云南玉溪第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 聚焦高二核心知识，通过梯度化题型设计考查数学思维与运算能力，解答题综合度高适配期中检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|直线与线段位置关系、椭圆方程|基础巩固，考查几何直观| |多选|3/18|椭圆性质、等差数列前n项和|能力区分，体现推理意识| |填空|3/15|导函数、空间向量投影|简洁应用，检测符号运算| |解答|5/77|圆方程、立体几何、抛物线综合、数列证明与求和、导数应用|综合创新，如立体几何题考查空间观念与逻辑推理，导数题融合运算能力与理性精神|

玉溪一中2025—2026学年下学期高二期中考 数学试题评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D A B C D A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABC BCD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 题号 12 13 14 答案 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 解：依题意，设圆的方程为， 将点，代入圆方程得： ，解得： 即圆的方程为：； ，， 以为直径的圆的方程为：， 整理得：， 由知圆的方程为：，即， 得直线的方程为：， 点到直线的距离为，， ，， ，，，， 当时，， 即线段长度的最小值为． 16．（15分） 解：证明： 取的中点，连接，， 因为是的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面平面， 所以平面； 由题意：平面，且， 则两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 又因为，是的中点， 所以点的坐标为，，，， 所以平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， ， 由， 可得 令，得， 故平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 设，且，， 则， 设平面的法向量为， 则，可得 令，得， 所以平面的一个法向量为， 因为点到平面的距离为， 所以，解得， 所以存在点，使得点到平面的距离为，此时． 17．（15分） 解：联立得，，故， 而，故． 设，，易知，的斜率存在且不为． 设的方程为，则的中垂线斜率为． 联立可得， 故，即，且，， 则，故AB的中点为， 的中垂线方程为， 代入可得，即， 故， 可得，故E的方程为 依题意，，又，则， 故的外接圆圆心为的中点，即， 其半径， 而圆心到的距离． 故的取值范围为  18．（17分） 解：证明： 数列的前项和为， ，， 由，两边同时除以， 可得， 又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列， 由等差数列的通项公式可得， 所以； 由， 可得， 所以 ， 所以； 若对任意恒成立， 即有， 整理得恒成立， 令， 则， 当时，， 当时，， 当时，， 所以， 即的最小值为， 综上，， 即实数的取值范围是． 19．（17分） 解：当时，， 故， ， ， 曲线在点处的切线方程为，即． ，， ， 令，解得， 当，， 当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值． 证明：Ⅱ由，则， 对任意的，，且，令，， 则， ， ， 令，， 当时，， 在单调递增， 当，，即， ，，， ，， 由Ⅰ可知当时，， 即，， 由可得， 当时，对任意的，，且，有． 数学试题评分参考第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025—2026学年下学期高二期中考 数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.设点，，若直线与线段没有公共点，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 2.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为 A. B. C. D. 3.若椭圆的焦点在轴上，焦距为，且经过点，则该椭圆的标准方程为 A. B. C. D. 4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于，两点，交双曲线的渐近线于，两点，若，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 5.如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，，交其准线于点，准线与对称轴交于点，若，且，则为 A. B. C. D. 6.设等差数列、的前项和分别为、，若对任意的，都有，则的值为 A. B. C. D. 7.若曲线y=f (x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=3x+4，则曲线y=xf (x)在点(1,f (1))处的切线斜率为 A. 3 B. 4 C. 7 D. 10 8.若恒成立，则实数的取值范围为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知直线过点，且与直线以及轴围成一个底边在轴上的等腰三角形，则 A. 直线，的斜率互为相反数 B. 直线，的倾斜角互补 C. 直线在轴上的截距为 D. 这样的直线有两条 10.已知椭圆：，是椭圆上的动点，则有 A. 若椭圆的焦点在轴上，则 B. 若椭圆的离心率，则或 C. 当且时，的面积为 D. 当时存在点使得 11.已知等差数列的前项和为，若，则 A. 数列是递减数列 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中的最小项为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数的导函数 ． 13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ． 14.已知为抛物线上的任意一点，为圆上的一点，，则的最小值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆圆心在轴上，且过点，两点． （1）求圆的方程； （2）设点，以线段为直径的圆与圆交于，两点，求线段长度的最小值． 16．（15分）如图，四棱锥中，平面，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知抛物线的准线与轴交于点，过点的直线与交于，两点，，的中垂线经过点． （1）若过点且垂直于轴的直线与交于，两点，求； （2）求的方程； （3）记，的中点为，外接圆上有一点，求的取值范围． 18．（17分）已知数列的前项和为，，． （1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）若对任意恒成立求实数的取值范围． 19．（17分）已知函数，为的导函数． （1）当时， ①求曲线在点处的切线方程； ②求函数的单调区间和极值； （2）当时，求证：对任意的，，且，有． 数学试题第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $