20.1.1 勾股定理及其验证-教学设计--2025-2026学年人教版数学八年级下册

教学目标

课题

20.1 第1课时 验证勾股定理

授课人

素养目标

1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理.

2.能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算.

3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.

教学重点

运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算.

教学难点

“数形结合”思想方法的理解和应用.

教学活动

教学步骤

师生活动

活动一：创设情境，导入新课

【情境导入】

直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢?

在《周髀算经》的开篇……(其他内容见教材P23探究上方内容)

【教学建议】

给学生说明，从

一个直角三角形中得出的结论，还需更一般的验证.

设计意图

介绍我国古代数学成就，激发学生的学习兴趣.

活动二：问题引入，自主探究

探究点勾股定理的认识与证明

1.直角三角形中勾股定理的探究(教材P23探究)

(1)如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形 A₁，B₁，C₁ 的面积之间有什么关系? A₂,B₂,C₂呢? A₃,B₃,C₃呢?

请你通过计算相关图形的面积进行说明.

解： 所以

 所以

 所以

(2)以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系?

答：可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.

【教学建议】

可提示学生利用

割补法计算图中正方形 C₁,C₂,C₃的面积(等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面积).

设计意图

引导学生探索、发现、证明勾股定理.

教学步骤

师生活动

(3)你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗?

答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么

2.勾股定理的证明 

阅读教材P24，了解我国古代数学家赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述猜想的，我国把它称为 勾股定理 ，感兴趣的同学可以自己拼图试一试.

活动三：知识运用，典例讲练

例1 (教材 P25 探究)根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗?

解：整个图形的面积可以表示为c².

整个图形的面积还可以表示为四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和，即

所以

化简，得

勾股定理得证.

例2 (教材 P25 例1)如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.

解:(1)在 Rt△ABC 中,根据勾股定理, ,所以 AB=10.

(2)在 Rt△DEF 中,根据勾股定理,DE²+ 从而 ,所以 DE=8.

【对应训练】

1.教材 P25~26 练习.

2.如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理.(提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等)

证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a+b，所以面积相等.

所以

化简整理，得

【教学建议】

(1)告诉学生用

拼图方法证明勾股定理通常有两种情况：①一个图形就利用它的两种不同面积表示方法列等式；②两个图形就利用它们的面积相等列等式.

(2)提醒学生牢

记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a，b，斜边为c时的情况)：

设计意图

帮助学生巩固对勾股定理的认识.

活动四：随堂训练，课堂总结

【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练.

【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是勾股定理?你知道几种证明它的方法?

【知识结构】

【作业布置】

1.教材P30习题20.1第1题.

2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.