，，最后由勾股定理列式计算，即可作答． 【完整解答】解：∵，，， ∴， ∵垂直平分， ∴， 则， ∴． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） (2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 (3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 【答案】(1)；； (2) (3)①20；② 【思路引导】（1）利用勾股定理求出即可得到答案； （2）作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接，由轴对称的性质可得，则当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值；证明四边形是矩形，得到，由勾股定理可得，则的最小值为； （3）①，，点P为上一点，且，则，可证明，再仿照（2）求出的最小值即可； ②，，点P为上一点，且，则，可证明，同理求出的最小值即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，，， ∴， ， ∴； （2）解：如图所示，作点B关于的对称点C，过点C作，交的延长线于点D，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、C、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：①如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为17，即的最小值为17， ∴的最小值为； ②如图所示，，，点P为上一点，且，则， 由勾股定理得， ， ∴； 如图所示，作点D关于的对称点E，过点E作，交的延长线于点F，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当A、E、P三点共线时，有最小值，最小值为的值； 同理可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，即的最小值为． 题型讲练十一 已知最简二次根式求参数 【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【答案】② 【思路引导】本题主要考查了二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义，熟练进行二次根式的运算是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则，最简二次根式的定义分析即可得出答案． 【完整解答】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误． 故答案为：②． 【变式】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 【答案】答案不唯一 【思路引导】本题主要考查了最简二次根式、二次根式有意义的条件等知识点，掌握二次根式的被开方数大于等于零是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，据此即可解答． 【完整解答】解：是最简二次根式， ∴，解得：， 整数的值可以是答案不唯一． 故答案为：答案不唯一． 题型讲练十二 复合二次根式的化简 【例12】（25-26八年级下·广东江门·期中）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：，则．进一步化简双重二次根式，如． 材料二：在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 根据材料解决下列问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数（），点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】（1）根据“横负纵变点”的定义填空即可； （2）将原式转化为，结合完全平方公式，以及二次根式的性质即可解答； （3）将转化为，结合的范围求出，然后再根据“横负纵变点”的定义即可知道答案． 【完整解答】（1）解：∵中，， ∴点的“横负纵变点”为； ∵中，， ∴点的“横负纵变点”为； （2）解：； （3）解：∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，点是点M的“横负纵变点”， ∴． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 或 【思路引导】（1）根据题意，得解答即可． （2）根据所学方法求解即可； （3）利用完全平方公式，等式的性质求解即可． 【完整解答】（1）解：根据题意，得， 且，故，． （2）解：根据题意，得 ， 故； （3）解：， ， 或， 或， 故或． 题型讲练十三 同类二次根式 【例13】先化简，再求值． ，其中，． 【答案】； 【思路引导】利用完全平方公式将原式化简，然后再代入计算即可． 【完整解答】 ， 当，时， 原式 ． 【变式】下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 【答案】③④ 【思路引导】先将各组二次根式化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断，同类二次根式指化简为最简二次根式后被开方数相同的二次根式． 【完整解答】解：① 化简得：，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ② 化简得：为最简二次根式，二者被开方数不相同，不是同类二次根式； ③ 化简得：为最简二次根式，二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； ④ 由二次根式有意义可知，得， 化简得：， 二者化简后被开方数都是，是同类二次根式； 故化简后其中是同类二次根式的是③④． 题型讲练十四 二次根式的加减运算 【例14】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【完整解答】解：选项A：与不是同类二次根式，不能合并，，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确. 【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先将所有二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）原式先计算括号内的，再进行二次根式的乘除法，然后再进行加法运算即可． 【完整解答】（1）解： ； （2）解： ． 题型讲练十五 二次根式的混合运算 【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）阅读与思考 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法． 例如：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得，，得：． 把作为整体代入，得． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）； (2)化简：； (3)求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)8 【思路引导】（1）根据分母有理化的概念进行解答即可； （2）把各个分母分母有理化，然后进行计算即可； （3）先将变形得，将等式两边进行平方，利用完全平方公式得，最后代入原式即可． 【完整解答】（1）解：∵， ∴的有理化因式为：． （2）解：原式 ． （3）解：由得：， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 【答案】(1) (2)4680元 【思路引导】（1）根据题意利用长方形周长公式列式计算即可； （2）先计算出种植蔬菜部分的面积，再求出销售收入即可． 【完整解答】（1）解：由题意得，长方形空地的周长为 ∴长方形空地的周长为． （2）解：由题意得，蔬菜地的面积为， ∴销售收入（元）， ∴销售收入为4680元． 题型讲练十六 已知字母的值，化简求值 【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）运用提供的方法进行分母有理化即可求解； （2）先对进行分母有理化，再利用（1）的结论进行比较即可判断； （3）先对，进行分母有理化，再计算，的值，再对所要求的式子分解因式，代入即可求解． 【完整解答】（1）解：． （2）解：， 由（1）可知， ∵，， ∴，即． （3）解：， ， ∴，， ∴． 【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： (1)计算：； (2)化简：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）通过平方差公式完成分母有理化化简； （2）先将每一项分母有理化，再通过裂项相消合并计算得到结果； （3）先对分母有理化，再将所求式子变形为完全平方，代入计算即可． 【完整解答】（1）解： （2）解：原式 （3）解：， ， ， 把代入得． 题型讲练十七 已知条件式，化简求值 【例17】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题：已知． (1)求的值： (2)求的值． 【答案】(1)2 (2) 【思路引导】（1）根据题意构造对偶式即可求解； （2）构造方程求解． 【完整解答】（1）解：∵， ∵， ∴． （2）解：∵， 整理得：， 解得：． 【变式】（25-26八年级下·四川自贡·月考）请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)①；② (2)26 (3)3 【思路引导】（1）①利用分母有理化的法则解答即可； ②根据分母有理化的法则得到，，再根据分数的性质解答即可； （2）将已知等式左边通分并进行分母有理化，与等式右边比较，利用无理数相等条件求出、的值，再计算的值即可； （3）设，，利用平方差公式得到，进而得到． 【完整解答】（1）解：①； ②∵，， ∴，， ， ， ； （2）解： ， ，都是有理数， ， 解得， ； （3）解：设，， ， ， ， ， 即． 题型讲练十八 比较二次根式的大小 【例18】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【答案】(1)①；② (2)2025 (3)，见解析 【思路引导】（1）①将分子分母同乘以化简即可；②将分子分母同乘以化简即可； （2）利用二次根式分母有理化的计算法则将括号内化简，再算乘法； （3）通过比较，的倒数，然后进行，的大小比较． 【完整解答】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解：，理由如下： ， 同理：， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：________，________（为正整数）； (2)比较大小：________（填“”、“”或“”）； (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：________． 【答案】(1)； (2) (3) 【思路引导】（1）根据题意，分子分母分别乘以，即可求解； （2）利用分子有理化，再比较大小，即可求解； （3）根据题意，原式可变形为，即可求解． 【完整解答】（1）解：； ； （2）解：； ； ∵， ∴， ∴； （3）解：原式 . 题型讲练十九 二次根式的应用 【例19】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)， (2) 【思路引导】（1）根据正方形的面积公式以及最简二次根式的定义进行解题即可； （2）根据图形进行列式计算即可． 【完整解答】（1）解：∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为； ∵两块正方形的光伏发电板的面积为， 故光伏发电板的边长为． （2）， 根据题意可得，阴影部分是一个长为，宽为的矩形， 故阴影部分的面积为（）． 【变式】（25-26八年级下·广西百色·期中）已知刹车距离的计算公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有标识（限速）的高速公路行驶，若刹车距离是，摩擦系数是1.69．    (1)实际上该货车已超速，请通过计算说明； (2)请根据下面的超速违法行为记分参照值判断该货车会被记几分． （中型以上货车在高速公路超速违法行为记分参照值：①超速未达：记6分；②超速以上，以下：记12分．） 【答案】(1)该货车超速 (2)记12分 【思路引导】（1）把，代入计算，求出v，再跟限速比较即可判断求解； （2）求出超速的百分比，对照标准即可求解； 【完整解答】（1）解：由题意得，将，代入得，， ∴该货车超速； （2）解：， ∵该中型以上货车在高速公路行驶， ∴记12分． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．要使有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可． 【完整解答】解：由题意得， 解不等式得． 2．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【思路引导】本题根据二次根式的定义判断，二次根式需满足两个条件：根指数为2，被开方数为非负数，逐个判断即可得出结果． 【完整解答】解：①，，根指数为2，是二次根式． ②，，不是二次根式． ③，，，根指数为2，是二次根式． ④，根指数为3，不符合二次根式定义，不是二次根式． ⑤，，根指数为2，是二次根式． ⑥，，，不是二次根式． ⑦，配方得，，，根指数为2，是二次根式． 综上，符合条件的二次根式共4个． 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【思路引导】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【完整解答】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 4．若有意义，则_____． 【答案】0 【思路引导】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的值． 【完整解答】解：∵有意义， ∴， 解得． 5．在，，，，，中，无理数有________个． 【答案】2 【思路引导】先化简，再根据无理数的定义：无限不循环小数，进行判断即可. 【完整解答】解：是分数，不是无理数； 是无理数； 是整数，不是无理数； 是分数，不是无理数； 是整数，不是无理数； 是无理数； 则无理数有，，共2个. 6．已知 ，代数式的值是_____． 【答案】 【思路引导】先将代入原式，然后利用完全平方公式、平方差公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【完整解答】解：， ． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 【答案】/ 【思路引导】先根据数轴的定义可得，从而可得，再化简绝对值和二次根式，然后计算整式的加减即可得． 【完整解答】解：由数轴的定义得：， 则，， 因此 ， ． 8．按要求完成下列各题： (1)计算： (2)求的值： 【答案】(1)6 (2)或 【思路引导】（1）先利用算术平方根、立方根、二次根式的性质化简，再计算即可； （2）利用平方根的性质解方程即可． 【完整解答】（1）解：原式 ； （2） 解得：或． 9．公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积可以表示为：   ① 这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： ② 海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式． 公式应用：如果已知的三边长分别为，请你从公式①和②中选择一个求出的面积S． 【答案】6 【思路引导】将代入求出，再代入公式求解即可． 【完整解答】解：选用①：∵， ∴ ∴ ； 选用②： ． 10．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【完整解答】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 二次根式【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 求二次根式的值 题型二 求二次根式中的参数 题型三 二次根式有意义的条件 题型四 利用二次根式的性质化简 题型五 二次根式的乘法 题型六 二次根式的除法 题型七 二次根式的乘除混合运算 题型八 分母有理化 题型九 最简二次根式的判断 题型十 化为最简二次根式 题型十一 已知最简二次根式求参数 题型十二 复合二次根式的化简 题型十三 同类二次根式 题型十四 二次根式的加减运算 题型十五 二次根式的混合运算 题型十六 已知字母的值，化简求值 题型十七 已知条件式，化简求值 题型十八 比较二次根式的大小 题型十九 二次根式的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式 形如的式子叫做二次根式，如等式子，都叫做二次根式. 【易错点拨】二次根式有意义的条件是，即只有被开方数时，式子才是二次根式，才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）； （3）. 【易错点拨】 （1） 一个非负数可以写成它的算术平方根的平方的形式，即（），如（）. （2） 中的取值范围可以是任意实数，即不论取何值，一定有意义. （3）化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简. （4）与的异同 不同点：中可以取任何实数，而中的必须取非负数； =，=（）. 相同点：被开方数都是非负数，当取非负数时，=. 3. 最简二次根式 （1）被开方数是整数或整式； （2）被开方数中不含能开方的因数或因式. 满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如等都是最简二次根式. 【易错点拨】最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式 几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 【易错点拨】判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如与，由于=，与显然是同类二次根式. 知识点二 二次根式的运算 1. 乘除法 （1）乘除法法则： 类型 法则 逆用法则 二次根式的乘法 积的算术平方根化简公式： 二次根式的除法 商的算术平方根化简公式： 【易错点拨】（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如. （2） 被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如 . 2.加减法 将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 【易错点拨】二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 求二次根式的值 【例1】（24-25八年级下·河南安阳·期中）当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 【变式】观察图中数的排列规律并回答问题： 如果一个数在第m行第n列，那么记它的位置为有序数对，例如数2在第2行第1列，记它的位置为有序数对，按照这种方式，位置为有序数对的数是__________，数的位置为有序数对_________．    题型讲练二 求二次根式中的参数 【例2】（25-26九年级下·重庆·月考）若m为正整数，且满足，则________． 【变式】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 题型讲练三 二次根式有意义的条件 【例3】（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）已知，则______． 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）我们知道整式、分式、二次根式等都是代数式，代数式是由基本运算符号连结起来的式子．善于思考数学问题的小明有一个新的发现，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这种形式的结果，我们称这种形式的式子为根分式，如，都是根分式．结合上述信息，关于根分式与，下列结论中正确的选项是（   ） ①根分式A中的的取值范围是 ②根分式B中的的取值范围是 ③不存在的值，使得两个根分式满足 A．② B．②③ C．①②③ D．③ 题型讲练四 利用二次根式的性质化简 【例4】（25-26八年级下·浙江温州·期中）为参加学校“温州非遗传承”实践活动，小芳制作了如图1所示的一面瓯绣团扇，象征着团圆和吉祥．这把团扇的圆形扇面面积为，手柄长为．为了展示，小芳设计了一个长、宽比为，面积为的团扇展示框，如图2所示． (1)求该圆形扇面的半径； (2)求团扇展示框的长和宽； (3)该团扇展示框能装得下这面团扇吗？请说明理由． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）已知实数满足． (1)求证：为非负数； (2)若，且，为正整数，，求证：一定是偶数． 题型讲练五 二次根式的乘法 【例5】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， (1)直接写出第7个等式：______； (2)根据上述规律，请用含的式子表示第个等式（为正整数），并证明等式成立； 【变式】（25-26八年级下·浙江杭州·期中）对于实数m，n，定义表示m，n两个数中的较小值，例如，． (1)填空：________． (2)已知，，且a和b为两个连续的正整数，求的值． 题型讲练六 二次根式的除法 【例6】（25-26八年级下·山东青岛·期中）如图，格点（顶点均是网格线的交点）和格点O，小正方形的边长为1． (1)以点O为对称中心，作出的中心对称图形； (2)若的底边上的高为h，则________． 【变式】（25-26八年级下·江西赣州·期中）完成下列题目 (1)【问题背景】 图1是著名的赵爽弦图（其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），图中大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即______（用含，的式子表示），从而得到等式：______，化简便推导出重要的勾股定理：．像这样用两种不同方式来表示同一个图形的面积，从而得到等式或方程的方法，我们不妨称之为“等面积法”； (2)【问题探究】 将两个全等的直角三角形（较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为）按如图2方式放置，在同一直线上，显然，连接．请你借助此图同样用“等面积法”证明勾股定理； (3)【问题拓展】 如图3，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点得，请用“等面积法”求该三角形边上的高． 题型讲练七 二次根式的乘除混合运算 【例7】按要求完成下列各题： (1) 计算：； (2)求方程的解． 【变式】．（25-26八年级下·北京·开学考试）计算： (1) (2) (2) 先化简，再求值：，其中． 题型讲练八 分母有理化 【例8】（25-26八年级下·北京海淀·期中）如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求点到边的距离． 题型讲练九 最简二次根式的判断 【例9】（24-25八年级下·河北保定·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式？若不是，请进一步化简． (1) ； (2)； (3)． 题型讲练十 化为最简二次根式 【例10】（25-26八年级下·甘肃白银·期中）如图，在中，，垂直平分，若，，则的长为_____． 【变式】（25-26八年级下·重庆渝北·期中）阅读并回答下列问题： 【几何模型】 如图1，、是直线同侧的两个定点，问题：在直线上找一点，使值最小．方法：如图2，作点关于的对称点，连接交于点，则为所求作的点． 【模型应用】 如图3，金海湾滨江公园有一条无障碍慢行步道，为其中一段笔直路段，其长为，在点正北方处有一村庄．在的正北方处有一村庄，计划在上建一露营地，使得露营地到村庄、村庄的距离和最小． (1)在图3中，若，请在中用含的代数式表示出__________；再在中用表示出__________；则用表示为__________．（直接表示，无需化简） (2)小渝和小北探究发现，在求露营地到两村庄距离之和的最小值时，可以利用上述几何模型中的方法来求解，则的最小值为__________． 【拓展应用】 (3)结合（1）和（2）的结论，请回答如下问题： ①求出函数的最小值． ②已知，求的最小值__________． 题型讲练十一 已知最简二次根式求参数 【例11】（25-26八年级上·浙江·寒假作业）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于； ②使是正整数的最小整数是； ③是最简二次根式； 【变式】（24-25八年级下·贵州贵阳·月考）已知是最简二次根式，请写出一个满足条件的的整数值：______． 题型讲练十二 复合二次根式的化简 【例12】（25-26八年级下·广东江门·期中）材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如：，则．进一步化简双重二次根式，如． 材料二：在平面直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 根据材料解决下列问题： (1)点的“横负纵变点”为______，点的“横负纵变点”为______； (2)化简：； (3)已知a为常数（），点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是______． 【变式】（25-26八年级下·福建厦门·期中）小兵在学习二次根式的时候，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ； ． 【类比归纳】 (1)仿照上面的方法，若将化成，其中，则_____，______． (2)请你仿照上面的方法化简：； (3)若，其中，且a，m，n均为正整数，求的值． 题型讲练十三 同类二次根式 【例13】先化简，再求值． ，其中，． 【变式】下列各组二次根式：①和；②和；③和；④和，化简后其中是同类二次根式的是________． 题型讲练十四 二次根式的加减运算 【例14】（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·期中）计算： (1)； (2)． 题型讲练十五 二次根式的混合运算 【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）阅读与思考 材料一：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例如：，，我们称的一个有理化因式是，的一个有理化因式是． 材料二：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． 例如：，． 材料三：在解决某些问题时，可以将重复出现的复杂表达式设为新的变量，简化运算后再代回，这种方法称为整体代入法． 例如：已知，求代数式的值． 小敏的做法是：根据得，，得：． 把作为整体代入，得． 请你仿照材料中的方法探索并解决下列问题： (1)填空：的有理化因式是___________（写出一个即可）； (2)化简：； (3)求值：已知，求代数式的值． 【变式】（25-26八年级下·山东菏泽·期中）如图，某农家乐有一块长方形空地，长方形空地的长为，宽为，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？ 题型讲练十六 已知字母的值，化简求值 【例16】（25-26八年级下·北京·期中）【阅读】我们将与称为一对“对偶式”，因为，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效地将和中的“根号”去掉，于是二次根式的除法可以这样计算： ．像这样，通过分子、分母同乘一个式子把分母中的根号化去，叫做分母有理化． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： (1)分母有理化：__________； (2)比较大小：__________．（用“”“”或“”填空） (3)已知，求的值． 【变式】（25-26八年级下·甘肃陇南·月考）在解决问题“已知，求的值”时，乐乐是这样分析与解答的： ， ， ． 请你根据乐乐的分析过程，解决下面问题： (1)计算：； (2)化简：； (3)若，求的值． 题型讲练十七 已知条件式，化简求值 【例17】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料：已知，求的值． 小明同学是这样解答的： ， 又．这种方法称为“构造对偶式”． 解答问题：已知． (1)求的值： (2)求的值． 【变式】（25-26八年级下·四川自贡·月考）请运用分母有理化及有理化因式的知识，解决下列问题： (1)①化简：______； ②比较大小：______；（用“”、“”或“”填空） (2)设有理数a、b满足：，求的值； (3)已知，求的值． 题型讲练十八 比较二次根式的大小 【例18】（25-26八年级下·江苏淮安·期中）阅读：像，（），（），两个含有二次根式的代数式相乘，如果积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：像与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ； ② (2)计算： ； (3)已知，，试比较的大小，并说明理由 【变式】（25-26八年级下·安徽合肥·期中）观察下列一组等式，解答后面的问题： ， ． (1)化简：________，________（为正整数）； (2)比较大小：________（填“”、“”或“”）； (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果：________． 题型讲练十九 二次根式的应用 【例19】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板，，两块光伏发电板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和． (1)光伏发电板，的边长分别为_____，_____；（用最简二次根式表示） (2)计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积． 【变式】（25-26八年级下·广西百色·期中）已知刹车距离的计算公式是，其中v表示车速（单位：），d表示刹车距离（单位：m），f表示摩擦系数．现有一辆货车（中型以上）在立有标识（限速）的高速公路行驶，若刹车距离是，摩擦系数是1.69．    (1)实际上该货车已超速，请通过计算说明； (2)请根据下面的超速违法行为记分参照值判断该货车会被记几分． （中型以上货车在高速公路超速违法行为记分参照值：①超速未达：记6分；②超速以上，以下：记12分．） 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．要使有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，是二次根式的有(   ) ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26八年级上·湖南常德·期末）按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 4．若有意义，则_____． 5．在，，，，，中，无理数有________个． 6．已知 ，代数式的值是_____． 7．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简：________． 8．按要求完成下列各题： (1)计算： (2)求的值： 9．公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积可以表示为：   ① 这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： ② 海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式． 公式应用：如果已知的三边长分别为，请你从公式①和②中选择一个求出的面积S． 10．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $