精品解析：河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题

河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将10本不同的书分给5名学生，每名学生所得书数不限，共有（ ）种不同的分法． A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 若正整数满足，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 已知a，b为实数，i为虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 展开式中的系数为（ ） A. 40 B. C. 120 D. 6. 某高中学校有高一学生500人，高二学生400人，高三学生300人，其中高一学生的优秀率为0.92，高二学生的优秀率为0.86，若从该校全体高中生随机抽取1人，该生是优秀生的概率为0.85，则该校高三学生优秀率为（ ） A. 0.72 B. 0.74 C. 0.75 D. 0.80 7. 如果今天是星期三，那么天后是（ ） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 8. 设为正整数，展开式的各项二项式系数最大值为，展开式的各项系数的最大值为，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，分别是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 可能为虚数 10. 李明上学有时候坐公交车，有时骑自行车，假设他坐公交车用时和骑自行车用时均服从正态分布，且，记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知事件A，B满足：，则__________． 13. 已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 14. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列恰有一个方格被选中，若在符合该要求的选法中，选中的4个数之和的最小值为、选中的4个数之和的最大值为，则__________． 26 17 35 41 27 18 37 43 26 16 36 42 25 15 33 40 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 7名学生（4名男生，3名女生）全部站成一排．（下列问题的结果全部用数字表示） （1）女生不站排头，也不站排尾，有多少种不同的排法； （2）4个男生必须排在一起，有多少种不同的排法； （3）任何两个男生彼此不相邻且女生甲不站正中间，有多少种不同的排法． 16. 某高中为提升学生的数学建模素养，举办了数学建模比赛，现从参赛学生中随机抽取20名，其成绩（满分10分）如下： 8.1，8.4，7.9，8.6，9.1，7.8，8.8，8.4，7.7，8.6 9.0，9.2，8.1，7.8，8.9，8.2，9.1，8.6，7.9，8.0 规定：成绩不低于8.0分的学生，称为“数学建模优秀生”． （1）从这20名学生中随机选3人，求这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率； （2）以这20名学生的样本数据来估计该校全体参加数学建模比赛学生的总体数据，若从该校参赛学生中任选4人，记为抽到的“数学建模优秀生”的人数，求的分布列、数学期望及方差． 17. 数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． （1）求该考生得6分的概率； （2）假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 18. 有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． （1）若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； （2）如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 19. 某运动员投篮次，每次投篮的命中率均为，各次投中与否相互独立，记为次投篮中命中的次数． （1）当时，求该球员最有可能命中多少次； （2）当时，求的值； （3）当时，证明：随着的增大而增大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北承德市2025-2026学年高二下学期4月阶段检测数学试题 本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 将10本不同的书分给5名学生，每名学生所得书数不限，共有（ ）种不同的分法． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】将10本不同的书分给5名学生，相当于依次给10本不同的书选择学生. 因为每本书都有5种不同的选择， 所以按照分步乘法计数原理可知，共有种不同的分法. 2. 已知为虚数单位，复数，则复数的共轭复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对化简，再根据复数的幂的运算法则，可求得，则共轭复数，进而可确定其虚部. 【详解】由题意，， 所以， 所以复数的共轭复数，其虚部为. 3. 若正整数满足，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据组合数的性质解组合数方程可得. 【详解】因为，得，由组合数的性质得， 即或，解得或. 经检验，或均符合题意，因此或. 4. 已知a，b为实数，i为虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】如果，则是实数，不是纯虚数，充分性不满足， 若是纯虚数，设且， 则，所以，所以，必要性满足， 应为必要不充分条件. 5. 展开式中的系数为（ ） A. 40 B. C. 120 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用生成的方法，结合组合数公式，即可求解. 【详解】， 要生成项，相当于从6个括号中选取2个括号取， 剩下的4个括号中的1个括号取，另外3个括号取， 故为， 所以展开式中的系数为 6. 某高中学校有高一学生500人，高二学生400人，高三学生300人，其中高一学生的优秀率为0.92，高二学生的优秀率为0.86，若从该校全体高中生随机抽取1人，该生是优秀生的概率为0.85，则该校高三学生优秀率为（ ） A. 0.72 B. 0.74 C. 0.75 D. 0.80 【答案】A 【解析】 【分析】利用全概率公式将对应数据直接代入计算可得结果. 【详解】记“从该校全体高中生随机抽取的1人来自高一年级”为事件，“来自高二年级”为事件，“来自高三年级”为事件，“该生是优秀生”为事件； 易知， 且； 由全概率公式可知 即，解得； 即该校高三学生优秀率为. 7. 如果今天是星期三，那么天后是（ ） A. 星期二 B. 星期三 C. 星期四 D. 星期五 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式定理求出除以7所得余数即可得. 【详解】， 上式除最后一项外都是7的整数倍， 又，此式除最后一项外都是7的整数倍， 所以除以7余数为1，从而除以7余数为1，因此天后是星期四. 8. 设为正整数，展开式的各项二项式系数最大值为，展开式的各项系数的最大值为，若，则（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】因为展开式有项， 所以最中间的一项即第项的二项式系数最大，即， 因为展开式有项，其展开式的通项公式为，系数为， 所以系数的大小由和二项式系数决定，而二项式系数的最大值为展开式最中间的有两个，其系数分别是和， 又因为，所以无论是奇数还是偶数，展开式的各项系数的最大值为， 因为，所以，解得. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设为复数，分别是的共轭复数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则 D. 可能为虚数 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，设出，代入运算即可，将展开进行计算，得到关于的关系.对于B，将转化成的关系，寻找与结论的联系即可.对于C，举反例即可证否.对于D，将转化成的关系，发现其为实数. 【详解】设，，则， 对于A，若，则有，将两个式子平方后相加， 得到， 即， 所以或者， 因为，所以或者， 即或，故A正确. 对于B，若，则， 即， 又因为， ， 所以，故B正确. 对于C，因为， ， 若，即， 化简得， 不妨令，满足上式， 而，故C错误. 对于D，，故D错误. 10. 李明上学有时候坐公交车，有时骑自行车，假设他坐公交车用时和骑自行车用时均服从正态分布，且，记，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】由题意得，所以，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； ，故D正确． 11. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】令通过换元得，通过通项公式可得A选项的正确，通过赋值可判断BC选项，通过对二项式展开式求导并赋值可判断D选项. 【详解】令，则，所以， 所以展开式的通项公式为，其中． 所以，故A正确； 令，则，故B错误； 令，则，故C正确； 两边对求导得 ， 令得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 已知事件A，B满足：，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】，, 所以. 13. 已知为虚数单位，复数满足，则的最小值为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出满足题目要求的复数在复平面内的轨迹，再求所求复数模长的最小值. 【详解】设（），则， ， 设，，则， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， ， 设，， ， 所以的最小值为3. 14. 在如图的的方格表中选4个方格，要求每行和每列恰有一个方格被选中，若在符合该要求的选法中，选中的4个数之和的最小值为、选中的4个数之和的最大值为，则__________． 26 17 35 41 27 18 37 43 26 16 36 42 25 15 33 40 【答案】 【解析】 【分析】根据某一行（列）减去同一个数后并不影响该方格能否“被选中”，从而得到一个更简便的的方格表，从而可以分别取最小值和最大值时选中的四个方格，进而即可得解． 【详解】注意到：某一行（列）的数减去同一个数后并不影响该方格能否“被选中”． 将第一列的数都减去25；第二列的数都减去15；第三列的数都减去33；第四列的数都减去40， 得到下列的方格表： 将第一行的数都减去1；第二行的数都减去2，第三行的数都减去1， 得到下列的方格表： 所以取最小值时选中的四个方格分别是： 第一行的第四个方格；第二行的第一个方格；第三行的第二个方格；第四行的第三个方格， 故最小值为； 取最大值时选中的四个方格分别是： 第一行的第二个方格；第二行的第三个方格；第三行的第四个方格；第四行的第一个方格 （或第一行的第二个方格；第二行的第四个方格；第三行的第三个方格；第四行的第一个方格）， 故最大值为121（或）， 故． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 7名学生（4名男生，3名女生）全部站成一排．（下列问题的结果全部用数字表示） （1）女生不站排头，也不站排尾，有多少种不同的排法； （2）4个男生必须排在一起，有多少种不同的排法； （3）任何两个男生彼此不相邻且女生甲不站正中间，有多少种不同的排法． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为女生不站排头，也不站排尾，所以4名男生中选两个站排头和排尾，有种情况， 再排剩下5人，有种情况，所以共有种排法. 【小问2详解】 因为4个男生必须排在一起，所以用捆绑法，将4个人看成一个元素与剩下的3名女生进行全排列， 男生内部进行全排列，所以共有种排法. 【小问3详解】 因为有4名男生，3名女生且任何两个男生彼此不相邻， 所以排列模式只能是“男，女，男，女，男，女，男”， 因为女生甲不站正中间，所以女生甲可以从剩下两个位置中选，有种情况， 再排剩下的2名女生，有种情况，4名男生全排列，所以共有种排法. 16. 某高中为提升学生的数学建模素养，举办了数学建模比赛，现从参赛学生中随机抽取20名，其成绩（满分10分）如下： 8.1，8.4，7.9，8.6，9.1，7.8，8.8，8.4，7.7，8.6 9.0，9.2，8.1，7.8，8.9，8.2，9.1，8.6，7.9，8.0 规定：成绩不低于8.0分的学生，称为“数学建模优秀生”． （1）从这20名学生中随机选3人，求这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率； （2）以这20名学生的样本数据来估计该校全体参加数学建模比赛学生的总体数据，若从该校参赛学生中任选4人，记为抽到的“数学建模优秀生”的人数，求的分布列、数学期望及方差． 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 3 4 ， 【解析】 【分析】（1）先计算没有“数学建模优秀生”的概率为，再结合对立事件概率求解即可； （2）结合题意得，再结合二项分布的概率公式求解即可, 【小问1详解】 由题意知，20名学生中，成绩不低于8.0分的学生有15名， 所以，20名学生中“数学建模优秀生”有15人， 从这20名学生中随机选3人，不是“数学建模优秀生”的概率为， 所以，这3人中至少有1人是“数学建模优秀生”的概率为． 【小问2详解】 因为样本数据中，“数学建模优秀生”占比例为， 所以，该校学生中，“数学建模优秀生”的概率为， 所以，从该校参赛学生中任选4人，抽到的“数学建模优秀生”的人数， 所以，的可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为 0 1 2 3 4 所以数学期望，方差 17. 数学试卷中的多项选择题是考查考生数学素养的一个重要载体，每道多项选择题设有A，B，C，D四个选项，正确答案只能是2个选项或3个选项，题目要求：“在每道多项选择题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．” 其中“部分选对的得部分分”的规则为：若正确答案有2个选项，则只选1个选项且正确得3分； 若正确答案有3个选项，则只选1个选项且正确得2分，只选2个选项且正确得4分．现作以下规定：多项选择题的正确答案选项个数是2个还是3个出现的概率均为；若考生随机选择（盲选），则每个选项被选中的可能性相同． 现有一道难度极大的多项选择题，某考生完全没有思路，其采用盲选方式作答． （1）求该考生得6分的概率； （2）假设该考生可选择“盲选1个选项”或“盲选2个选项”，若想得分最大化，应如何选择最优答题方式？并说明理由． 【答案】（1）； （2）应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由全概率公式求出考生盲选得6分的概率； （2）分别求出“盲选1个选项”和“盲选2个选项”的期望，比较大小，若期望一样大，再求方差，比较大小. 【小问1详解】 该考生得6分的概率； 【小问2详解】 设该考生“盲选1个选项”得分为，可取0，2，3， ； ； ． 所以的期望； 的方差 设该考生“盲选2个选项”得分为，则可取0，4，6， ； ； . 所以的期望； 的方差 所以“盲选1个选项”和“盲选2个选项”虽然得分期望值相同，但是， 所以应选择“盲选1个选项”作为最优答题方式． 18. 有和两道谜语，甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金10元；甲猜对谜语的概率为，猜对得奖金20元．规则规定：只有在猜对第一道谜语的情况下，才有资格猜第二道． （1）若，且甲先猜谜语，求甲得10元奖金的概率； （2）如果猜谜顺序由甲选择，他应该选择先猜哪一道谜语能得到更多的奖金． 【答案】（1） （2）当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 【解析】 【分析】（1）分析得10元奖金的猜谜情况，可得其相应的概率； （2）分别求出先猜谜A和先猜谜B，所得到的奖金的期望值，再根据期望作决策； 【小问1详解】 当，甲得10元奖金，即甲猜对A谜语，没有猜对B谜语， 所以甲得10元奖金的概率为. 【小问2详解】 记甲“先猜A谜语，后猜B谜语”所得奖金为，则可取0，10，30， ． 所以的期望 记甲“先猜B谜语，后猜A谜语”所得奖金为，则可取0，20，30， . 所以的期望 故 当时，，采用“先猜B谜语，后猜A谜语”方式得到的奖金更多； 当时，，两种方式得到的奖金一样多； 当时，，采用“先猜A谜语，后猜B谜语”方式得到的奖金更多． 19. 某运动员投篮次，每次投篮的命中率均为，各次投中与否相互独立，记为次投篮中命中的次数． （1）当时，求该球员最有可能命中多少次； （2）当时，求的值； （3）当时，证明：随着的增大而增大． 【答案】（1）17或18次 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用二项分布相邻概率比值，找出概率最大点即可； （2）将的表达式写出之后，利用组合数的性质转换计算即可； （3）将概率和视为关于的函数，求导并证明导数恒正，从而得单调性. 【小问1详解】 由已知，投篮中命中的次数服从二项分布，记命中次 的概率为， 对于二项分布 ，可得. 故 由得，此时随着值的增加而增加； 由得，此时随着值的增加而减少； 所以，故该球员最有可能命中17或18次． 【小问2详解】 当时， 【小问3详解】 证明：当时， ， 令， 则 因为 ，所以，所以， 故在单调递增，即随着的增大而增大 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $