2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题----线段周长的存在性专题训练

2026年九年级中考数学二次函数压轴题专题----线段周长的存在性专题训练 1．在平面直角坐标系中，抛物线的图象经过两点，点P为第一象限抛物线上不与点B重合的一动点，作轴于点D，交直线于点C，设点P的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点C为中点时，求m的值； (3)令． ①求d关于m的函数解析式； ②当d随m的增大而减小时，请直接写出m的取值范围． 2．已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点P在直线下方的抛物线上，连接交于点，过点作轴的垂线，垂线交于点，垂线，求证；当最大时，求点P的坐标及的最大值； (3)在(2)的条件下，在上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 4．抛物线与轴交于点，两点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的函数解析式和直线的解析式； (2)如图，点在线段上方的抛物线上运动（不与重合），过点作，垂足为，交于点．若点的横坐标为，请用的式子表示，并求的最大值； (3)如图，点是抛物线的对称轴上的一个动点，抛物线上存在一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，请求写出所有符合条件的点的坐标． 5．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，点P是x轴上方抛物线上不与点C重合的动点，设点P的横坐标为m． (1)求该抛物线的解析式及点C的坐标； (2)如图，当时，请直接写出m 的值为 ； (3)过点P分别作x轴、y轴的平行线交于点M、N，记 ①求关于m的函数解析式； ②在点P运动的过程中，直线与存在两个交点，请求出 n 的取值范围 6．如图，抛物线与直线交于和两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接，，P是直线下方抛物线上一点． (1)求m的值； (2)如图1，过点P作平行于y轴交于N，求最大值； (3)如图2，连接，交于点D，若，求点P的坐标； (4)如图3，将绕点O旋转至，连接，，试求出的最小值． 7．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上方的抛物线上找一点P，作，当为最大值时，求线段的长； (3)连接，当时，求点P的坐标． (4)若点M为直线上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 8．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 9．已知，如图，抛物线与轴正半轴交于、两点，与轴交于点，直线经过、两点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线上一点，若点关于直线对称点落在轴上，直接写出点坐标； (3)现将抛物线平移，保持顶点在直线上，若平移后的抛物线与直线交于、两点，求证：的长度为定值． 10．如图，在平而直角坐标系中，抛物线过点，交轴于点和点，交轴于点． (1)求拋物线的解析式； (2)如图，点是直线下方拋物线上一动点，过点作轴交于点，过点作交于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，新拋物线与轴的负半轴交于点，请问在新拋物线上是否存在一点，使得？若存在，则直接写出点的坐标；若不存在，则说明理由． 11．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D． (1)求点A，C的坐标； (2)若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA与y轴交点的坐标； (3)点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN为定值，并求出这个定值． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点是直线上方该抛物线上的一动点，连接交于点，点是直线上一动点，连接．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，是的中点，是抛物线对称轴上纵坐标为1的点，是抛物线上一动点．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 13．将抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线．        （1）直接写出抛物线，的解析式； （2）如图（1），点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上，是以为斜边的等腰直角三角形，求点的坐标； （3）如图（2），直线（，为常数）与抛物线交于，两点，为线段的中点；直线与抛物线交于，两点，为线段的中点．求证：直线经过一个定点． 14．如图，抛物线y＝x2+mx+m（m＞0）的顶点为A，交y轴于点C． （1）求出点A的坐标（用含m的式子表示）； （2）若直线y＝﹣x＋n经过点A，与抛物线交于另一点B，证明：AB的长是定值； （3）连接AC，延长AC交x轴于点D，作直线AD关于x轴对称的直线，与抛物线分别交于E、F两点．若∠ECF＝90°，求m的值．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设直线解析式为， 将点代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∵轴于点D，点C为中点， ∴， 解得：（负值舍去）； （3）解：①当时， 解得：（负值舍去）， ∴抛物线交x轴正半轴于点， 设，则， ， 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ， 综上：； ②当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小； 当时，； 开口向上，对称轴为直线， ∴当d随m的增大而减小，不符合题意，舍去； 当时，， 开口向下，对称轴为直线， ∴当时，d随m的增大而减小． 