19.1.1二次根式的概念 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第十九章 二次根式 19.1 二次根式及其性质 第 1 课时 二次根式的概念 教学设计人教版八年级数学下册 19.2.2 二次根式的除法 教案（含概念、最简二次根式） 授课年级：八年级 学科：数学 版本：人教版 课时：1课时 授课类型：新授课 一、教学目标 1. 知识与技能：回顾并巩固二次根式的概念及成立条件；理解二次根式除法法则的推导过程，掌握法则√a÷√b = √(a÷b)（a≥0，b>0）；理解最简二次根式的定义及判断标准，能熟练运用概念、法则进行二次根式的除法运算、化简及分母有理化。 2. 3. 过程与方法：通过回顾概念、类比乘法法则、观察归纳特征，培养学生的类比推理、归纳总结和规范运算能力，体会转化、数形结合的数学思想，强化对二次根式本质的理解。 4. 5. 情感态度与价值观：让学生在知识衔接中感受数学的严谨性和连贯性，培养严谨的解题习惯、主动探究的意识，增强学习数学的兴趣，体会数学的简洁美和逻辑美。 6. 二、教学重难点 重点：二次根式的概念及成立条件；二次根式除法法则的推导及正向、逆向应用；最简二次根式的定义、判断方法及应用；掌握分母有理化的基本方法。 难点：灵活运用二次根式概念判断式子是否为二次根式；灵活运用法则和最简二次根式要求化简二次根式；理解分母有理化的原理，避免忽略法则成立的条件（a≥0，b>0）。 三、教学准备 教师：多媒体课件、例题板书；学生：复习二次根式的概念、性质及乘法法则，预习本节课内容，初步感知“最简”的含义，梳理概念易错点。 四、教学过程 （一）复习导入（7分钟） 1. 回顾二次根式概念：提问学生：什么是二次根式？引导学生完整表述：一般地，形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式，重点强调两个核心：① 形式上含有二次根号“√”；② 被开方数a必须是非负数（a≥0），否则二次根式无意义。 2. 概念辨析练习：快速判断下列式子是否为二次根式：√3、√(-2)、√x（x≥0）、2√5、√(a+1)（a≥-1），讲解易错点：不含二次根号、被开方数为负数的式子，都不是二次根式；被开方数含字母时，需保证字母取值使被开方数非负。 3. 衔接导入：回顾二次根式乘法法则√a·√b = √(ab)（a≥0，b≥0），类比整式、分式的乘除关系，二次根式有乘法法则，也有对应的除法法则，且除法运算和化简都需基于二次根式的概念（保证式子有意义），今天我们就结合二次根式的概念，探究除法法则和最简二次根式。 （二）探究新知（18分钟） 1. 探究二次根式除法法则：结合二次根式概念（保证被开方数非负），课件出示三组计算题，让学生独立计算，观察结果并总结规律。 （1）√16÷√4 = ______，√(16÷4) = ______；（2）√36÷√9 = ______，√(36÷9) = ______；（3）√24÷√6 = ______，√(24÷6) = ______。 2. 归纳除法法则：学生交流讨论后，教师引导归纳：两个二次根式相除，先将被开方数相除，再对所得的商取算术平方根，即√a÷√b = √(a÷b)，结合二次根式概念强调法则成立的条件——a≥0，b>0（a≥0保证分子有意义，b>0保证分母有意义且被开方数非负）。 3. 探究最简二次根式：结合除法运算结果和二次根式概念，出示对比实例：√2（不能再化简）、√(1/2)（可化简为√2/2）、2√3（不能再化简）、√12（可化简为2√3），引导学生观察总结最简二次根式的两个标准：① 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；② 被开方数中不含分母。两者缺一不可，同时强调：二次根式的运算结果必须化为最简二次根式，且化简后仍需符合二次根式的概念（被开方数非负）。 4. 法则逆用与分母有理化：引导学生将除法法则反过来，得到√(a÷b) = √a÷√b（a≥0，b>0），说明其用途是化简二次根式；结合最简二次根式要求和二次根式概念，补充分母有理化概念——把分母中的根号去掉，使分母不含根号，同时保证结果为最简二次根式、符合二次根式概念，举例说明简单的分母有理化方法（如1/√2 = √2/2，√(1/3) = √3/3）。 （三）典例讲解（12分钟） 例1（概念辨析+除法运算+最简化简）：（1）判断下列式子是否为二次根式：√7、√(-5)、√(x²+1)；（2）计算并化为最简二次根式：√18÷√2、3√27÷√3、√(48)÷2√3。讲解时强调：先根据概念判断式子是否有意义，再按法则运算，运算后对照最简二次根式标准检查，确保结果符合要求。 例2（化简、分母有理化与最简判断）：（1）判断下列根式是否为最简二次根式：√5、√(8/3)、3√6；（2）化简并化为最简二次根式（保证符合二次根式概念）：√(1/3)、√(5/12)、2/√6。引导学生先判断、再化简，灵活运用逆用法则和分母有理化方法，确保化简结果满足最简二次根式标准和二次根式概念。 教师板书规范解题步骤，提醒学生注意：二次根式概念的应用（判断有意义）、法则成立的条件、分母有理化的规范操作、最简二次根式的判断要点，培养严谨的解题习惯。 （四）巩固练习（8分钟） 布置分层练习：基础题（概念辨析+计算与化简）：判断√(2x)（x≥0）是否为二次根式、√20÷√5、化简√18并判断是否为最简；提高题（化简与有理化）：√(1/5)、3/√12、√(7/2)，要求所有结果化为最简二次根式且符合二次根式概念。学生独立完成，小组内核对答案，教师巡视指导，针对概念辨析和分母有理化的易错点集中讲解。 （五）课堂小结（3分钟） 引导学生回顾：本节课重点回顾了二次根式的概念及成立条件，学习了二次根式的除法法则（含逆用）、最简二次根式的定义及判断标准、分母有理化方法；明确二次根式的概念是运算和化简的前提，除法运算和化简的最终结果必须是最简二次根式，且需符合二次根式的概念，牢记法则成立的条件（a≥0，b>0）。师生共同梳理重点、易错点，加深记忆。 （六）布置作业（2分钟） 基础作业：教材对应习题，巩固二次根式概念辨析、法则应用、最简二次根式判断及分母有理化方法，要求所有运算结果化为最简二次根式且符合概念；拓展作业：思考二次根式乘除法与概念的联系，尝试总结二次根式乘除混合运算的化简技巧，结合概念判断运算的合理性。 五、板书设计 19.2.2 二次根式的除法（含概念、最简二次根式） 1. 二次根式概念：形如√a（a≥0）的式子（① 含√；② a≥0） 2. 除法法则：√a÷√b = √(a÷b)（a≥0，b>0） 3. 逆用：√(a÷b) = √a÷√b（a≥0，b>0）（化简） 4. 最简二次根式标准：① 无开得尽方的因数/因式；② 无分母 5. 分母有理化：去掉分母中的根号（结果为最简、符合概念） 例1：概念辨析+计算与化简 例2：判断与化简 （解题步骤） （解题步骤） 六、教学反思 本节课将二次根式的概念融入教学全过程，结合除法法则、最简二次根式展开教学，衔接自然，基本达成教学目标。但部分学生对二次根式概念的应用不够熟练，易忽略被开方数非负的条件，在判断含字母的二次根式时容易出错；同时存在化简后未检查是否符合概念和最简标准的问题。后续需增加概念辨析的变式训练，细化含字母二次根式的判断方法，强化“概念为前提、结果必最简”的意识，帮助学生熟练掌握各知识点的关联应用。 教学目标 课题 19.1 第1课时 二次根式的概念 授课人 素养目标 1.理解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式，感悟利用数学符号表示实际问题的意义. 2.理解二次根式有无意义的条件，领会数学分类讨论思想. 3.会求二次根式的被开方数中字母的取值范围，在解题过程中利用不等式(组)模型来培养全面思考问题的正确习惯. 教学重点 二次根式的识别，理解二次根式有意义的条件. 教学难点 会求二次根式中字母的取值范围. 教学步骤 师生活动 活动一：复习回顾，旧知启发 【知识回顾】 1.16的平方根是 ±4 ,算术平方根是 4 . 2.0的平方根是 0 ，算术平方根是 0 . 3.—2有没有平方根?有没有算术平方根? 答：-2没有平方根，也没有算术平方根. 【教学建议】 学生代表独立回 答，教师提示并总结，引出二次根式的有关知识. 设计意图 引导学生回忆已学的内容，为突破本课时的难点做准备. 活动二：问题引入，自主探究 探究点 1 二次根式的概念 阅读教材P2例1上方的部分，回答下列问题： 1.教材P2上方的思考中三个问题的答案依次为 2.上述三个式子有什么共同特征? 答：它们表示一些正数的算术平方根. 3.什么样的式子叫作二次根式?二次根式是代数式吗? 答：形如 的式子叫作二次根式.二次根式是代数式. 4.想一想：如果a<0，那么 是否为二次根式? 答：不是. 【对应训练】 1.判断下列各式是否为二次根式. (3)6( × ) (6) (x,y异号)( × ) (8) ( × ) 2.教材P3练习第1题. 【教学建议】 学生思考，并完成相应的问题.老师应了解学生是否掌握上述问题的结果中式子的特点. 【教学建议】 学生独立思考并 完成，教师总结二次根式应满足两个条件：①形式 上 带 有“ ”;②被开方数是非负数(正数或0)，即a≥0.第 2 题是二次根式的应用，目的是感知二次根式的产生是实际的需要，注意开方应满足的条件. 设计意图 这里是利用开方开不尽的式子引出二次根式的概念.通过第2点，并结合复习回顾要引导学生说出只有正数和0才有算术平方根，负数没有算术平方根.通过第3，4点，要使学生理解二次根式的概念. 八年级数学下册 1 教学步骤 师生活动 设计意图 探究点 2 二次根式有意义的条件 阅读教材P2例1 及 P3上方的思考，回答下列问题： 1.确定式子. 中字母x的取值范围的依据是什么?解题步骤是什么? 答：依据：二次根式的概念. 解题步骤:由x-2≥0,得x≥2.当x≥2时, 在实数范围内有意义. 2.