2026年中考数学二轮复习备考－二次函数与角度综合常见题型练

**基本信息** 聚焦二次函数与角度综合，通过基础巩固、中档应用、综合探究三层设计，构建从概念理解到创新应用的知识路径，适配中考二轮专题复习。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|解析式求解、坐标确定|直接应用待定系数法，如求抛物线表达式| |中档|面积/距离最值、动点问题|结合几何转化，如用函数求最大距离| |提升|角度关系、存在性探究|需分类讨论与构造辅助线，如探究特定角度的点P|

2026年中考数学二轮复习备考一二次函数与角度综合常见题型 练 1,如图，己知抛物线y=ar2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0)和点B,与y轴交于点C,连接 AC,过B、C两点作直线， B外若 (1)求a的值. (②)若点D是直线BC上方的抛物线上一点，当点D到直线BC距离最大时，求点D坐标， 并求出最大距离， (3)抛物线上是否存在点P,使LPBC+∠AC0=45°，若存在，请求出直线BP的解析式；若 不存在，请说明理由， 2.综合与探究：如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧)， 与y轴交于点C,顶点为D,OA=0C=3. (1)求抛物线的函数表达式，并求出顶点D的坐标： (2)如图，N是AC下方的抛物线上的一个动点，且点N的横坐标为n,求△CAN面积S与n 的函数关系式及S的最大值； (3)在抛物线上是否存在一点P,使得LPAB=∠ABC,若存在，请求出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 3.抛物线G:y=-2+x+2交x轴于4，B两点(A在B的左边)，交y轴于点C,连 2 2 接BC. 试卷第1页，共3页 V (1) (2) (1)直接写出点A,B,C的坐标： (②)如图(1)，点P是抛物线第一象限上一点，过点P作PQ∥OC,交BC于点Q,连接CP ,若∠CPQ+∠ABC=90°，求点P的坐标； (3)如图(2)，将抛物线C向左平移得到抛物线C,,使其顶点在y轴上，直线y=kx和 y=kxk<0,k,>O)分别交抛物线C,于点E,F,M,N,直线EN和MF分别交y轴于点 G(0,g）,H(0,h).若gh是关于z的一元二次方程z2+pz+g=0的两个实数根，探究 p与q的数量关系. 4.抛物线Cy2”+ )-3交x轴于A、B两点，A在B的左边，交y轴于C点 图1 图2 (1)直接写出A,B,C的坐标： (2)如图1，点E为第三象限内一点，过点E作ED∥y轴交AC于D点，若 ∠DEC+∠BAC=90°，求点E的坐标； (3)如图2，A点向右平移3个单位至点F,过F,C,B三点的抛物线记为C2,点N为第一 象限内C,上的点，连结FN,P为线段FN上一点，射线CP交C,于点M,若 △CPF∽△MPN,点P的横坐标是否为定值？若是定值，求出P点横坐标，若不是，请说 明理由 5.如图，抛物线y=x2+ax与x轴相交于O,A两点（点A在x轴的正半轴上)，直线y=x与 试卷第1页，共3页 抛物线相交于O,C两点. H (1)求点A和点C的坐标（用含a的式子表示： (2)点P为抛物线上的一个点，连接OP,PC,PC交x轴于点H.△POC的内心在x轴上， 且K为PC的中点，连接OK,KA.求证：∠KOA=∠HKA; (③)在(2)条件下，设Q为抛物线上的一个动点，且在直线y=x的下方.以点Q为圆心的 OA·HA ©0与直线y=x相切，记©0的最大半径为R.试判断OC,K·R是否为定值？如果是， 请求出这个值；如果不是，请说明理由， 6.如图，抛物线y=ax2+bx+2与x轴分别交于点A、点B(4,0)（点A在点B的左侧)，与y 轴交于点C,对称轴为直线x=3 VA VA D (1)求抛物线解析式： (②)点P为直线BC上方抛物线上一点，连接PB,PC,点M为抛物线对称轴上一动点， MN⊥y轴，垂足为N,连接MP,NB,当四边形ACPB面积最大时，求此时点P的坐标 及PM+BN的最小值； (3)将抛物线沿射线BC方向平移后经过点C,新抛物线与直线BC另一个交点为D,在新抛 物线上是否存在一点Q,使∠CAO-∠DCQ=45°，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存 在，请说明理由。 7.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴，y轴分别交于A,B两点，抛物线 试卷第1页，共3页 y=ax2+x+c(a≠0)经过A,B两点与x轴相交于点C. V B (1)求抛物线的解析式： (2)若点M为直线BC上方抛物线上任意一点，过M作ME⊥BC于点E，,当ME最大时，Q为 y轴上一动点，求MQ-CQ的最大值. (3)若点P在抛物线上，连接PB,当∠PBC+∠OBA=45°时，请直接写出点P的坐标 1 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-二x2+bx+c与x轴交于点A-2,0),B(4.0), 2 与y轴交于点C,连接BC. D A B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥BC交BC于点D,F为y 轴上一动点，当线段PD的长度取得最大值时，求点P的坐标： ③在平面内，将抛物线y三)+bx+C沿射线BC方向平移，当平移后的新抛物线经过鬼 (0,6)时停止平移，此时得到新抛物线，在平移后的新抛物线上确定一点M，使得 ∠A0M=∠CAO,请直接写出所有符合条件的点M的坐标. 9.在平面直角坐标系中，抛物线y=-】X+bx+5交x轴负半轴于点A,交x轴正半轴于点 2 B,交y轴于点C,OB=OC. 试卷第1页，共3页 B B 图1 图2 图3 (1)如图1，求抛物线的解析式： (②)如图2，点P在第四象限的抛物线上，连接AP交y轴于点D,连接PC,点P的横坐标为 t,△CDP的面积为S,求S与t之间的函数关系式（不需要写出自变量t的取值范围）： (3)如图3，在(2)的条件下，点Q在y轴上且在点D的下方，点E在DQ上，EQ=3DE, 连接PQ,∠APQ=2∠BAP,点F为CP中点，连接EF,过点B作x轴的垂线交PQ于点H, 连接EH,FH,∠FEH-∠FHB=45°，求点P的坐标 10.如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A,B(-1,0)两点，并经过C(2,3),交y轴于 点D 图1 图2 (1)请求出抛物线解析式： (2)如图1，连接BD,点P在抛物线上，连接PB,若∠ABP=∠BD0,求点P的坐标： (3)如图2，直线y=mx+n与抛物线交于点E,F,连接CE,CF分别交y轴的正，负半轴 于点M,N,若OM·ON=3,求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标， 1.已知二次函数y=a㎡2(a≠0的图像经过点T4 抛物线上两点Ax,),B(x2,y2) ,满足x<0<x2,直线AB与y轴交于点C. 试卷第1页，共3页 图1 备用图 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，连接0A,OB,若LA0C=∠B0C，且0C=4,求线段AB的长度； (3)己知，OC=4,点P是直线AB下方抛物线上一点，作PQ∥y轴，交AB于点Q,若线 段PQ的最大值是8，求直线AB的解析式. 12.抛物线y=-x2+bx-3经过点A1,0): 图1 图2 (1)求抛物线的解析式： (2)如图1，点D是第四象限内抛物线上一点，满足∠DAC=3LACO,求点D坐标； (3)如图2，Gt,2)是第一象限内一点，过点G的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点 分别为M、N,探究直线MN是否过定点，求这个定点的坐标， 13.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+ca≠0)与x轴交于A,B两点， 与y轴交于点C,其中B(-l,0),0A=70B,连接AC,BC,tan∠CAB= 2 B 图1 图2 试卷第1页，共3页 (1)求该抛物线的解析式： (2)如图1，点M为线段0C(不含端点O,C)上一点，连接MB并延长交抛物线于点P, 连接AP,CP,当△ACP面积最大时，求点M的坐标及△ACP面积的最大值： (3)如图2，将该抛物线沿射线AC方向平移，当它过点B时得到新抛物线，点F为新抛物线 与x轴的另一个交点，点G为新抛物线的顶点，连接BG,FG,过点B作BH∥FG交新抛 物线于点H,连接FH,在新抛物线上确定一点N,使得∠NCA=∠FBG+∠BHF,直接写 出所有符合条件的点N的坐标. 14.如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B(3,0)两点， 与y轴交于点C,点D(2,3)在抛物线上，点P是抛物线上一动点. 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接0D,当点P位于直线0D上方时，求△ODP面积最大时点P的坐标： (3)如图2，连接AC,BC,抛物线上是否存在点P,使LCBP+∠AC0=45°？若存在，请 直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页 参考答案 1.(1)a=-1 ②3》 8 (3)存在点P,直线BP的解析式为y=-3x+9或y=-三x+1 3 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论 的思想进行求解是解题的关键： (1)根据待定系数法即可得出结果： (2)过D作DE⊥BC于点E,作DF⊥x轴，交BC于点F,易得△DEF为等腰直角三角形， 得到DE=5DF,进而得到当DF的值最大时，DE最大，即点D到直线BC距离最大， 进行求解即可； (3)分点P在直线BC下方，与点P在直线BC上方，两种情况进行讨论求解即可. 【详解】(1)解：抛物线y=ax2-2ax+3与x轴交于点A(-1,0), 得a+2a+3=0, 解得：a=-1; (2)由(1)知：y=-x2+2x+3, 当x=0时，y=3,当y=-x2+2x+3=0时，x=3,x2=-1, .C(0,3,B3,0, .0B=0C=3, .∠0BC=∠0CB=45°， 设直线BC的解析式为y=x+3,把(3,0)代入，得k=-1, .y=-x+3, 过D作DE⊥BC于点E,作DF⊥x轴，交BC于点F, DFIy轴， .LDFE=L0CB=45°， .△DEF为等腰直角三角形， DE=DF 2 当DF最大时，DE的值最大，即点D到直线BC距离最大， 答案第1页，共2页 设D(m,-m2+2m+3,则F(m,-m+3), .DF=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m=- 329 m-2+4 :当m-时，0F有最大能为}，此时D)》, 3 0号》，0E的装大值为，592 42 8 11 D (3)解：存在点P,理由如下： 当点P在直线BC下方时， 在y轴上取点H(O,),作直线BH交抛物线于（异于点B)点P, H B主 由(2)得∠0BC=45°， ∴.OH=OA=L,OB=OC,∠BOH=∠COA=90°， ∴.△BOH≌ACOA(SAS), .∠OBH=∠AC0, .∠PBC+∠AC0=∠PBC+∠OBH=∠0BC=45°， 设直线BP的解析式为y=kx+b,代入点B(3,O),H(0,1), 「3k+b=0 1 K=- 得 ,解得 3, b=1 b=1 1 故直线BP的解析式为y=一亏x+l: 当点P在直线BC上方时，如图，在x轴上取点I(1,O),连接CI,过点B作BP∥CI交抛物 线于点P, 答案第1页，共2页 .∠PBC=∠BCI, .OI=OA=1,OC=OC,∠CO1=∠C0A=90°， △COI≌COA(SAS, :∠0CI=∠AC0, .LPBC+LAC0=∠BCI+∠0CI=∠0CB=45°， 设直线CI的解析式为y=k2x+b2,代入点I(L,0),C(0,3), ak2+b2=0 得，=3 ，解得 k=-3 b=3 故设直线CI的解析式为y=-3x+3, BP∥CI,且过点B(3,O), 故设直线BP的解析式为y=-3x+n, .0=-3×3+n, 解得n=9, .直线BP的解析式为y=-3x+9. 综上所述：直线BP的解析式为y=-3x+9或y=-一x+1. 3 2.(1)抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3,顶点D的坐标为：（-1，-4). (②送系式为：53r9m,当n时，s的最大值为 22 2 (3)存在，点P的坐标为-2，-3)或(4,21. 【分析】(1)根据待定系数法求得函数解析式，然后再求出顶点坐标即可： (2)根据待定系数法求出直线AC的解析式，过点N作NG⊥x轴于点G,交直线AC于点 M,根据54c=5w+5cw得到S=-n++2,即可得到最大值； 22 8 (3)分点P在点A左侧；点P在点A,点B之间；点P在点B右侧三种情况讨论即可得到 答案第1页，共2页 答案 【详解】(1)解：：0A=0C=3,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B(点A在点B的 左侧)， A-3,0),C(0,-3, 「9-3b+c=0 c=-3 b=2 解得： c=-3' :抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3, 2 对称轴为直线：x=- 2x71, 把x=-1代入函数解析式得到y=4, 故顶点D的坐标为：（-1，-4). (2)解：设直线AC的解析式为y=kc+d, [-3k+d=0 将A(-3,0),C(0,-3代入得 d=-3 k=-1 解得： d=-3 :直线AC的解析式为y=-x-3, 如图，过点N作NG⊥x轴于点G,交直线AC于点M, B 交：点N的横坐标为， .Nn,n2+2n-3,Mn,-n-3) .NM=(-n-3)-n2+2n-3=-n2-3n, .S。ANC=S.ANw+S.cww 答案第1页，共2页 -NM.AG+1NM.OG -NM(AG+0G) -INM-OA r-训k3 =-3n2 9n 22 ..S=-36 a=-3 2 <0, :当=时 的最大值为2 9 (3)解：存在， 当点P在点A左侧时，∠PAB是钝角，∠ABC为锐角，此时得LPAB≠∠ABC; 当点P在点A,点B之间时，点P与点C关于直线x=-1对称， :点P的坐标为-2，-3， 当点P在点B右侧时， 如图，过点A作直线1∥BC,根据两直线平行内错角相等可知直线1与抛物线在第一象限的 交点为P,此时有LPAB=LABC, B 令y=0,则x2+2x-3=0, x=-1 解得x=-3或x=1, B(1,0 设直线BC的解析式为y=c+e, 答案第1页，共2页 k+e=0 将B1,0),C(0,-3代入得 e=-3 k=3 解得 e=-3' :直线BC的解析式为y=3x-3, 设直线I的解析式为y=3x+∫， 将A-3,0)代入得f=9, :直线1的解析式为y=3x+9, 联立P=3r+9 y=x2+2x-3' 解得x=4或x=-3, :点P在点B右侧， :点P的横坐标大于1， x=-3舍去， .P(4,21, 综上，点P的坐标为-2，-3或(4,21. 【点睛】本题考查了二次函数综合，结合一次函数解析式求解，勾股定理，一元二次方程计 算是解题的关键， 3.(1)A-1,0),B(4,0),C0,2 (2)点P的坐标是(2,3) (3)8g+25p=0 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、二次函数的平移、一元二次方程根与系数关系 等知识，综合性较强，难度较大，属于压轴题. (1)分别取x=0和y=0即求出点A,B,C的坐标； (2)延长PC,交x轴于D点，求出D-4,0).待定系数法求出直线CD的解析式是 y=+2.联立抛物线，得：++2=)+2，解方程即可求出答案 1 2 2 (3)抛物线G的对称轴是直线x=3, 月将C向左平移个单位长度后的敬物线C的解称 答案第1页，共2页 1 25 式为y=-5x2 联立抛物线解析式和一次函数解析式并利用根与系数关系即可求出答 2 8 案。 【详解】(1)解：y= r 3 *2 当x=0时，y=2, .C(0,2, 当y=0时，-x+3x+2=0, 3 22 解得：x1=-1,x2=4, A-1,0,B(4,0: (2)如图，延长PC,交x轴于D点， VA :P0∥OC, B .∠CPQ=∠DCO, :∠CPQ+∠ABC=90°，∠DC0+∠CD0=90°， ∠CD0=∠ABC, :CD=CB 0D=0B=4, D-4,0). 设直线CD的解析式是y=kx+2(k≠0)，将D点坐标代入得到0=-4k+2(k≠0) 可得k=2 1 1 直线CD的解析式是y=2+2. 联立抛物线，得：一 r+)x+2 12.3 1 2 +2, 解得：x1=2,x2=0（舍去)， 答案第1页，共2页 即：点P的坐标是(2,3). (3):y=-x2+2x+2= 1。 2 抛物线G的对称轴是直线x一 将C向左平移？个单位长度后的抛物线G,的解析式为 25 y=- 21 8 联立直线EF和抛物线C,可得：-一x 2 25=k 8 x2+26x-25=0. 4 设E,F两点的横坐标分别为e,f,则e可=-25 4 设M,N两点的横坐标分别为m1,同理可得：m=-2 ∴efimn=62s 16 设直线EN的解析式为yEw=kx+g(k;≠O),联立抛物线C2, 鉴可得：+2r2g-）-0,所以m-28空 同理，设直线MF的解析式为yMF=kx+h(k,≠O), mM=2h-25 :efmn ·g和h是关于z的一元二次方程z2+pz+9=0的两个实数根， ∴.g+h=-p,gh=9 即：8g+25p=0. 4.(1)A-6,0),B1,0,C0,-3 (2)-4,-5 阅点P的碳坐标是定值，为多 【分析】(1)分别令x=0,y=0,即可求解： 答案第1页，共2页 2》直线C的解所武为y=一号-3，设应8的坐标为写+m-小，则 m-3 过点C作CK⊥y轴交DE于点K,则点K的纵坐标为-3，根据 ∠DEC+∠BAC=90°，可得到∠DCK=∠ECK,可证明△DCK≌△ECK(ASA),从而得到点 K为DE的中点，即可求解： (3)证明aCOF为等腰直角三角形，即∠OFC=45°，再求出抛物线C,的解析式为 y=x2+2x-3,直线CF的解析式为y=-x-3,分别过点M,N作MG⊥x轴，NH⊥x轴， 垂足分别为点G,H,设直线MN交x轴于点Q,设点Ni,P+2t-3,M(s,s2+2s-3, 可得到直线FN的解析式为y=(t-1)x+(31-3,根据△CPF∽△MPN,可得 ∠FCP=∠PMN,从而得到CF‖MN,可证明△MQG,NHQ均为等腰直角三角形，从而得 到MG=QG,HN=HQ=t2+2t-3,可得到s2+2s-3=t-s+t2+2t-3,从而得到s=-t-3 ,点M-t-3,2+41),再求出直线CM的解析式为y=(-1-1)x-3,从而得到 -1-1)x-3=(t-1x+31-3,即可求解， 【详解】(1)解：当x=0时，y=-3, 点C(0,-3), 当时方+-3=0 解得：x1=-6,x2=1, 点A-6,0),B(1,0): (2)解：设直线AC的解析式为y=x+b, 把点A-6,0),C(0,-3)代入得： 1 「-6k+b=0 k=- 2， 1b=-3 解得： b=-3 .直线AC的解析式为y= 2-3, 设点E的坐标为mrm+m-则mm-3小 1 5 2 过点C作CK⊥y轴交DE于点K,则点K的纵坐标为-3， 答案第1页，共2页 :ED∥y轴， .CK⊥DE,CK∥x轴，即∠CKD=∠CKE=90°， .∠DEC+∠ECK=90°，∠BAC=∠DCK, :LDEC+∠BAC=90°， .ZBAC ZECK, ∠DCK=LECK, .CK=CK, :△DCK≌△ECK(ASA, .DK=EK,即点K为DE的中点， :)m2+云m-3+黑 2m-3 解得：m,=-4,m2=0（舍去)， 点E的坐标为-4，-5)； (3)解：点P的横坐标是定值，为 21 根据题意得：点F(-3,0),则0F=OC, ·△C0F为等腰直角三角形，即L0FC=45°， 设抛物线C2的解析式为y=ax2+bx+c, 把点F(-3,0),B1,0),C(0,-3)代入得： 9a1-3b+c=0 a,=1 a1+b+G=0,解得：b=2, G=-3 G=-3 答案第1页，共2页 ∴.抛物线C,的解析式为y=x2+2x-3, 同理直线CF的解析式为y=-x-3, 如图，分别过点M,N作MG⊥x轴，NH⊥x轴，垂足分别为点G,H,设直线MN交x轴 于点Q, 设点N(1,2+2t-3,Ms,s2+2s-3), F(-3,0), 直线FN的解析式为y=(t-1)x+(31-3), :△CPF∽△MPN, LFCP=∠PMN, :CF Il MN, ∠OQM=∠OFC=45°， △MQG,NHQ均为等腰直角三角形， .MG=OG,HO=NH=12+2t-3, .s2+2s-3=t-S+t2+2t-3, s2-t2=3t-3s,即(s+t)(s-t)=3(t-s, 根据题意得：t≠S, .s+1=-3, 即s=-t-3, .点M-t-3,2+4t, 同理直线CM的解析式为y=-1-1)x-3, 答案第1页，共2页 y=（-t-1)x-3 联立 =-1x+3-3到得：（-1-r-3=-1x+31-3, 解得：x=-3」 2 即点P的横坐标是定值，为3 2 【点晴】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，三角形相似的性 质，平行线的性质，两直线的交点等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标 和相关线段的长度， 5.