综上：或． 2．(1) (2)证明见解析；，的最大值为 (3)或或或 【分析】（1）将、、代入即可求解析式； （2）由，可得 ，，则求的最大值即可； （3），点在上，则,,，勾股定理求得，分三种情况讨论，勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：将点、、代入， 得， 解得， ； （2）如图， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， ， 当时，有最大值， ； （3）， 点在上，则, ∵,， ∴,， 当为斜边时，， 解得：或， 或； 当为斜边时，， 解得：； ， 当为斜边时， ， 解得：； ， 综上所述：是直角三角形时，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质，通过构造平行线将的最大值问题转化为求的最大值问题是解题的关键． 3．(1)，顶点的坐标为 (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【详解】（1）解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； （2）解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3）解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 4．(1)， (2)；最大值为 (3)或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）由题意可知，，，进而可得，再根据二次函数的性质解答即可求解； （）分为平行四边形的边和对角线两种情况，分别画出图形，利用平行四边形的性质解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：把和代入得， ， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 设直线的解析式为，把和代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：若点的横坐标为，则，， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； （3）解：①当为平行四边形的边，点在对称轴右侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 又∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设点，则， 解得 或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴； ②当为平行四边形的边，点在对称轴左侧时，如图，则有，且，过点作对称轴的垂线，垂足为，设交对称轴于点， 同理①可证， ∴，， ∴点到对称轴的距离为， 设点，则， 解得或（不合，舍去）， 当时，， ∴， ∴ ③当为平行四边形的对角线时，如图，设的中点为， ∵，， ∴， ∵点在对称轴上， ∴点的横坐标为， 设点的横坐标为，根据中点公式得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴点在轴上， ∴； 综上所述，点的坐标为或或． 5．(1)， (2) (3)①；②或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，解直角三角形，函数关系式的建立等知识点，难度较大，正确运用分类讨论的思想和数形结合的思想是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求解二次函数的解析式，再令即可求解点坐标； （2）如图，过P作轴于点D，求出，，由题意知，则，表示出，，然后根据题意得到，，代入求解即可； （）设得解析式为，求出得解析式为，设，则，，分当点在下方时，即时和当点在上方时，即时，求出即可； ②先画出的函数图象，然后分类讨论，找出几个临界位置求出对应的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴ 解得 ∴， ∴将时， ∴； （2）解：如图，过P作轴于点D， ∵，，， ∴，， 由题意知，则，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 解得：，（与点B重合，舍去）， ∴； （3）解：由（）得：， 设直线的解析式为：， ∴，解：， ∴得解析式为：， 设， ∵轴，轴， ∴，， 如图，当点在下方时，即时， ∴，， ∴； 如图，当点在上方时，即时， ∴，， ∴ ∴； ②当与相切时，如图： 则， ∴， 则 解得； 把，代入，则， ∴当直线经过点时，如图： ∴， 解得， ∴直线与存在两个交点，则； 当直线经过时，如图： 则， 解得； 当直线经过原点时，如图： ∴直线与存在两个交点，则， 综上：直线与存在两个交点时，或． 6．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用待定系数法求得m即可； （2）由（1）知直线 的解析式为，可设点，且点，则求解即可； （3）结合已知可得，则D点纵坐标为，进一步得出点D的坐标，再求出点A的坐标，然后求出的解析式，然后联立的解析式和抛物线解析式即可求出点P的坐标． （4）在x轴取点P，使，连接，证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得； （2）解：由（1）知直线 的解析式为， ∵P是直线下方抛物线上一点 ∴设点， ∵过点P作平行于y轴交于N， ∴点， 那么， 则最大值为； （3）解：∵点， ∴， ∵， ∴，解得， 则D点纵坐标为， ∵点D在直线上， ∴，解得， 则点， ∵抛物线与x轴交于点A和点B， ∴，解得，， ∴点， 设的解解析式为：， 则， 解得： 则的解解析式为：， 联立， 解得：或， 则． （4）解：在x轴取点P，使，连接，如图， 由旋转的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，相似三角形的判定与性质等，综合性比较强，正确作出辅助线是解题的关键． 7．(1) (2) (3)点P的坐标为 (4)存在，点M的坐标为或或或． 【分析】（1）将点，代入，即可求解； （2）过点作轴交于点，连接，先求出直线 的解析式为，设，则，则，可得，当时，有最大值，即可求解； （3）作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点，则在直线上，分别求出，，则，可知点与点重合，，用待定系数法求出直线的解析式为，联立方程组，即可求； （4）设，，，，分三种情况讨论：①当为菱形对角线时，；②当为菱形对角线时，；③当为菱形对角线时，． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， 解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图1，过点作轴交于点，连接， 令，则， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 设，则， ， ，， ， ， ， ， 点是直线上方抛物线上， ， 当时，有最大值，此时； ∵二次函数对称轴与x轴交于点D，且二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴当为最大值时，线段的长． （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， ， 作点关于直线的对称点，交于点，连接，过点作轴的垂线交轴于点， ， ， ， 在直线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 点与点重合， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 联立方程组， 解得或（舍， ； （4）解：存在点和点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，理由如下： 设，，，， ①当为菱形对角线时，， ， 解得， ，； ②当为菱形对角线时，， ， 解得， ，或，； ③当为菱形对角线时，， ， 解得或（舍， ； 综上所述：点的坐标为或或或． 8．(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 9．(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质. （1）求出A，C点的坐标，再将点坐标代入，即可得解； （2）先求出，再由对称性可知轴，即可求出点P的纵坐标，最后利用二次函数的解析式求出结果； （3）先求出平移后的抛物线，再利用，得，，最后利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】（1）解：在中，令，得，令，得， ∴，； ∵抛物线与x轴正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C， ∴将点，坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图， ∵， ∴， ∵点P关于的对称点Q在y轴上， ∴， ∴,即轴， ∴点P的纵坐标为， 令， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：设平移后的抛物线的顶点为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 令， 整理得， 设，， ∴，， ∴， ∴的长度为． 10．(1) (2)最大值， (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点B作，交y轴于点F，根据，易证，再证明 ，是等腰直角三角形，求出，，根据，利用三角形相似的性质得到，进而得到，求出直线的解析式为，设点，则，利用二次函数的性质求解即可； （3）由点B，点C的坐标得出的长，原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新拋物线，即原抛物线向右平移1个单位，向上平移3个单位，得到新拋物线，令，求出，分为点T在x轴上方和下方两种情况，利用直角三角形的特征及解直角三角形解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 拋物线的解析式为：； （2）解：如图，过点B作，交y轴于点F， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 也是等腰直角三角形， 在中，令，则， 或， ， ， 也是等腰直角三角形 ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 设点，则， ，， 当时，由最大值，最大值为， 取得最大值，此时； （3）解：存在点，使得，理由如下： ∵抛物线沿射线方向平移个单位长度，，， ∴，， ∴， ∴抛物线向右平移个单位长度，再向上平移3个单位长度可得到新抛物线， ， ∴， 如图，当点T在x轴下方时，延长交于点Q，过点T作轴，垂足为R， ，， ，， ， ， ， 设，则， ， ， ，即， 整理得：， 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 如图，当点T在x轴上方时，过点T作轴，垂足为K， 同理得， ，， ， ， 设，则， ，即， 整理得： 解得：或（与点N重合，舍去）， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数及一次函数的解析式，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，二次函数的最值，平移及对称的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质等知识点．熟练掌握二次函数的图像及性质，锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 11．(1)点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3） (2)直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，） (3)证明见解析，DM+DN＝8 【分析】（1）根据OA＝1，tan∠OAC＝3，，解直角三角形可得，进而即可求得的坐标 （2）根据待定系数求得二次函数解析式，分两种情形讨论，①若点P在x轴下方，延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I，令求得点    的坐标，进而在Rt△AOC中，sin∠ACO，Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG，进而求得的长，在Rt△BHI中，∠BIH＝90°，求得HI，进而求得的坐标，直线AH的表达式，即可求得直线PA在与y轴交点的坐标；②若点P在x轴上方，在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称，同理可得，直线AH'：yx，继而求得直线PA在与y轴交点的坐标； （3）设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1），由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3，同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3，进而求得，计算DM+DN＝8，为定值． 【详解】（1）∵OA＝1，tan∠OAC＝3， 则OC＝OAtan∠OAC＝3， 故点A、C的坐标分别为（1，0）、（0，﹣3）， （2）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（1，0），C（0，﹣3）， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2+2x﹣3； ①若点P在x轴下方，如图1， 延长AP到H，使AH＝AB，过点B作BI⊥x轴，连接BH，作BH中点G，连接并延长AG交BI于点F，过点H作HI⊥BI于点I， ∵当x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1， ∴B（﹣3，0）， ∵A（1，0），C（0，﹣3）， ∴OA＝1，OC＝3，AC，AB＝4， ∴Rt△AOC中，sin∠ACO，cos∠ACO， ∵AB＝AH，G为BH中点， ∴AG⊥BH，BG＝GH， ∴∠BAG＝∠HAG，即∠PAB＝2∠BAG， ∵∠PAB＝2∠ACO， ∴∠BAG＝∠ACO， ∴Rt△ABG中，∠AGB＝90°，sin∠BAG， ∴BGAB，   ∴BH＝2BG， ∵∠HBI+∠ABG＝∠ABG+∠BAG＝90°， ∴∠HBI＝∠BAG＝∠ACO， ∴Rt△BHI中，∠BIH＝90°，sin∠HBI，cos∠HBI， ∴HIBH，BIBH， ∴xH＝﹣3，yH，即H（，）， 由点A、H的坐标的，直线AH的表达式为：yx， 故直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）； ②若点P在x轴上方，如图2， 在AP上截取AH'＝AH，则H'与H关于x轴对称， ∴H'（，）， 同理可得，直线AH'：yx， 故直线PA在与y轴交点的坐标（0，）； 综上，直线PA在与y轴交点的坐标为（0，）或（0，）； （3）DM+DN为定值， ∵抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为：直线x＝﹣1， ∴D（﹣1，0），xM＝xN＝﹣1， 设Q（t，t2+2t﹣3）（﹣3＜t＜1）， 由点A、Q的坐标得，直线AQ：y＝（t+3）x﹣t﹣3， 当x＝﹣1时，yM＝﹣t﹣3﹣t﹣3＝﹣2t﹣6， ∴DM＝0﹣（﹣2t﹣6）＝2t+6， 同理可得，直线BQ：y＝（t﹣1）x+3t﹣3， 当x＝﹣1时，yN＝﹣t+1+3t﹣3＝2t﹣2， ∴DN＝0﹣（2t﹣2）＝﹣2t+2， ∴DM+DN＝2t+6+（﹣2t+2）＝8，为定值． 【点睛】本题考查了二次函数综合，待定系数法求解析式，轴对称的性质，解直角三角形，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 12．(1) (2)当取得最大值时，点的坐标为及的最小值为4 (3)符合条件的点N的坐标为或 【分析】（1）根据点A的坐标和，可求得点C的坐标，再根据待定系数法解答即可； （2）过点P作交直线于点F，先求得点B的坐标，从而得到，设，则，表示出，利用，可推出关于m的二次函数关系式，根据二次函数的性质可求得其最大值和此时点P的坐标；然后过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H，利用得到，结合，即可求解； （3）连接、、，利用等腰三角形三线合一可推出，从而求得，进而可知该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到，得到的表达式；然后分两种情况讨论：①当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接，通过证明和，得到；接着过点M作于点H，则为等腰三角形，设，，利用，求得点F的坐标，进而求得直线的表达式，与的表达式联立，即可求得点N的坐标；②当在x轴的下方时，同①可求． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 把，代入，得 ， 解得， ∴该抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点P作交直线于点F， 令，则， 解得或4， ∴， ∴， ∴， ∵点P是直线上方该抛物线的一动点， ∴设，直线的表达式为， 代入，得， 解得， ∴直线的表达式为， ∵， ∴点F的纵坐标为， 则，此时， ∴， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 此时， ∴此时； 如图，过点B作，垂足为M，过点E作于点M，过点C作于点N，过点P作于点H， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当点P、E、M在同一直线上时，取得最小值，最小值为， ∵，，轴，， ∴， ∴的最小值为4； （3）解：符合条件的点N的坐标为或； 如图，连接、、， ∵，， ∴，， ∴， 又∵点G是的中点，即， ∴， ∴，， ∴， ∵将该抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， ∴该抛物线先向右平移4个单位长度，再向上平移4个单位长度得到， ∵， ∴，对称轴为直线； ①如图，当在x轴的上方时，设抛物线的对称轴交x轴于点K，交于点F，连接， ∵是抛物线对称轴上纵坐标为1的点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过点M作于点H，则为等腰三角形， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； ②如图，当在x轴的下方时， 同①可求得，直线的表达式为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， ∴； 综上，符合条件的点N的坐标为或； 13．（1）抛物线的解析式为： y=x2-4x-2；抛物线的解析式为：y=x2-6；（2）点的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线经过定点（0，2） 【分析】（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可； （2）先判断出点A、B、O、D四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到∠BDA=∠BOA=45°，从而证出是等腰直角三角形．设点A的坐标为（x，x2-4x-2），把DC和AC用含x的代数式表示出来，利用DC=AC列方程求解即可，注意有两种情况； （3）根据直线（，为常数）与抛物线交于，两点，联立两个解析式，得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M的横坐标，进而求出纵坐标，同理求出点N的坐标，再用待定系数法求出直线MN的解析式，从而判断直线MN经过的定点即可． 【详解】解：（1）∵抛物线向下平移6个单位长度得到抛物线，再将抛物线向左平移2个单位长度得到抛物线， ∴抛物线的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x2-4x-2， 抛物线的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x2-6． （2）如下图，过点A作AC⊥x轴于点C，连接AD，    ∵是等腰直角三角形， ∴∠BOA =45°， 又∵∠BDO=∠BAO=90°， ∴点A、B、O、D四点共圆， ∴∠BDA=∠BOA=45°， ∴∠ADC=90°-∠BDA=45°， ∴是等腰直角三角形， ∴DC=AC． ∵点在抛物线对称轴右侧上，点在对称轴上， ∴抛物线的对称轴为x=2， 设点A的坐标为（x，x2-4x-2）， ∴DC=x-2，AC= x2-4x-2， ∴x-2= x2-4x-2， 解得：x=5或x=0（舍去）， ∴点A的坐标为（5，3）； 同理，当点B、点A在x轴的下方时， x-2= -(x2-4x-2)， x=4或x=-1（舍去）， ∴点的坐标为（4，-2）， 综上，点的坐标为（5，3）或（4，-2）． （3）∵直线（，为常数）与抛物线交于，两点， ∴， ∴x2-kx-6=0， 设点E的横坐标为xE，点F的横坐标为xF， ∴xE+xF=k， ∴中点M的横坐标xM==， 中点M的纵坐标yM=kx=， ∴点M的坐标为（，）； 同理可得：点N的坐标为（，）， 设直线MN的解析式为y=ax+b（a≠0）， 将M（，）、N（，）代入得： ， 解得：， ∴直线MN的解析式为y= ·x+2（）， 不论k取何值时（），当x=0时，y=2， ∴直线经过定点（0，2）． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A、B、O、D四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键． 14．（1）；（2）见解析；（3）-1+ 【分析】（1）直接写出顶点式即可得出结论； （2）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，得出n=2m+m2，进而得出直线AB的解析式为y=-x+2m+m2，再联立抛物线解析式得出方程组，转化成方程，利用根与系数的关系即可得出结论； （3）先求出点A，C关于x轴的对称点，进而得出直线EF解析式，再联立抛物线解析式，过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，设点E，F坐标，联系抛物线和EF表达式，利用根与系数的关系列出方程求解. 【详解】解：（1）抛物线， 顶点的坐标为； （2）由（1）知，顶点的坐标为， 直线经过点， ， ， 直线的解析式为①， 设，，，， 抛物线②， 联立①②得，， 即：， ，， 即：的长是定值，其值为； （3）抛物线与轴相交于， ， 点关于轴的对称点的坐标为， 由（1）知，顶点的坐标为， 点关于轴的对称点的坐标为， 直线是直线关于轴的对称点， 点，在直线上， 直线的解析式为③， 抛物线④， 设E（，），F（，）， 过点C作MN∥x轴，过点E作EM⊥MN于点M，过点F作FN⊥MN，如图1， ∵∠ECF=90°， ∴∠ECM+∠FCN=90°， ∠FCN+∠CFN=90°， ∴∠ECM=∠CFN， ∵∠EMC=∠FNC=90°， ∴△EMC∽△CNF， ∴, 即， 化简得：， 联立③④得，， ，， ==， ， ∴， ∴=0 解得：m=或m=或m=0， ∵m>0 ∴m=.    【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，配方法，根与系数的关系，直角三角形的性质，建立方程组是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $