精品解析：河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷

河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在木试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　) A. a＝－b B. a∥b C. a＝2b D. a∥b且|a|＝|b| 【答案】C 【解析】 【详解】A.可以推得为既不充分也不必要条件；B.可以推得或 为必要不充分条件；C．为充分不必要条件；D同B.所以选C. 2. 已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意易知，， 所以，故A正确； ，故B正确； ，当时，C显然错误； ，，故D正确. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义逐项分析即可 【详解】对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形， 且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图： 对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误； 对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确； 对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误， 故选：. 4. 如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合图形，易于判断A,B两项；对于C项，理解折纸过程知点是线段的中点，易得结论；对于D项，合并其中两个向量后，只需判断余下的两向量能否共线即可. 【详解】不妨设，则， 对于A项，显然与方向不一致，所以，故A项错误； 对于B项，由图知是钝角，则，故B项错误； 对于C项，由题意知点是线段的中点，则易得：,即得：，故C项正确； 对于D项，由，而与显然不共线，故．即项错误． 故选：C． 5. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据相切结合勾股定理可得，即可求解，由圆台和球的体积公式即可求解. 【详解】设圆台的高为，外接球半径为，作出轴截面如图： 的上､下底面面积分别为，则圆，的半径分别为2，6， 则，解得， 故所求体积之比为 故选：B 6. 在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则的面积为 A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，求得的值，由此求得或，利用和余弦定理列方程，求得面积的两种取值. 【详解】由题可知，，则，或.又，延长交于点，所以.因为，所以，即，当时，，所以的面积为；当时，，所以的面积为.故选D. 【点睛】本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查向量运算，考查三角形的面积公式，属于中档题. 7. 下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面. 对于②，连接交于，由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交. 对于③，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交. 对于④，连接，则，由线面平行的判定定理可知平面. 综上所述，能得出平面的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题. 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在中，设，，，结合三角形的内角和以及和角的正弦公式化简可求，可得，再由已知条件求得，，，考虑建立以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立直角坐标系，根据已知条件结合向量的坐标运算求得，然后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】在中，设，，， ，即， 即，， ，，，，， ，即，又，， ，则，所以，， 解得，. 以所在的直线为轴，以所在的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、， 为线段上的一点，则存在实数使得， ， 设，，则，，， ， ，消去得，， 所以，， 当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解是一个单位向量，从而可用、表示，建立、与参数的关系，解决本题的第二个关键点在于由，发现为定值，从而考虑利用基本不等式求解. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 已知，且，则 D. 非零向量和满足，则与的夹角为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A选项；利用平面向量基底的定义可判断B选项；由平面向量数量积的定义可判断C选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】选项A，已知 ，则 . 若两向量夹角为锐角，需要满足两个条件：数量积大于0，且不共线同向， 则，即； 若两向量共线，解得，此时夹角为（不是锐角），需排除， 因此的范围是 ，A错误. 选项B，平面向量基底要求两个向量不共线，由 ，可知两向量共线， 因此不能作为基底，B正确. 选项C，由 只能推出 ，无法得到 ， （反例：，满足数量积相等但），C错误. 选项D，设，的夹角为， 展开得 ，则， 所以，因此，D错误. 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的外接圆的半径为 B. 若只有一个解，则的取值范围为或 C. 