(1)A-a,0),C1-a,1-a (2)见解析 OA·HA 3OC.KA) R为定位得 【分析】(1)将y=0代入y=x2+ax求出A(-a,0);联立y=x2+ax和y=x即可求出 C(1-a,l-a); (2)如图，过点P作PB⊥x轴于点B,首先得到∠POC=90°，求出KO=KP=KC=PC ,得到∠KOP=∠KP0,然后得到LBP0=45°，推出LKOB=∠KPB;然后求出 P(-a-1,a+1),由中点坐标公式得到K(-a,1),得到KA⊥x轴，然后结合三角形内角和定 理即可证明； (3)如图，设⊙Q与直线y=x相切于点B,连接BQ,O0,CQ,过点Q作QD∥y轴交 直线y=x于点D,设Qt,t2+at,则Dt,),得到DQ=t-t2+at)=-t2+t-at,利用 △C0Q的面积得到DQ:=0C-B0,表示出BQ,利用二次函数的性质求出B0的最大 值为5(a-,即R-2(a-,然后证明出H4KK40,得到HA.OA=K4=1, 8 8 OA.HA.R求解即可. 然后求出0c=1-a2+1-a2=2(a-12,最后代入0cK42 【详解】(1)解：：抛物线y=x2+ax .当y=0时，0=x2+a 答案第1页，共2页 解得x=0或x=-a A-a,0): y=x2+ax 联立y=x2+ax和y=x得， y=x 解得x=0或x=1-a 将x=1-a代入y=x得，y=1-a .C(1-a,l-a: (2)解：如图，过点P作PB⊥x轴于点B, B 口H/A :直线y=x .LA0C=459 :△P0C的内心在x轴上， .∠P0A=∠A0C=45° .∠P0C=90° :K为PC的中点， :KO=KP=KC=LPC .∠KOP=∠KP0 PB⊥x轴 .POB是等腰直角三角形 .∠BP0=459 ∠KOP-∠BOP=∠KP0-∠BPO .∠KOB=∠KPB; :∠P0A=45° 答案第1页，共2页 OP所在直线表达式为y=-x y=x2+ax 联立y=-x和y=x2+ar得， y=-x 解得x=0或x=-a-1 .P(-a-1,a+1 :C(1-a,l-a,K为PC的中点， 2 2 即K(-a,I :A(-a,0) .KA⊥x轴 .∠KAH=∠PBH=90° :∠KHA=∠PHB .∠HKA=∠HPB :∠KOB=LKPB .∠KOA=∠HKA: (3)解：如图，设⊙2与直线y=x相切于点B,连接BQ,OQ,CQ,过点Q作QD∥y轴 交直线y=x于点D, y D B 设Qt,2+at,则D(t,) 答案第1页，共2页 .Do=t-(12+at)=-12+t-at 0(0,0),C1-a,1-a S coo=S.poo+S.oce=DO :⊙Q与直线y=x相切于点B, .BQ⊥OC :S.cow=50C·B0 2 B0-D0:&=D0-5D0 OC OC 2 2 <0 2 :当t=1,“时，80取得最大值5(a- 2 8 :⊙Q的最大半径为R ∴R=2(a-12 8 由(2)得，∠KOA=∠HKA 又：∠HAK=∠KA0=90° △HAKn△KAO 烂品 .HA.OA=KA2=1 C1-a,1-a 0c2=(1-a)2+1-a)2=2a-12 2(a-1)2 :.OA.HA.R= R 8 2 (0C·K42 00- 2(a-1216 答案第1页，共2页 OA·HA (0CK4 ·R为定值 16 6.0)y=-2 +2x+2 3 23v3 2 32146 (3)-3,5)或 -7’49 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与面积，线段和的 最小值问题，角度问题，作出合适的辅助线是解本题的关键。 (1)利用待定系数法确定二次函数解析式即可得到答案； (2)根据面积可得S四边形4CPB=S。4Bc+SBCp=5+S,BCp,转化为三角形BCP面积的最大值， 过P作PH⊥x轴交BC于H,再根据S,Bcp=S,BPH+ScPH=2PH=-x2+4x求最值，得到 P(2,3),再设E ,O,连接EM,易得EM=BN,再由PM+BN=PM+EM≥PE求解即 可； (3)由题意得，新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到，解得 新抛物线方程为y=-1x2_ x+2,再在OB上取点F,且OF=OA,作F关于直线BC对 2 2 称点G,先证LCA0=∠OCB,进而得到要使∠CAO-∠DCQ=45°，即∠DCQ=∠BCF, 再根情况求解即可， 16a+4b+2=0 a=- 【详解】(1)由题意可得 ，解得 2 b3 3 2a2 b= 3 所以抛物线解析式为y= 2 2+2x+2; 2 3 (2)由(1)知y=- x+号x+2, 2 C(0,2), 又点A8关于x号对称，且B140, 4B-0C=5, 1 :A-1,0),则AB=4-（-1=5,S△ABc= 又S图边形ACpB=S。HBC+S.BCp=5+S.BCP, 所以四边形ACPB面积最大时，即三角形BCP面积取最大值， 答案第1页，共2页 过P作PH⊥x轴交BC于H, :P在抛物线y=一 ++2.8l401.c02 :直线8C的方程为y=方+2，设p方 2r+2 5ao=5m+Sem=号PH-[4-刘+x-0l]=2PH=-+4r =-x-2)2+4≤4， :当x=2时，三角形BCP面积取最大值，即四边形ACPB面积最大，此时P(2,3), 设x=与销交于点7，在x上政点E,且在x=的左侧，使得ET=-08,连接EM, 则73 MN⊥y轴， :.MT=ON,BN=OB2+ON2=16+MT2,ME=ET2+MT2=16+MT2, :EM BN :PM+BN=PM+EM≥PE= 所以此时P2,到，PM+BN的最小值为3E (3)由题意知，原抛物线点B(4,0)平移到新抛物线点C(0,2), 所以新抛物线由原抛物线先向左移4个单位，再向上平移2个单位得到， +2平移后为=2. 8 1 5 即新抛物线方程为y=2 -二x+2, 2 如图，在OB上取点F,且OF=OC=2,作F关于直线BC对称点G, 答案第1页，共2页 F2,0, AC=J0+0C*=5,BC=V0C2+0B=25,4B=5, .AC2+BC2=AB2,则LACB=∠AC0+∠0CB=90°， 又∠CA0+∠AC0=90°， :.∠CA0=∠OCB, 0C=0F=2, △0CF为等腰直角三角形，∠0CF=45°， :∠CA0-45°=∠0CB-45°=∠BCF, ∠CA0-∠DCQ=45°， ∴.∠CAO-45°=∠DCQ,即∠DCQ=∠BCF, 故Q在CF延长线与新抛物线的交点上， 又F(2,0,C(0,2),CF=2√2， 所以直线FC的方程为y=-x+2,联立新抛物线y=-x2- x+2, 2 2 整理得x2+3x=0,解得x=-3或x=0, 所以此时Q的坐标为(-3,5)； :G关于直线BC对称， ∴.∠DCQ=∠BCG,CF=CG,又BC=BC, ABCF≌△BCG(SAS :BG=BF=2,点Q在GC延长线与新抛物线的交点上， 设Gx,y),则GC2=CF2=x2+(y-22=8①， GB2=BF2=(x-42+y2=4②， ①-②得：8x-4y-16=0,即y=2x-4③， 把③代入①得：5x2-24x+28=0, 答案第1页，共2页 解x=片或=2（金去，则c学》 148 8 2- 又C(0,2),则kcc= 5 3 0- 1414 5 所以直线GC的方程为y=-3 ax+2,联立新吻线y=二2x2一5号 2x+2, 整理得7x2+32x=0,解得x= 32或x=0, 32146 所以此时Q的坐标为 7’49 综上，存在点0，使∠CA0-∠DCQ=45°，Q的坐标为-3,5)或 32146 749 7.(1)y=- x2+x+4: (2)MQ-CQ的最大值为2√5； 3引或6. 【分析】(1)利用一次函数表达式求出A、B点坐标，在利用待定系数法求出二次函数解析 式即可； (2)过点M作MW∥y轴，交直线BC于N,假设出M、N的坐标表示出MN的长，求最大 值即可，延长CM交y轴于点Q,此时MQ-CQ的值最大，据此求解即可； (3)利用∠0BC=45°等量代换可找出有两个P点，①在x轴上取点D(2,0),延长BD交 抛物线于点P,推出∠OBA=∠OBD,利用等量代换可得∠OBA+∠DBC=45°，求出直线 BE与抛物线交点即可知P点坐标；②作CE⊥x轴，使CE=CD,连接BE交抛物线与点P ,推出∠OBA=∠OBD,进一步得∠OBA+∠DBC=45°，求出直线BE与抛物线交点即可知 ?点坐标 【详解】(1)解：令y=0,则2x+4=0,解得x=-2, .A-2,0), 令x=0,则y=4, .B(0,4), :抛物线y=ax2+x+c(a+0)经过A,B两点， 答案第1页，共2页 「c=4 c=4 4a-2+e=0解得a 1 =- 2 1 .y=- x2+x+4; 2 (2)解：过点M作MN∥y轴，交直线BC于N, B 令y0,则-2+x+4=0, 解得x=4或x=-2, .C4,0), 设直线BC的解析式为y=mx+4, 将C(4,0)代入得4m+4=0, 解得m=-1, .直线BC的解析式为y=-x+4, B(0,4,C4,0, .0B=0C=4, :∠B0C=90°， .△BOC是等腰直角三角形， :MN/y轴，ME⊥BC, .△MNE是等腰直角三角形， 当MN取得最大值时，ME的值最大， 设点Mm,-2 1 m2+m+4,N(m,-m+4), Mw-（2+m+4小-m4= m2+2m=-m-22+2, <0, 当m=2时，MW有最大值，即ME有最大值， 答案第1页，共2页 此时点M的坐标为2,4. 延长CM交y轴于点Q,此时MQ-C的值最大，为MQ-CQ=MC, M2,4,C(4,0), .MC=V2-4)2+(4-0)2=25, .☐MQ-CQ口的最大值为254V5口； (3)解： 或P(6,-8),理由如下： ①在x轴上取点D(2,0),延长BD交抛物线于点P, B P :B0,4),C4,0), .∠0BD+∠DBC=45°， 在AOB和△DOB中， OA=OD OB=OB ∠AOB=∠DOB .△A0B≌△D0B(SAS, 答案第1页，共2页 :∠0BA=∠0BD, .∠OBA+∠DBC=45°，即∠0BA+∠PBC=45°， 设直线BD的解析式为y=kc+b, 2k+b=0 将点B、D代入可得6=4 k=-2 解得 b=4 士4，将其与揽物线方程联立可得：)？+x+4 解之得：x=0,x2=6,当x=6时，y=8, P6,-8), ②作CE⊥x轴，使CE=CD,连接BE交抛物线与点R, D .CE llOB, LBCE=∠0BC=45°=∠DCB, 在△BDC和BEC中， ∠DCB=∠BCE DC=EC BC=BC △BDC≌△BEC(SAS), .∠DBC=LEBC, :∠OBD+∠DBC=45°且∠OBD=∠OBA,∠DBC=LEBC, .L0BA+∠EBC=45°， E(4,2)B(0,4, 答案第1页，共2页 同理，直线BE的解析式为y=-三x+4, 2 将其与抛物线方程联立可得：-】x2+x+4=- 2+4, 解之得：x=0,x2=3,当x=3时，y= 综上所运：P6-或P引 【点晴】本题考查一次函数，二次函数，动点问题，全等三角形的判定及性质，要求掌握待 定系数法求解析式，利用∠0BC=45°，进行等量转换是解(3)的关键. 80y=方++4 (②)当m=2,PD最大，且最大值为√2，P(2,4 (3)点M的坐标为1-V3,2W13-2或-3-√21，-6-2√2I) 【分析】(1)利用待定系数法解答即可： (2)过点P作PH⊥x轴，交BC于点H,交x轴与点N,先确定直线BC的解析式为： y=-x+4,设Pm,-m2+m+4,则H(m,-m+4,则 PH三-5m2+m+4+m-4=-m2 2+2m,利用配方法得到PH=m-2P+2,结合 2 PD=PHs血45=-m-2+5,根摆指物线性质解答即可， (3)根据题意，确定这是一个向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度的平移变换， 设平移后揽物线的解析式为y=:-1++号+1,1>0，确定解析式，取4C的中点K, 连接0K,交抛物线于点M,此时1-3,2V3-2);过点O作OM∥AC,交抛物线于点M ,此时(-3-√21，-6-221). 【详解】(1)解：：抛物线y=-x+br+c与x轴交于点A-2,0),B(4,0), 「-2-2b+c=0 b=1 -8+4h+c=0’解得 c=4 抛物线的解析式为y=-。x2+x+4: 2 1 (2)解：由抛物线的解析式为y=-。x2+x+4,得C0,4, 2 答案第1页，共2页 .0B=0C=4, .∠0BC=∠0CB=45°， 过点P作PH⊥x轴，交BC于点H,交x轴与点N, 则∠NHB=∠PHD=∠OBC=∠OCB=45°， pD=P阳sn45°=V2ph, 2 设直线BC的解析式为y=kx+p, 将B(4,0),C0,4代入直线BC的解析式得： =0,解得 k=-1 p=4 =4 直线BC的解析式为：y=-x+4. 设Pm-2+m+4,则H(m,-m+4), 则P阴=号m+m+4-(m+4到=m+2m=m-2+2 PD-p=- 2(m-22+V2 4 a= 0, 4 抛物线开口向下， 当m=2,PD最大，且最大值为√2， .P2,4); (》解：版摇题意，得y=方+x+4=x-+号 由抛物线y=-2r+x+c沿射线BC方向平移，且∠08C-∠0CB=45, 故设该平移变换是一个向左平移t个单位长度，再向上平移t个单位长度的平移变换， 答案第1页，共2页 放设平移后跑物线的解析式为=-+，号1,1>0， 由平移后的新抛物线经过点(0,6)时停止平移， 把点06代入得：0-1++3+1=6， 9 整理，得2-4t+4=0,解得1=2， 技平移后表物发的解断式为y=x++号.即y=-x+6, y M B 5 10x 2 M -8 10 取AC的中点K,连接OK,交抛物线y=- x-x+6于点M, 2 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得AK=OK, .∠CA0=∠A0M,符合题意， C0,4,A-2,0), .K(-1,2), 设直线OK的解析式为y=kx, 将K(-1,2)代入，得2=-k,解得k=-2, .直线0K的解析式为y=-2x, 1 1V= 2-x+6 联立，得 2 y=-2x 答案第1页，共2页 解得x=1-√13或x=1+3(舍去)， y=23-2,此时M1-3,23-2): 过点0作OM,∥4C,交抛物线y=-x-x+6于点M, 2 .∠CAO=∠AOM1,符合题意， 设直线AC的解析式为y=dr+n C0,4,A-2,0), 「-2d+n=0 n=4 ,解得 n=4 d=2' 直线AC的解析式为：y=2x+4. :OM,∥AC, .直线OM,的解析式为：y=2x. 联立，得 6 y=2x 解得x=-3-√21或x3√21（舍去）， y=-6-2V21, 此时M-3-V21,-6-2V21； 综上所述，符合题意的点M的坐标为1-√3,23-2或(-3-√21，-6-22. 【点晴】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二 次函数的平移，构造二次函数求线段的最值，直角三角形的性质，两点间距离公式，三角函 数的应用，熟练掌握抛物线的最值是解题的关键。 3 9.(1)y= 2 (25='2 2 (3)P(6,-4) 【分析】(1)先求出B5,0),再将点B5,0代入y=-x+hx+5可得b的值，即可得抛物 2 线的解析式： 答案第1页，共2页 2》作P71维于痘T,RLy轴于点，先求04=，可符P-+受+小， Ri4PT中，tan∠PAT=PT=2-2- 0A2 2.可得 AT t+2 :-50D,得出0D-5.CD:0D+OC:1,再由三角形面积公式求正 t+2 2 (3)作PR⊥y轴于点R,取CR中点G,连接FG,作HM⊥y轴于点M,FN⊥HM于点 N,先求得∠PDR=∠ROP.再证明△EMH≌△HNF(AAS.可得MO=3_13,-5. 4 4 unMHO-M0-5.wLOAD-OD-5 32-13 再列出方程求解即可. MH 0A2 5 【解1解：抛物线y=弓+bx+5交y轴于点C, .C0,5. 0C=5. ∴.0B=0C=5. B5,0. 2 +5b+5=0, 2 %: 超物线的解折式y=方式++5： 2 3 (2)解：y= +2x+5=0时， 解得：x=-2,x2=5. A(-2,0),即0A=2, 作PT⊥x轴于点T,PR⊥y轴于点R, 答案第1页，共2页 Rh 可得Pt, 3 2+2t+5 2 2 -3 Rt4PT中，am∠PAT-Pr-2-立-5 AT t+2 Rt△AOD中，tan∠OAD=OD_OD OA 2 0D, t+2 2 得出0D=t-5. .CD=OD+0C=t. Sacm-CD-PR. 2 (3)解：作PR⊥y轴于点R,取CR中点G,连接FG,作HM⊥y轴于点M,FN⊥HM于 点N,得矩形OBHM,矩形MNFG, A/Gh-- 不 →.PR∥AB. .∠APR=∠BAP, :∠APQ=2∠BAP, .∠APQ=2∠APR, .∠APR=∠QPR, 答案第1页，共2页 PR⊥y轴， ∴.∠PDR=∠ROP. :.PD=PQ.FG=PR=It. EQ=3DE,得出DE=ER. :EG-RG-RE=1CR-1DR=1CD=11-FG. 1 1 2 .LGEF=∠GFE=45°. :LFEH-LFHB=45°. 设∠FHB=a, .∠FEH=∠EFH=45°+a. :EH FH. △EMH≌△HNF(AAS. M0=E0-EM=3D0-EM=3_131-5. 4 44 3,21 Rt△MHQ中， M-44 -5 tan∠MHg= MH 5 RtaA0D中，tan∠OAD=OD_1-5 OA2 32_13， t-5 44 t-5. 5 2 5=6,t2=3 （舍). P(6,-4). 【点晴】本题考查了抛物线的解析式，用点的坐标表示三角形的面积，全等三角形的判定和 性质，解直角三角形等内容，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定和性质，解直角三角 形，正确作出辅助线。 10.(1)y=-x2+2x+3 (3)证明见解析，定点坐标 【分析】(1)使用待定系数法求出抛物线解析式即可； 答案第1页，共2页 (2)作PG1AB,垂足为G,设点P坐标为t,-12+2t+3,可得BG=t+1, PG=42+21+3孔.容易证明*BODABGP,则C=0=3,根据点P在X轴上下方分 PG BO 别计算出坐标即可； (3)设点E坐标为x,),点F坐标为(x2,2),联立直线与抛物线的方程，根据一元二次 方程根与系数的关系求出x,+x2=2-m,xx2=n-3,使用待定系数法求出直线CE的解析 式为y=-xx+3+2x,,从而得到点M的坐标为0,3+2x),同理点N的坐标为 (0,3+2x2),结合OM·0N=3,求出m和的关系，进而求出定点的坐标. 【详解】(1)解：将B(-1,0),C(2,3)代入y=ax2+bx+3,得， 0=a-b+3 3=4a+2b+3' a=-1 解得b=2' .抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：作PG⊥AB,垂足为G,设点P坐标为(1，-t2+2t+3, ①当点P在x轴上方时，如图， 将x=0代入y=-x2+2x+3,得y=3, 点D坐标为(0,3)， :PG⊥AB, Xp=x6=t,∠BGP=90°， .点G坐标为t,0), 答案第1页，共2页 .BG=t+1,PG=-t2+2t+3, :∠ABP=∠BD0,∠B0D=∠BGP=90°， .△B0D∽△BGP, 品 :D0=3,B0=1, .BG 3PG .t+1=-3t2+6t+9, 化简，得32-5t-8=0, 解%1或- 当t=-1时，点P与点B重合，故舍去， 8 811 1=氵，此时点P坐标为3g): ②当点P在x轴下方时，如图， V 同理①可得，BG=t+1,PG=--t2+2t+3=t2-2t-3,且BG=3PG, .t+1=3t2-6t-9, 化简，得32-7t-10=0, 或1=】（点P与点B重合，舍去， 解得，1=10 1=10 ,此时点P坐标为 1013 399 811 .1013) 综上所述，点P坐标为39)或39 (3)解：设点E坐标为x,),点F坐标为x2,y2), 当直线EF与抛物线相交时， mx+n=-x2+2x+3, 答案第1页，共2页 化简，得x2+(m-2)x+n-3=0, 由韦达定理可得，x+x2=2-m,xx2=n-3, 设直线CE的解析式为y=kx+b, 将C2,3,E(x,y)代入y=kx+b,得， [3=2k+b y=kx1+b’ 6=当-3 x-2 解得， 4=3-21-3)' x-2 点E在抛物线上， y1=-x2+2x+3, 变形，得少-3=-x(x-2), k=当3 X-2 -%,4=3-20%-到=3+2x, 七-2 ∴直线CE的解析式为y=-xx+3+2x1, 将x=0代入y=-xX+3+X1,得y=3+2x1, 点M的坐标为0,3+2x), 同理可得，点N的坐标为0,3+2x2), :点M在y轴正半轴，点N在y轴负半轴， .0M=3+2x1,0N=-(3+2x2), :0M.0N=3, (3+2x)3+2x2）=-3, 化简，得4x2+6x1+x2+12=0, x1+x2=2-m,xx2=n-3, .4n-12+12-6m+12=0, 答案第1页，共2页 3 .n=。m-3, 2 3 .直线EF的解析式为y=mx+。m-3, 当x=-3时，y=-3m+3m-3=3为定值， 33 2 2 :直线EF过定点 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析 式，相似三角形的判定与性质，解一元二次方程，熟练掌握函数与方程的关系是解题关键. 11.(1)y=2x2 4 (2)8 (3)y=2x+4或y=-2x+4. 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式、二次函数与角度综合、二次函数与线段的综合 等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键， (1)直接将T14 代入y=ax2求得a的值即可解答； 2由题准可C04小、4》8车 再运用待定系数法可得直线AB的解析 式为y=+龙x-,再结合点C0,4可得xx,=-16;再求得直线OB的解析式为 4 4 y=子，再根据对称性可得（行）关于y维的对称点c在直线冬上， 代入可得x2=-x,易得x=-4,x2=4,即A-4,4),B(4,4),再求线段AB的长度即可： (3)如图：设直线AB的解析式为y=x+4, Px, 则0(x,kx+4), 。易得P0三+4一名=24级+4=x-2+4+k,即当2时，0有最大 4 值4+k2,再根据PQ有最大值为8列方程求得k的值即可确定 直线AB的解析式 【详解】(1)解： 将7)代入=a心可得ax,:a子 4 41 所以抛物线的解析式为y=x。 4 (2)解：0C=4, 答案第1页，共2页 C0,4, :抛物线上两点Ax,y),B(x2,y2), 设直线AB的解析式为y=c+b, x足=+b k=+x2 ,解得： 4 -=kx2+b b=-5 4 “直线AB的解析式为y=+x- 4 4 :直线AB与y轴交于点C, -5=4,即x2=-16: 4 设直线0B的解析式为y=kx,则女=xk,解得：片=， 4 4 :直线OB的解析式为y=x, 4 :∠A0C=∠B0C, OC是∠A0B的角平分线， 直线OA、OB关于y轴对称， 设45)关于y轴的对称点D在直线受上， .上x=-2x,即x2=- 4 xx2=-16, .x1=-4,x3=4, A-4,4),B(4,4, .AB∥y轴， .AB的长为4--4=4+4=8. (3)解：如图： 答案第1页，共2页 xx2 设直线AB的解析式为y=+4,Px4 则2(x,kx+4), P0=+4-手=4r-4)+4=x-2+4+2, 当x=2k时，P9有最大值4+k2, :PQ有最大值为8， 4+k2=8,解得：k=±2， .直线AB的解析式为y=2x+4或y=-2x+4. 12.(1)y=-x2+4x-3 a得】 (3)过定点，（2,0】 【分析】()用待定系数法求二次函数的解析式： (2)延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE,可得∠AF0=LAE0,根据等角对 4 等边可得OF=0E=行，利用待定系数法求出直线4F的解析式，联立直线4F与抛物线的 解析式，解方程即可求出点D的坐标： (3)设点M的坐标是m,-m☐+4m-3)、点N的坐标是n,-n+4n-3),可得直线MN的解析 式是y=(4-m-nx+mn-3,根据直线GM、GN、抛物线有公共交点，可得点G的坐标 从而可得mn=2m+2n-5,即直线MN的解析式是 y=(4-m-nx+2m+2n-8,根据解析式可知直线MN过定点(2,0). 【详解】(1)解：把点A1,0)的坐标代入y=-x2+bx-3, 可得：-1+b-3=0, 解得：b=4, 答案第1页，共2页 :抛物线的解析式为y=-x2+4x-3; (2)解：当x=0时，y=-x2+4x-3=-3, :点C的坐标是(0，-3， :0C=3, 如下图所示，延长DA交y轴于F,在OC上取点E,使CE=AE, 设CE=AE=t,则OE=3-t, 在Rt△AE0中，OE2+OA=AE2, .12+(3-t2=t2, 解得：1=3」 3’ :0B= 3AE= 3, :LACE+LCAE=LAEO,∠EAO=∠ECA, :∠AE0=2LAC0, :∠DAC=3LAC0,∠DAC=∠AC0+∠AF0=3∠AC0, :∠AF0=2∠AC0, :ZAFO=ZAEO, 4 ..OF=OE= 点F的坐际是0，B :点A的坐标是L0、点F的坐标足(0)】 设直线AF的解析式是y=kx+b(k≠O), k+b=0 可得： 4 b= 3 ·直线AF的解所式是y三一？r大4 31 44 y=- x+- 联立 33, y=-x2+4x-3 13 解得：x=山=3’ 答案第1页，共2页 1340 :点D的坐标是 3’9 D C (3)解：设点M的坐标是m,-m+4m-3)、点N的坐标是n,-n☐+4n-3), 设直线MN的解析式是y=kx+b(k≠O), mk +b =-mC4m-3 可得： nk+b=-nC+4n-3’ 解得： k =4-m-n b=mn-3’ :直线MN的解析式是y=(4-m-nx+mn-3, 设直线GM的解析式是y=k2x+b2 y=kx+b, 联立 y=-x2+4x-3 x2+(k2-4x+b2+3=0, :直线GM与抛物线只有一个交点， ：一元二次方程x2+(k2-4)x+b,+3=0有两个相等的实数根， m+m=4-k2 mm=b2+3’ [k2=4-2m b2=m2-3' :直线GM的解析式是y=4-2m)x+m2-3, 同理可得直线GN的解析式是y=(4-2n)x+n2-3, 解方程4-2mx+m2-3=(4-2nx+n2-3, 答案第1页，共2页 可得：x=m+n 2 ·点G的坐标是 (m+n.2m+2n-mn-3 2 :点G的坐标是(，2)， .2m+2n-mn-3=2, mn=2m+2n-5, :直线MN的解析式是y=(4-m-n)x+2m+2n-8, 当x=2时，可得：y=(4-m-n)x+2m+2n-8=0, :直线MN过定点(2,0). 【点晴】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次 函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求 解. 13.@0+4+号 7 ,△ACP的面积有最大值4 ③N点坐标为而0+}或6+6，-6 【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可； 2过r点作P0y镇交C于点@，设P++引，则Q宁+引 S.c=- +引+当=子时，△40P的面有大值沿时P子， 7)2 求出直线PB的解折式为y子+子，即可求M0,》 4 (3)求出平移后的函数解析式为y=x-)-2,再分别求出直线GF的解析式为V=x-3 ,直线HB的解析式为y=x+I,H(5,6),过点G作x轴的垂线与HF的延长线交于K点，与 x轴交于L点，过点G作GE⊥HK交于E点，过点C作x轴的平行线CT,过点N作 NT⊥CT交于T点，推导出∠NCA=LBFE,先求K(L,-6),再由△LKFAEKG,得到KE=3EG, 根据GK=4,推导出am∠GFE=方当N点在C点上方时，∠NCT=45,设 Nn-P-2,求出N-而而+》：当N点在c点下方时，设灯与直线4C交于 答案第1页，共2页 Ng14C交于R点，R出s而子而，则sc5 ,利用等积法求NR=32,可得 CR=2,设Rx,2x+2 求出点R 210V10,7 5’5 则直线NR的解析式为 -2-而+， 设N点关于直线AC的对称点为W' -2n-V0+ 根据CN=CN', 2 10 7V10,7 求出W 5 5”2 则直线CV的解析式为y=-7x+了，直线CV与抛物线的交点为 【详解】(1)解：B(-l,0), 0B=1, OA=70B, 4A(-7,0), :tan∠CAB=2' 1 :0c、1 OA2’ :.0C=2 7 c0), 将A、B、C三点代入y=ax2+bx+c, - 3a-b+c=0 49a-7b+c=0 1 a-2 解得b=4, :抛物线的解析式为y=弓+4红+子 7 (2)解：设直线AC的解析式为y=:+7 答案第1页，共2页 7 -7k+5=0, 2 解得k=2' 1 1、7 ·直线AC的解析式为y=2+2' 过P点作PQ∥y轴交AC于点Q,如图1， B 图1 7) (1 7 2 16 上当=子时、△4CP的面车最大监治.此时P子设》】 设直线PB的解析式为y=x+b', -k'+b=0 k'+b= 7 35 2 8 解得 4 b=4 :直线PB的解析式为y=4x+ 7 7 4 (3)解：设抛物线沿x轴正半轴方向平移2m个单位，则沿y轴正方向平移m个单位， 平移后的函数解新式为+4-2m十加 :经过点B, 答案第1页，共2页 0=-1+4-2m- 2+m, 解得m=0（舍)或m= 1 平移后的函数解析式为y=（x-)-2, 当y=0时， 26x-2-2=0, 解得x=-1或x=3, .F3,0), G是顶点， G(1,-2), :直线GF的解析式为y=x-3, :BH∥FG, :直线HB的解析式为y=x+1, 当x+1=x--2时，解得x=5或x=-1, H(5,6), 过点G作x轴的垂线与HF的延长线交于K点，与x轴交于L点，过点G作GE1HK交于E点， 过点C作x轴的平行线CT,过点N作NT⊥CT交于T点，如图2， 直线BH与y轴的交点(O,1),OB=1, A 图2 .∠HBF=45°， LF=2,GL=2, :∠BFG=45°， :∠BFE=∠HBF+∠BHF=∠FBG+∠BHF, 答案第1页，共2页 :∠NCA=∠FBG+∠BHF, ·LNCA=∠BFE, :直线HF的解析式为y=3x-9, K1,-6), :△LKFAEKG, 袋品即是品 :KE =3EG GK=4, GE2+(3GE)2=GK2, EG=2v10 5 EK=610 5 :KF=210, FE=4v10 六6G5E= 当N点在C点上方时， :TC∥AB, .∠NCT=∠CAB, tCAB- .∠ACT=∠GFE, .∠NCT=45°， 意--. -aa--2 1 解得n=√10（舍）或n=√o, N而o+: 当N点在C点下方时，设NT与直线AC交于S点，过N点作NR⊥AC交于R点， .s-vi6.--2v8), 答案第1页，共2页 :Sc=52 2 xx而=)x5N, 22 .NR=32, ,tan∠NCR=3, ..CR=2, +-2 解得x=210 5 R 2w10107} 5,5+2 :直线NR的解析式为y=-2x-0+, 设N点关于直线4C的对称点为N0,-2n-而+)， CN =CN', 2W5=Vm2+(W10+2m, 解得n=0或n=0(舍)， 5 .N' V10710,7 5 52 :直线CW的解析式为y=-7+子， 当-7x+号--2时，解得=6+6或=6-6《舍： 综上所述：N点坐标为而而+)或(6+6，-46 【点晴】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数图象平移，平行线的判定，相似三角形 的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的图象及 性质，直角三角形的性质，轴对称的性质是解题的关键 14.(1)y=-x2+2x+3 答案第1页，共2页 or (地物线上存右点P,点P的坐标为P2动或P号号》 【分析】(1)将点B3,O),点D(2,3)代入抛物线y=-x2+bx+c,用待定系数法求解即可； (2》作PE00,求出0D的解折式y=,设PE的解析式为y= x+b,联立得 含+6=42x43,化简，有-+6-3=0，行a-(月-4b-列=0，解得6-铝·得直 线的解折式为y+·可得P8》 3)求出C0,,得0B=0C=3,∠C80=∠Bc0=l80P-∠B0C=45°，将△40C绕 点0顺时针方向旋转90°，至aA0B,则A0=AO=1,∠AC0=∠AB0,得A(0,),求出 直线BP的解析式为y=+1,联立二次函数解析式，解方程组可得P( 211 此时使 3'9 ∠CBP+∠ABO=∠CBP+∠ACO=45°，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交 于点F,四边形OBFC为正方形，作A关于BC的对称点G,点G在CF上，作直线BG, 得GF=0A=1,CG=2,BF=0C=3,得G(2,3),与点D重合，得点P(2,3)在抛物线上. 【详解】(1)解：：点B(3,0),点D(2,3)在抛物线y=-x2+bx+c上， 「-9+3b+c=0 -4+2b+c=3' b=2 解得 c=3' :该抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：作PE∥OD,如图所示： 设OD的解析式为y=x, 答案第1页，共2页 将D2,3)代入：得= :0D的解析式为y=2x, 3 3 设PE的解析式为y=x+b 联立直线PE与抛物线解析式有 3 +6 y=-x2+2x+3 2x+b=-+2x+3, 化简。得r-方+b-30. 4=4-=0 解得b=49 6 349 .直线PE的解析式为y=三x+ 216 3 49 y=一x+ 联立 216, y=-x2+2x+3 1 X= 解得 4 55 y=16 (211 (3)解：存在2)或P号) 理由： 对y=-x2+2x+3,令x=0,则y=3, .C(0,3, B3,0, .0B=0C=3, 2∠CB0=∠Bc0-l80-∠B0C=45, 将△A0C绕点0顺时针方向旋转90°，至。A0B,如图2所示： 则A0=A0=1,∠AC0=∠AB0, A(0,), 答案第1页，共2页 由题意知直线BP过点A,设直线BP的解析式为y=mx+n, 将B(3,0),A0,1),代入， 得 n=1 3m+n=01 1 1m= 解得： 3, n=1 1 :直线BP的解析式为y=-。x+1, 3 y=-x2+2x+3 联立 1 y=-3x+1 2 x=3 解得： (舍去)， 11 y=0 y=9 此时使∠CBP+∠ABO=∠CBP+∠ACO=45°， B 图2 如图2所示，过C作CF∥x轴，过B作BF∥y轴，CF与BF交于点F, 则四边形OBFC为正方形， 作A关于BC的对称点G, 由对称性知，点G在CF上， 作直线BG, 则直线BG与抛物线的交点满足条件， :.GF=0A=1,CG=CF-FG=3-1=2,BF=0C=3, G(2,3),与点D重合， :点D(2,3)在抛物线上， 答案第1页，共2页 ∴.P(2,3). 抛物线上存在点P,使LCBP+LAC0=45°，点P的坐标为P2,3)或P-2,川 3’9 【点晴】本题考查了二次函数综合.熟练掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的判定 与性质、一元二次方程的应用，正确构造辅助线，是解题的关键. 答案第1页，共2页