(教材P3练习第2题)当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义? 解:(1)a≥1;(2)a≤5;(3)a 为任意实数. 3.若 在实数范围内有意义，则x ≤0 . 【对应训练】 1.当x满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义? 解:(1)x≥3;(2)x≤0;(3)全体实数; (4)x≠0;(5)x>0;(6)x≥0. 2.求二次根式中字母的取值范围时，其基本依据是什么? 答：①被开方数大于等于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零. 【教学建议】 学生独立思考， 解决问题，教师统一答案，教师关注如下问题： (1)学生对例1中 不等式得出的依据是否清楚. (2)确定二次根 式中被开方数所含字母的取值范围的一般步骤是：①根据 a≥0 的条件列不等式；②解不等式；③确定字母的取值范围. (3)指导学生分析 使 与 在实数范围内有意义的条件. 引导学生关注求二次根式有意义的条件的依据和解题步骤. 活动三：重点突破，提升探究 例 (1)若二次根式. 有意义,则x 的取值范围是 2≤x≤5 . (2)若二次根式 有意义，则x的值为 5 . 解析：(1)因为二次根式. 有意义，所以 所以2≤x≤5. (2)因为二次根式 有意义，所以 所以x=5. 【对应训练】 已知x，y为实数，且 求 的算术平方根. 解：因为x，y为实数， 所以 所以x=9.所以y=4. 所以 ，所以 的算术平方根为 【教学建议】 学生在独立思考 的基础上讨论解答.教师适时引导学生观察例题中两个二次根式的关系，特别提醒学生注意第(2)小题，可以发现两个二次根式的被开方数互为相反数，则这两个二次根式的值都等于0. 设计意图 巩固对二次根式有意义的条件的认知. 活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 本节课你学到了哪一类新的式子?二次根式有意义的条件是什么?二次根式与算术平方根有什么关系? 【知识结构】 【作业布置】 1.教材 P5 习题19.1第1,5,6,7题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练. 2 名师教学设计 学科网（北京）股份有限公司 教学步骤 师生活动 板书设计 19.1二次根式及其性质 第1课时 二次根式的概念 二次根式：一般地，我们把形如 的式子叫作二次根式. 教学反思 本节课属于概念数学，概念数学经历“引入概念——形成概念——深化概念”三个环节.本节课通过平方根的知识引入二次根式的概念，在解决用式子表示数量关系的过程中利用类比归纳的方法形成概念，再不断地通过实例分析深化概念. 本节课的重难点是对二次根式概念的理解，学生容易片面地理解概念，所以要将二次根式和前后的知识点联系起来，形成知识网络. 在教学过程中，教师要及时提出问题，让学生充分讨论，横向比较，然后一起总结二次根式概念当中的注意点. 备课素材 解题大招 解题大招一 二次根式的概念 (1)二次根式的概念是从式子的结构和形式上界定的，必须含有“”，如 是二次根式，而 就不是二次根式；(2)被开方数a可以是数也可以是整式或分式，但a 的值必须是非负数；(3)形如( 的式子也是二次根式，二次根号前面的因式若是带分数，书写时要写成假分数的形式，如 不可写成 的形式. 例1 下列式子： 其中，哪些是二次根式?哪些不是二次根式? 解： 是二次根式； 不是二次根式. 解题大招二 求二次根式中字母的取值范围 (1)单个二次根式(如)有意义的条件：A≥0；(2)多个二次根式相加(如 )有意义的条件:A≥0且B≥0;(3)二次根式作为分式的“分母”时，有意义的条件：B>0；(4)二次根式与分式的和或积 或 有意义的条件：A≥0且B≠0；(5)零指数幂、负整数指数幂的底数不等于零；(6)根据实际问题得到的二次根式除了本身的限制条件外，还要考虑其实际意义. 例2 当x取何值时， 在实数范围内有意义? 解：依题意，得 所以 且x≠-1. 所以当 且x≠-1时, 在实数范围内有意义. 注意：(1)在求二次根式的被开方数中字母的取值范围时，常将其转化为解不等式(组)的问题； (2)在求与二次根式有关的字母的取值范围时，应把限制条件考虑全面. 培优计划 培优点 二次根式有意义的条件的应用 例1 (1)使式子 在实数范围内有意义的未知数x有 1 个； (2)设m，n都是实数，且满足 求 的值. 解：(1)解析：由题意可得所以(x-5)²≤0.又( 所以 所以x=5. 故使式子 在实数范围内有意义的未知数x有1个.故答案为1. (2)由题意，得 所以；m=-2,则 所以 例2 已知a 满足，求a的值. 解:由a-5≥0,得a≥5,所以4-a<0,所以|4-a|=a-4. 因为 所以 所以 所以a-5=16,所以a=21. 学科网（北京）股份有限公司 $