安徽芜湖县第一中学2025-2026学年高二下学期4月质量检测数学试题

高二数学 满分：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息 条形码粘贴区。 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹签字笔书写，字体 工整、笔迹清晰。 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无 效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.已知函数fa)=cosx,则f'(写） A-9 c-日 2.已知等差数列{an}中as=l0,其前n项和为Sm,则Sg= A.80 B.90 C.100 D.110 3.在(1十x)(1+2x)5的展开式中，含x3的项的系数为 A.90 B.100 C.110 D.120 4.已知直线：x+2y十1=0与l2:a十1)x十y十2=0，则“a=-2”是“1，，”的 A.充分且不必要条件 B.必要且不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.已知4名女孩，2名男孩排成一排照相，则男孩不在两边的排法一共有 A.144种 B.200种 C.224种 D.288种 双叫线C:专ab>0的左右焦点分别为F,E,过点； 线C的一条渐近线的垂线，垂足为P,满足△POF:的面积为，其中O为坐标 原点，c为双曲线的半焦距，则双曲线C的离心率为 A.√2 B.3 C.2 D.√5 【高二数学第1页（共4页）】 7.已知不等式ax一x一lnx≥0对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围为 A.[1,+o) B.2,+四 c.1+,+∞ D. 8.已知三棱台ABC一A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC,AA1=CC1=√10， A1C1=2AC=4,底面ABC满足AB=BC且∠ABC=90°，点M在棱A1B1上 运动，则点B到平面AMC1的距离的最大值为 号 B16 2 c 2图 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知(3x一1)”=a0十a1x十a2x2十…十amx”,且第4项与第7项的二项式系数相 等，则下列说法正确的是 A.n=9 B.展开式中的系数和等于二项式系数和 C.a1+a3+a5+a7十ag=28+2X48 Dg++…+-0 3n 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过点F的直线1与抛物线C 交于A(x1,y1)(y1>0),B(x2,y2)两点，O为坐标原点，则下列说法正确的是 A.p=2 B.若AF=4,则y1=4 C若BF-8,则AF=3 D.若直线1的斜率为3，则△OAB的面积为3 an十2，n为奇数， 11.已知数列{am}满足a1=1,am+1= 若bn=a2m-1,cn=a2n,数列 3am,n为偶数， {am}和{bn}的前n项和分别为S和Tm,则下列说法正确的是 A.b4=105 B.c10=4X39-3 C.T100=2X3100-302 D.S2026=4X31013-4058 【高二数学第2页（共4页）】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0),直线l:y=x+1与圆C的交点为A,B.若 AB=2√2，则r= 13.在(x2十x一2)的展开式中，含x4的项的系数为 14.已知正整数严格递增数列a1,a2,…,a6中，满足a1=1,a6=n,且数列中各项数 值为奇数的个数与数值为偶数的个数相等.若满足条件的不同数列的个数为 36,则n的值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) (1)计算A十C。·C8的值； (2)若C?十C=C+1,求n的值. 16.(15分) 已知数列{an}满足am+1一am=2”,a1=1. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn=十1 ，求数列bn}的前n项和Sn. anan+1 17.(15分) 已知右图是由两个全等的梯形ABCD和EFCD沿着公共边CD折叠而成的 立体图形，其中AB,/CD,AB=BC=AD-2CD=2. (1)证明：CD⊥BF; (2)若BF=3,点M为CD的中点，求直线BM与 平面CDEF所成角的余弦值. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 大y2 马如椭圆C。>b>0的离心率为椭圆C的左右顶点分别 A1,A2.过点(1,0)的直线l与椭圆C的交点分别为M(x1,y1),N(x2y2),当直线L 垂直于x轴时，MN=2√5. (1)求椭圆C的方程； (2)直线A1M的斜率与直线A1N的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该 定值；如果不是，请说明理由； (3)直线AM与直线A2N的交点为P,过坐标原点O作平行于直线A2N的 直线与直线A1M相交于点Q,求OQ·OA2的值. 19.(17分) 已知随数fe)=c-1e,ge)=lc-ax2+分 (1)求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)若g(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a=0时，证明：f(x)>g(x)-1. 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 选择题：1-8题，每题5分；9一11题，每题6分，共58分。 1 2 3 5 6 8 9 10 11 A ABC ACD AC 填空题：每题5分，共15分。 12.2 13.-180 14.10 15.【答案】(1)87(6分) (2)n=6(7分) 【解析】(1)A号=7X6=42,…。 …2分 c=C。=10X9=45.C=1, 2 …5分 故原式=87； …6分 (2)等式C+C=C4+1, 整理可得m-D+nn-1)n-2)_（十1)m(n-1)m-2) 2 3×2 4×3×2 ………………………9分 计算可得12十4(n-2)=(n十1)(n-2),…11分 整理可得n2一5n-6=0,可得n=6,n=-1(舍去).… …13分 16.【答案】(1)an=2”-1(7分) @)8=1成5吉s分 【解析】(1)a2-a1=2,a3一a2=22,…,an一am-1=201,…3分 叠加可得an-a1=2十22十…十2-1，…5分 整理可得0，=1+2+2+…十21=1-2 1-2 =2-1;…7分 (2)b,=0,十1 2 1 1 00+1(2”-1）(2+1-102°12+-？…11分 1,11 1 1 可得5。=b+b:十…+b.=1-3十3-7十…十2一2*--1 2n+1-1 ，…15分 17.【答案】(1)见解析(6分) (2) 9分 【解析】(1)取点G为CD上一点，CG=1,连接FG,BG, 因为在梯形EFCD中，∠FCD=60°， 所以FG⊥CD,BG⊥CD,FG∩BG=G,…4分 可得CD⊥平面BFG,所以CDLBF;… 6分 (2)计算可得FG=BG=√3，BF=3, 利用余弦定理可得cos∠FGB=FG+BG2-BF 2FG·BG 2 所以∠FGB=2 …7分 如右图所示，以GB为x轴，以GD为y轴，以过点G垂直于平面ABCD为之轴， 可得B50,0).C0-1,0.r(90,2D030.E(2,2》点M0,1.09分 i=(-51,0).C=04,0.C=(1,) 设平面CDEF的法向量为n=(x,y,之)， G M 【高二数学参考答案第1页（共6页）】 B CD·n=0 y=0 所以 c京.n 计算可得 号+y+=0 3 所以平面CDEF的一个法向量为n=(W3,0,1),… …11分 BM·n 3 设直线BM与平面CDEF所成角为0，sin0 BM·n 4 …13分 所以cos9=7 4 …15分 18.【答案】(1) 5+器-16分) (2) 专6分 (3)24(6分) 【得】0烟为离心率为套可得- a31 直线l垂直于x轴时，|MN|=2√5， 1+y2 所以当=1时。+若=1，整理可得C:y=6(1-) …3分 所以2弘-=25，解得a2=16.b2=16 31 x2,3y2 可得椭圆C的方程为616=1；………………四 …5分 (2)可知A1(-4,0),A2(4,0), 设直线l的方程为x=ty十1， (x=ty+1 联立x2,3y2 =1可得2+3)y2+20-15=0, 1616 2t y1+y2= t+3 可得 15 y1y2=一t2+3 直线A1M、A,N的斜率分别为A,MkA1N, 4 X_y2 yiy? 所以AN=十X41十4)，十… …8分 由于=，+1 z2=ty2+11 所以，十4)c+40=,+50y:+5)=+5r(++25=(3)+5r(3)25 75 t2+3 1 代人式子可得kw·kN=-万；…11分 8)直线A,M的方程为y=升C十)，直线AN的方程为)=一4. 两条直线联立可得之十4（十4）-y:(1y1十)-yy,+5y2 x-4y1(x2-4)y1(ty2-3)ty1y2-3y1 -2t 由(2)可得 y1十y-2+3 -15 可得产-影断以5- 2 y1=2+3 【高二数学参考答案第2页（共6页）】 15 代入可得+42y+y+5y2 5 x-415 3 2y1+2y2-3y1 所以计算可得x=16,所以设点P的坐标为(16，m),…14分 因为过原点平行于A:N的直线斜率为二，且点P6,m)在A,N上， 则m6=40p=m x2-4121 故该直线方程为y=122, 点P6,m在AM上则m十46十→M/ x2+4201 故直线A,M的方程为y=%(x十4. m y=12, x=6, 联立 解得 (x十4)，(m≠0 /y= -29 20 所以点Q的坐标为(6，号） 所以0d.0=(6,）X4,0）=24.…17分 19.【答案】(1)y=ex-e(4分) 2日t6分) (3)见解析(7分) 【解析】(1)∫'(x)=xe,则∫'(1)=e,f(1)=0,…2分 所以切线方程为y一0=e(x一l),即y=ex一e;… …4分 （2)因为g)≤0恒成立，即1u-ar+2<0(x>0)恒成立. 1nx一2 即a≥ 22, Inz-2 令H(x)=- 22 H'()=2Inz ’…0…7分 令H'(x)=0,得x=1, 当x∈(0,1)时，H'(x)>0,H(x)单调递增；当x∈(1，十∞)时，H′(x)<0,H(x)单调递减； 故H(x)的最大值为H(x)=H(I)=2, 1 所以≥2即实数a的取值范国为[}十： …10分 (3)当a=0时，g(x)=lnx+7,原不等式等价于(x-1)e>lnx-2, 令F(x)=(x-1)e-lnx+2(x>0),只需证明F(x)m>0, F'x)=e-},F(x)=(e+1De+是>0， 故F'(x)在(0，十o)上单调递增。 r()-号eg<0,F)=e-1≥0， 【高二数学参考答案第3页（共6页）】 所以容在唯-∈（学，1小使得F',)=0,即，=一。=。-一受 …13分 F(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十o)上单调递增，故F(x)mn=F(x). 1x0-1,x01x8+x8+2x。-2 F)=(-1)e-lnu十2=8 22 2.x 令9(x)=x3十x2+2.x-2,g'(x)=3.x2十2x十2>0，…15分 所以p(x)在（停1）上单调递增。 )-品+音2=品>0. 2 因此9(xw)>0,即F(x)>0, 因此，F(x)>0恒成立，即f(x)>g(x)-1.…17分 【注】：以上各解答题，如有不同解法并且正确，请按相应步骤给分。 【高二数学参考答案第4页（共6页）】 【详解】 1.【答案】A 【解折】了)=-snx,所以f(侵）=-sn(》）=故选A. 2.【答案】B 【解析】因为数列a.}是等差数列，所以a1十a,=2a,=20,可得S,=9Ca十a)=90,故选B. 2 3.【答案】D 【解析】(1十x)(1+2x)5=(1+2x)5+x(1十2.x)5,所以x3的系数为C×23十C×22=120,故选D. 4.【答案】C 【解析】因为L1L2,所以号=。十，计算可得a=一2或a=1, 1 当a=1时，l1:x+2y+1=0,l2:2x十y+2=0,两直线重合，所以a=-2,故选C 5.【答案】D 【解析】根据题意，分析可得，当2名男孩相邻时，有A·A·C=144种方法；当2名男孩不相邻时，有A ·A=144种方法；所以一共有288种方法，故选D. 6.【答案】A 【解标】OP-a,PF,=b,S,-- =2=4,整理可得2ab=c2,4a2b=c,可得4n2(c2-a2)=c,整理可得 c￥-4a2c2+4a=0,可得(c2-2a2)2=0,可得e2=2,可得e=√2，故选A. 7.【答案】C 【解析】不等式ax-x-lnr≥0可整理为a≥+lm,设函数fa)=+l,'c)=1-ln严， 2 分折可得函数f红)在0e0上单调递增，在(e,十四)上单调递藏，可得了)<了6e)=1+日 所以a≥1+。故选C 8.【答案】B 【解析】取AC中点O,连接OB.因为AB=BC,所以OB⊥AC. 又平面ACC1A1⊥平面ABC,所以OB⊥平面ACC1A1. 以O为原点，OB,OC方向分别为x,y轴正方向，过O且垂直于平面ABC的直线为之轴建立空间直角坐标系， 易得B(1,0,0),A(0,-1,0),C1(0,2,3),A1(0,-2,3),B1(2,0,3). 设A1M=AA1B1(0≤A≤1)，则M(2入，2λ-2,3). 设平面AMC1的法向量n=(x,y,之)，由AM=(2入，2λ-1,3)，AC1=(0,3,3)可得n=(2-入，入，-A). 点B到平面AMC,的距离d=AE· 2 n√3x-4λ+4 当入=2 8 6 时，分母取最小值令，此时d=名，故选B. 9.【答案】ABC 【解析】由题意可得C=C,则n=9,故A正确： 因为n=9,所以展开式的二项式系数和为2°，当x=1时，展开式中的系数和为2°，故B正确； 令x=1,得a0十a1十a2十…十ag=2,令x=-1,得ao一a1十a2十…一ag=-4°，两式相减可得a1十a十as +a,+a=29+4 2 =28十2×48，故C正确； 令-号则，智+…+ 30. 【高二数学参考答案第5页（共6页）】 令x=0,则a。=一1，所以+号十…十g=1,故D不正确：故选ABC. 332 10.【答案】ACD 【解析】焦点F(1,0),可得2=1，计算可得p=2,选项A正确； |AF|=4,可得x1=3,y1=2√5，故选项B错误； 限据公式可得记十号1，者BF=号 ，可得|AF|=3,选项C正确： y2=4x 直线1的方程y=√5(x-1),联立 ,可得3.x2-10x十3=0， y=3(x-1 AB1=什57×，√)4-，点0到直线AB的距离为1 -55 √G3)+12, 所以△OAB的面积为S△OAB= 43 ,选项D正确；所以选ACD. 11.【答案】AC 【解析】bn+1=a2m+1=3a2n=3(a2m-1十2)，可得bn+1=3b,十6，整理可得bn+1十3=3(b,十3)， 可得数列{bn十3}为以b1十3=4为首项，以3为等比的等比数列， 所以bn+3=4×3"1,可得bn=4×3”1-3,所以b4=105,故选项A正确； cm+1=a2m+2=a2m+1十2=3a2m十2，可得cn+1=3cn+2,整理可得cm+1十1=3(cm十1)， 可得数列{c。十1}为以c1十1=4为首项，以3为等比的等比数列，所以cm十1=4×3"-1， 可得cn=4×3”-1-1,所以c1w=4×3-1,故选项B不正确： T.=b1十b2十b3+…+bn=4×3”-3+4×3-3+…十4×3"-1-3，计算可得Tn=2×3"-3n-2, 可得T1心=2X31"一302，故选项C正确； 设数列{cn}的前n项和为Un,U。=2X3”一n一2， S2=b1+c1+b2+c2+…+bn+cm=T.十Un=4X3”-4n-4, 可得S2026=4X3113一4056，故选项D错误；故选AC. 12.【答案】2 【解析】已知圆C:(x-1)+y2=,2的圆心为1,0)，则圆心到直线1的距离d=-0+1山-2， 则=+(5)=4，可得，=2 13.【答案】 -180 【解析】含x项的系数为C×2-C%×C号×23+C×2=-180. 14.【答案】10 【解析】数列为严格递增正整数，共6项，首项a1=1(奇数)，末项a6=n. 要求数列中恰有3个奇数、3个偶数 分情况讨论： 若n为偶数，则最大项n为偶数，即=n.还需从小于n的偶数中选2个，从大于1的奇数中选2个(1已 固定) 小于n的偶数共2-1个，选2个：C,大于1且小于n的奇数共22-1个，选2个：C 总数列个数C-C-,=36,即C-,=6,计算可得n=10; 若n为奇数，则最大项n为奇数，即o=n.还需从中间奇数中选1个，从小于n的偶数中选3个. 设=”2己，则奇数选挥数为女一1：偶数选择数为C。 由(k-1)·C=36,得k(k一1)2(k一2)=216，无整数解 【高二数学参考答案第6页（共6页）】