若为锐角，则的取值范围为 D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先利用三角恒等变换求，再根据正弦定理判断A； 根据三角形的个数，建立不等式，判断B； 求角的范围，利用正弦定理求，并求的取值范围，判断C； 利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，即可判断D. 【详解】因为， 所以，， 所以， 因为，所以，解得：，故A正确； B.若只有一个解，则或， 得或，故B错误； C.因为角为锐角，，所以， 所以，， 所以，故C错误； D.，当时，等号成立， 所以， 所以面积的最大值为，故D正确. 故选：AD 11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点在线段PQ上，则的最小值是 C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：设，利用直线方向向量和平面法向量关系，建立关于的方程并求解；选项B：利用空间中两点之间距离公式，建立函数求解最值；选项C：确定平行且和平面平行的平面与正方体各棱的交点，确定截面形状，再计算面积；选项D：确定球心到过的平面的最大距离，再根据球的半径，利用勾股定理计算最小半径，进而得到最小面积. 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系：设 ，得. 选项A，设，， 设平面的一个法向量，则， 令，可得，即， 若平面，则，即， 超出棱范围，A错误. 选项B，在上，满足， 则： 二次函数对称轴，代入得最小值为，B正确. 选项C,过且平行于平面的平面截正方体得到等腰梯形，四个交点为： 上底长，下底长，梯形高， 面积，C正确. 选项D,正方体外接球球心为，半径. 正方体的外接球球心为，所有过的截面都经过直线，设是球心在直线上的垂足，的长度就是到直线的固定距离. 对任意过的截面，设到的距离为， 由几何关系：，是到截面的垂线段长度， 满足（为与平面法向量的夹角，范围）. 因此（球心到截面的距离）的最大值就是，为中点，， 则，截面最小半径满足， 最小面积，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知，直角梯形是一个水平放置的四边形OABC的直观图，且，，则四边形的周长为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先作，求得，然后利用斜二测画法还原四边形，即可求解. 【详解】如图，作， 则为等腰直角三角形，因为，所以，即， 则四边形为如图所示的直角梯形， 所以，，，， 故四边形的周长为. 13. 复数满足，则的最大值是______． 【答案】49 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，得到复数对应的图形，由图形求出的最大值. 【详解】解：设复数在复平面内对应的点坐标为，复数满足，则的几何意义为复平面内到点的距离为2的点的集合，即以为圆心，以2为半径的圆. ，其几何意义为复平面内点到原点距离的平方，所以的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即. 故答案为：49 14. 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形面积公式和余弦定理转化为关于角的三角函数方程，进而利用三角形内角和关系把原式转化为仅含角的表达式，再结合基本不等式求解范围. 【详解】由已知，由余弦定理得， 整理得，结合 ， 解得（为锐角，舍去），故. 为锐角三角形，故，且 ， 得，因此. 化简 ， 令，由，可得， 则随增大而增大，当时：， 当时：，故， 所以，代入原式得 由基本不等式可得， 当且仅当即时取最小值. 验证端点值：，，故. 综上，取值范围是. 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， （1）求圆柱的表面积； （2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为，求得和的值，以及圆柱和圆锥的母线长，结合侧面积和圆的面积公式，即可求解； （2）利用圆锥和圆柱的体积公式，即可求得剩下几何体的体积． 【详解】（1）设圆锥底面半径为r，圆柱底面半径为， 因为过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， 可得，，且圆柱母线长，圆锥母线长， 所以圆柱的表面积为： （2）剩下几何体的体积． 16. 已知向量满足与的夹角为. （1）求向量在向量上的投影向量； （2）求与的夹角. 【答案】（1） （2）150° 【解析】 【分析】（1）利用向量投影的公式求解即可； （2）利用向量夹角的余弦公式求解即可. 【小问1详解】 与方向相同的单位向量为. 所以向量在向量上的投影向量为. 【小问2详解】 由已知得. 所以, 又因为， 所以 设与的夹角为 则， 所以. 17. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数除法法则计算出，由纯虚数的概念列出关于的方程组解出即可； （2）将代入到方程中得出关于的方程组解出即可. 【小问1详解】 因为是纯虚数，所以， 解得. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为是关于的方程的一个根， 则， 即， 所以， . 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且. （1）求角的大小； （2）延长AM交BC于点，若，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合向量共线性质和正弦定理建立关于的方程并求解； （2）根据三角形内心的性质和面积公式建立关于的方程，再结合余弦定理求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理，得， ，即 . 【小问2详解】 点为的内心，为的角平分线， 而 整理得 由余弦定理，可得 将代入可得， 解得. 的周长为 19. 如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：CE//平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）为中点，连接，由中位线、线面平行的性质可得四边形为平行四边形，再根据线面平行的判定即可证结论； （2）取中点N，连接，，根据线面、面面平行的性质定理和判断定理即可判断存在性． 【小问1详解】 如下图，若为中点，连接，由E是PD的中点， 所以且， 又BC//平面PAD，面，且面面， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，故， 而面，面，则面. 【小问2详解】 取中点N，连接，， ∵E，N分别为，的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面， 线段存在点N，使得平面，理由如下： 由（1）知：平面，又， ∴平面平面，又M是上的动点，平面， ∴平面PAB， ∴线段存在点N，使得MN∥平面． 20. 如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设. （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为1的等边三角形，求的最小值. 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量线性运算直接求得和，代入即可求得结果； （2）根据三点共线可求得，利用“1”的代换和基本不等式可求得结果； （3）以，为基底可表示出，，平方后可整理得到关于的二次函数，利用基本不等式可求得的范围，进而得到结果. 【小问1详解】 为BC中点， 又为的重心，， . 【小问2详解】 由（1）得， 三点共线， 又 （当且仅当，即时取等号） 的最小值为3. 【小问3详解】 ， 由（2）知，，即. 又， （当且仅当时取等号） 当时，取得最小值： 即的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南洛阳市2025-2026学年高一第二学期期中考试数学试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在木试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是(　　) A. a＝－b B. a∥b C. a＝2b D. a∥b且|a|＝|b| 2. 已知i是虚数单位，，复数是的共轭复数，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 B. 过空间内不同的三点，有且只有一个平面 C. 棱锥的所有侧面都是三角形 D. 用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 4. 如图1，儿童玩具纸风车的做法体现了数学的对称美，取一张正方形纸折出“十”字折痕，然后把四个角向中心点翻折，再展开，把正方形纸两条对边分别向中线对折，把长方形短的一边沿折痕向外侧翻折，然后把立起来的部分向下翻折压平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，这样，纸风车的主体部分就完成了，如图2，是一个纸风车示意图，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上､下底面面积分别为，其外接球球心满足，则圆台的外接球体积与圆台的体积之比为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角的对边分别为，若，，点是的重心，且，则的面积为 A. B. C. 或 D. 或 7. 下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 8. 在中，，P为线段上的动点，且，则最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中错误的为（ ） A. 已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 B. 向量不能作为平面内所有向量的一个基底 C. 已知，且，则 D. 非零向量和满足，则与的夹角为 10. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的外接圆的半径为 B. 若只有一个解，则的取值范围为或 C. 若为锐角，则的取值范围为 D. 面积的最大值为 11. 在棱长为1的正方体中，P，Q分别为棱AB，BC的中点，则以下四个结论正确的是（ ） A. 棱上存在一点，使得平面 B. 点在线段PQ上，则的最小值是 C. 过且与平面平行的平面截正方体所得截面面积为 D. 过PQ的平面截正方体的外接球所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图，已知，直角梯形是一个水平放置的四边形OABC的直观图，且，，则四边形的周长为__________. 13. 复数满足，则的最大值是______． 14. 在锐角中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，为的面积，且，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，圆锥PO的底面直径和高均是a，过PO的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱， （1）求圆柱的表面积； （2）求圆锥挖去圆柱剩下几何体的体积． 16. 已知向量满足与的夹角为. （1）求向量在向量上的投影向量； （2）求与的夹角. 17. 设复数，且是纯虚数. （1）求实数的值； （2）若是关于的方程的一个根，求实数m，n的值. 18. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点为的内心，已知，向量，且. （1）求角的大小； （2）延长AM交BC于点，若，求的周长. 19. 如图所示，在四棱锥中，BC//平面PAD，，E是PD的中点． （1）求证：CE//平面PAB； （2）若M是线段CE上一动点，则线段AD上是否存在点，使MN//平面PAB？说明理由． 20. 如图，在中，是BC的中点，是的重心，过点的直线与边AB，AC分别相交于点P，Q.设. （1）若，求的值； （2）求的最小值； （3）若是边长为1的等边三角形，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $