2025-2026学年度第二学期高一年级期中考试数学模拟题（适用于广东）

2025-2026学年度第二学期高一级期中考试数学模拟题 一、单选题 1. 已知，角为第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的商数关系和平方关系求出、的两组解，再结合为第三象限角即得的值. 【详解】因为，所以，由, 解得或， 因为角为第三象限角，所以. 2. 已知向量，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 4. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方的方法求得正确答案. 【详解】 . 5. 在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理，. 由为三角形内角，所以. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. ， 因为，所以， 因为，所以，所以. 7. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 8. 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 二、多选题 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过向量的垂直、平行、模长、投影向量的定义和公式，逐一分析选项得出结果. 【详解】选项A：若，则，解得，A正确. 选项B：若，，则，B正确. 选项C：，若，则， 解得，C错误. 选项D：若，，，， 在方向上的投影向量为，D正确. 故选：ABD 10. 已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A. 若，则，且 B. 若，则，且 C. 若，则向量和相等或相反向量 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】举反例即可说明A，C错误；对于B，只有，才有；对于D，只有，才有，由比判断D. 【详解】对于A，若，，则满足，但此时，故A错误； 对于B，，若，则故B正确； 对于C，若，则满足，此时， 同理，此时和既不是相等向量，也不是相反向量，故C错误； 对于D，故，此时，故，故D正确. 故选：AC． 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为8 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A正确； 对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，故B错误； 对于C，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又，则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确； 故选：AD. 三、填空题 12. 设复数，当实数________时，是实数. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，再解方程与不等式即可求解. 【详解】因为复数是实数， 所以，解得， 所以当时，z是实数． 13. 若△ABC三个顶点的坐标分别为， ，，且点满足，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设点的坐标为，则， ，， 由，得， 即， 所以，得，所以点的坐标为. 14. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特征及表面积的求法求其侧面积. 【详解】由题意，正四棱锥的底面是边长为6的正方形，且棱锥的高为4， 所以正四棱锥的侧面等腰三角形的高为， 由正四棱锥有4个侧面等腰三角形，所以其侧面积为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知复数，根据下列条件求实数的值． （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】（1）1或2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【小问1详解】 由题意 ， 若是实数，则，解得或 【小问2详解】 若是纯虚数，则，解得； 【小问3详解】 若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 16. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因 则 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 17. 如图，已知△ABC中，，，，延长至点，连接． （1）求AC的长； （2）若，求AD的长. 【答案】（1）6 （2）14 【解析】 【分析】（1）在△ABC中，利用正弦定理求； （2）先求，再在中，利用余弦定理求. 【小问1详解】 如图所示，在△ABC中，由正弦定理得，， 又，，． 所以， 【小问2详解】 因为，所以， 在中，由余弦定理得， ． 18. 如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 【答案】(1)；(2)． 【解析】 【分析】(1)△ABC中，利用含的余弦定理表达式建立BC的方程，求出BC而得面积，再利用面积关系求的面积得解； (2)由题设中角的信息用表示出与中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得的方程，解之即得. 【详解】(1)设，在△ABC中，由余弦定理得： ，即，而x>0，解得， 所以，则的面积， 梯形中，，与等高，且， 所以的面积， 则梯形的面积； (2)在梯形中，设，而， 则，，，， 在△ABC中，由正弦定理得：， 在中，由正弦定理得：， 两式相除得：， 整理得， 即 解得或， 因为，则，即． 19. 如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． （1）求该几何体的表面积和体积； （2）若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 【答案】（1）表面积,体积. （2） 【解析】 【分析】（1）分析图形的构成，表面积有哪几块构成，利用圆、扇形、扇环计算面积即可，体积看是由哪几个基本几何体组合而成，利用圆锥圆台体积计算公式计算即可. （2）立体问题平面化找球心，求半径，利用球的表面积计算公式计算即可. 【小问1详解】 如图，在中，， 从而.则， 过点作于，则， 从而四边形为矩形，即有，, 从而，则在中, . 该几何体的表面积包含旋转一周得到的曲面，旋转一周得到的曲面，以及旋转一周得到的圆面. 而， ， ， 从而该几何体的表面积 该几何体的体积可看成由梯形旋转得到的圆台挖去由三角形旋转得到的圆锥，则. 【小问2详解】 如图，由题意球的球心在直线上，设， 则， 又， 则，解得. 从而球的半径， 球的表面积. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一级期中考试数学模拟题 一、单选题 1. 已知，角为第三象限角，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量满足，且与的夹角为，则（    ） A. B. C. D. 5. 在△ABC中，内角，，的对边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（    ） A. B. C. D. 12 8. 水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则在方向上的投影向量的坐标为 10. 已知是复数且对应的点分别为，则以下结论错误的是（）． A. 若，则，且 B. 若，则，且 C. 若，则向量和相等或相反向量 D. 若，则 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为8 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题 12. 设复数，当实数________时，是实数. 13. 若△ABC三个顶点的坐标分别为， ，，且点满足，则点的坐标为__________． 14. 已知正四棱锥的底面边长为6，高为4，则这个正四棱锥的侧面积为________. 四、解答题 15. 已知复数，根据下列条件求实数的值． （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第二象限． 16. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 17. 如图，已知△ABC中，，，，延长至点，连接． （1）求AC的长； （2）若，求AD的长. 18. 如图，在梯形中，，，，． (1)若，求梯形的面积； (2)若，求． 19. 如图，在四边形中，，四边形绕所在直线旋转一周所形成新的几何体． （1）求该几何体的表面积和体积； （2）若旋转过程中，点和点始终落在球上，求球的表面积． 学科网（北京）股份有限公司 $