二次函数中直角三角形的存在性问题2026年中考数学复习专项

二次函数中直角三角形的存在性问题2026中考数学复习专项 1．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 2．如图，已知直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形； （3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 3．如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，为抛物线的顶点，为抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)求四边形的面积； (3)在抛物线上是否存在点，使是直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (4)如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，是否有最大值？若有，请求出的最大值；若没有，请说明理由． 4．如图，已知抛物线（是常数）与轴分别交于点，（点位于点的左侧），与轴的负半轴交于点，点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在一点，使得是以为直角边的直角三角形，求出点坐标； (3)点是轴下方的抛物线上的一个动点，点横坐标为，连接，设所得的面积为． ①求关于的函数解析式； ②探究：若的面积为整数，则这样的共有多少个． 5．如图，抛物线交轴于点和点，交于轴点，为抛物线顶点，点在抛物线上． (1)求该抛物线所对应的函数解析式； 求四边形的面积； (2)如图，直线垂直于轴于点，点是线段上的动点除、外过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、． 当是直角三角形时，求出所有满足条件的点的横坐标． 如图，直线，分别与抛物线对称轴交于、两点试问：是否为定值？如果是，请直接写出这个定值；如果不是，请说明理由． 6．如图，抛物线经过，两点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线对称轴上存在点，使得是直角三角形，求出点； (3)绕平面内的点旋转，点，，的对应点分别为，当点都落在抛物线上时，求点的坐标． 7．如图，抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值； (3)设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，为抛物线上的两点． (1)求二次函数的表达式； (2)当两点关于抛物线对称轴对称，是以点为直角顶点的直角三角形时，求点的坐标； (3)拓展设问：点是平面直角坐标系中的一点，当点在第四象限内的抛物线上时，是否存在点，使得以为顶点的四边形是以为边的矩形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点（不与A、C重合），连接交线段于点D，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值； (3)已知点E的坐标为，过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，请直接写出满足条件的所有直线的解析式． 10．已知抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧，与y轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图1，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是直角三角形，直接写出所有符合条件的点P的坐标． (3)如图2，若点G为线段上的动点，过点G作交于点H．求面积的最大值，并求此时G点坐标； 11．综合与探究 如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求抛物线的解析式； (2)点是第四象限内抛物线上的一个动点，连接，，求面积的最大值，并求出此时点的坐标； (3)点为抛物线对称轴上一点，是否存在点，使为直角三角形？若存在，请直接写出的坐标；若不存在，请说明理由． 12．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 13．如图，已知抛物线（、为常数，且）与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，．抛物线的对称轴与轴交于点，与经过点的直线交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形?若存在，求出所有得合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当P为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点P的坐标； ③过点P作轴，垂足为N，与交于点E．当的值最大时，求点P的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    2．（1）y=-x2+2x+3；（2）t=1或t=；（3）点F的坐标为（2，3）．（4）． 【详解】试题分析：（1）先由直线AB的解析式为y=-x+3，求出它与x轴的交点A、与y轴的交点B的坐标，再将A、B两点的坐标代入y=-x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）由直线与两坐标轴的交点可知：∠QAP=45°，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t，然后再图①、图②中利用特殊锐角三角函数值列出关于t的方程求解即可； （3）设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2，EP∥FQ，EF∥PQ，所以四边形为平行线四边形，由平行四边形的性质可知EP=FQ，从而的到关于t的方程，然后解方程即可求得t的值，然后将t=1代入即可求得点F的坐标； （4）设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t），然后由抛物线的解析式求得点M的坐标，从而可求得MB的长度，然后根据相似相似三角形的性质建立关于t的方程，然后即可解得t的值． 试题解析：（1）∵y=-x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当y=0时，x=3，即A点坐标为（3，0）， 当x=0时，y=3，即B点坐标为（0，3）， 将A（3，0），B（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得，解得 ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； （2）∵OA=OB=3，∠BOA=90°， ∴∠QAP=45°． 如图①所示：∠PQA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=1； 如图②所示：∠QPA=90°时，设运动时间为t秒，则QA=t，PA=3-t． 在Rt△PQA中，，即：，解得：t=． 综上所述，当t=1或t=时，△PQA是直角三角形； （3）如图③所示： 设点P的坐标为（t，0），则点E的坐标为（t，-t+3），则EP=3-t，点Q的坐标为（3-t，t），点F的坐标为（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），则FQ=3t-t2． ∵EP∥FQ，EF∥PQ， ∴EP=FQ．即：3-t=3t-t2． 解得：t1=1，t2=3（舍去）． 将t=1代入F（3-t，-（3-t）2+2（3-t）+3），得点F的坐标为（2，3）． （4）如图④所示： 设运动时间为t秒，则OP=t，BQ=（3-t）． ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴点M的坐标为（1，4）． ∴MB=． 当△BOP∽△QBM时，即：，整理得：t2-3t+3=0， △=32-4×1×3＜0，无解： 当△BOP∽△MBQ时，即：，解得t=． ∴当t=时，以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似． 考点：二次函数综合题． 3．(1)； (2)18 (3)点的坐标为或； (4)的最大值为． 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先求直线的解析式为，过N点作轴交于点G，可得，利用三角形的面积公式即可求得面积； （3）分两种情况讨论，①当时，②当时，求得直线的解析式，联立求解即可； （4）过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，则，有，可得，设，则，分别求出，的长，则有，即可求得答案． 【详解】（1）解：将点、代入， 得：， 解得：， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的顶点， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 把代入， 得：， 解得：． 直线的解析式为， 过N点作轴交于点G，如下图： ∵， ∴， ∴四边形的面积 ； （3）解：存在点P，使是直角三角形，理由如下： ①当时，设交轴于点D， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 同理直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ②当时， 过点作直线的平行线，设此直线的解析式为， 则，解得， ∴此直线的解析式为， 联立，得， 解得（舍去）或， 当时，， ∴点的坐标为； ∴点的坐标为或； （4）解：过点A作轴交直线于点N，过P点作轴交于点G，如图， 则， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当时，的最大值为， 此时． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想． 4．(1) (2)或； (3)①；②24个 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出对称轴为直线，设，求出点B和点C的坐标，利用两点距离计算公式得到，，，再分和两种情况，利用勾股定理建立方程求解即可； （3）①可求出直线的解析式为，当点P在y轴右侧时，过点P作轴，交于点M，根据列式求解即可；当点P在y轴左侧时，过点P作轴，交直线于点M，根据列式求解即可；②根据（3）①所求求出和时S的取值范围，根据S为整数，确定满足题意的S的个数，进而确定m的个数，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（是常数）与轴交于， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴对称轴是直线， ∴可设． 在中，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴， ∴，，． ①当时，如图所示： 则， ∴， 解得， ∴； ②当时，如图所示： 则， ∴， 解得， ∴； 综上所述：当是以为直角边的直角三角形时，点M的坐标为或； （3）解：①设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当点P在y轴右侧时，过点P作轴，交于点M，如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴； 当点P在y轴左侧时，过点P作轴，交直线于点M，如图所示： 由题意得，，， ∴， ∴ ； 综上所述，； ②当时，， ∵， ∴当时，S随m的增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，， ∵S为整数， ∴S的值可以为1，2，3，4，5，6，7，8，9， ∴此时满足S为整数的m的值一共有9个 ∴有9个； 当时，， ∵， ∴当时，S随m的增大而增大，当时，S随m的增大而减小， 在中，当时，，当时，， ∴当时，，当时，， ∴当时，， ∵S为整数， ∴S的值可以为1，2，3，4，5，6，7，8， ∴此时满足S为整数的m的值一共有个， ∴有15个； 综上所述，满足S为整数的一共有． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 5．(1)； (2)点横坐标；为定值，定值为 【分析】（1）①利用待定系数法求函数解析式； ②结合二次函数性质求得顶点，，然后利用割补法求图形面积； （2）①设点D的坐标为（），根据两点间的距离公式得到，，，分三种情况讨论：若，若， 若，根据勾股定理构造方程求解即可； ②设，结合一次函数图象的性质分析求解 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，， ∴，解得 ∴该抛物线的函数表达式为：； ②∵， ∴顶点， ∵，， ∴，且∥x轴， ∵， ∴； （2）解：①∵点P在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点， ∴设点D的坐标为（）， ∵，， ∴， ， ， 当是直角三角形时， 若，则， ∴， 整理得， 解得或（均不合题意，舍去）； 若，则， ∴， 整理得， 解得（不合题意，舍去）或； 当时，，与点Q重合，不合题意，舍去； 若，则， ∴， 整理得， 因式分解，得 解得（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）或， ∵当时，， ∴不合题意，舍去 ∵当时，， ∴D点横坐标为， 综上可知：D点横坐标． ②设， 由A、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，； 由点B、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，， 则是为定值，定值为8． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求解析式等知识点，数形结合以及熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 6．(1) (2)或或或 (3) 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得点的坐标，根据勾股定理求得，进而分分别为斜边，三种情况讨论，即可求解． （3）根据题意，只有一种情形，即重合，重合，即为的中点，进而得出四边形是矩形，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ∴ 解得： ∴解析式为 （2）解：令，则， 解得：， ∴, ∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵在上， 设，∵， ∴，， ①当为斜边时，， ∴， 解得：或， ∴或； ②为斜边时，， ∴， 解得：，则 ③当为斜边时，， ∴ 解得：，则 综上所述，或或或 （3）解：依题意，点都落在抛物线上时，则重合，重合，即为的中点 ∴四边形是矩形， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，勾股定理及其逆定理，矩形的性质，中心对称，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．(1) (2) (3)存在点，的坐标为或或或． 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论； （3）分三种情况进行讨论：以为直角顶点；以为直角顶点；以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点， ， 抛物线与轴相交于点， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴的垂线，交于点． 直线的解析式为：． 设点坐标为，则点的坐标为， ． ， ， 当时，有最大值； （3）解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下： ， 顶点的坐标为， ， ． 设点的坐标为，分三种情况进行讨论： 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点的坐标为； 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点的坐标为； 当为直角顶点时，如图， 由勾股定理，得， 即， 解得或， 所以点的坐标为或； 综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． 8．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的表达式即可． （2）抛物线的对称轴为直线，点关于抛物线对称轴对称，得出点，设，根据勾股定理得并代入数值，可求出，即可求得点的坐标． （3）设，得出，，，，分别代入和中，即可求出和点的值，设点构图后，再利用勾股定理可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：是以点为直角顶点的直角三角形时，. ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴对称，， ∴点， 设， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （3）解：存在，设，其中，，，， ①当时，即， ∴， ∴， 解得（舍）或（舍）； ②时， 即， ∴， 解得（舍）或， ∴， 设所在直线的一次函数关系式为 又∵点，点， ∴ 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为 ∵四边形为矩形， ∴ ∴可设所在直线的一次函数关系式为 将点代入中， 即 解得 ∴所在直线的一次函数关系式为， 设点，可构图如下，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，交于点，即 ， ∵，，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 解得：， ∴点， 综上所述，. 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的表达式，二次函数的图象和性质，矩形的性质，勾股定理，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 9．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而求出直线的解析式为，如图所示，分别过点B．P作直线的垂线，分别交直线于F、E，设，则，可得，证明，得到，则当时，有最大值，再证明，则的最大值为； （3）由过点E的直线与以为直径的圆最多有两个交点，且过点A且与的直线垂直和过点B与的直线垂直与过点E的直线各有一个交点或都没有交点，则只有当过点E的直线与以为直径的圆相切时才能保证过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，如图所示，当经过点E的直线刚好与以为直径的圆在上方相切时，设切点为H，直线交y轴于F，取中点，连接，可得，解直角三角形得到，求出，同理可得直线解析式为；同理在x轴下方满足题意的解析式为． 【详解】（1）解：把代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：在中，当，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 如图所示，分别过点B．P作直线的垂线，分别交直线于F、E， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， ∵的面积为，的面积为， ∴， ∴的最大值为； （3）解：∵过点E的直线与以为直径的圆最多有两个交点，且过点A且与的直线垂直和过点B与的直线垂直与过点E的直线各有一个交点或都没有交点， ∴只有当过点E的直线与以为直径的圆相切时才能保证过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形， 如图所示，当经过点E的直线刚好与以为直径的圆在上方相切时，设切点为H，直线交y轴于F，取中点，连接， ∵， ∴， ∴， 由切线的性质可得， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 同理可得直线解析式为； 同理在x轴下方满足题意的解析式为； 综上所述，满足题意的解析式为或． 【点睛】本题主要考出来二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，切线的性质等等，解（2）的关键在于推出，解（3）的关键在于推出过点E的直线与以为直径的圆相切时才能保证过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形． 10．(1)； (2)的坐标为或或或 (3)有最大值为，G点坐标为 【分析】（1）根据题意得到，结合三角函数得到点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式，将抛物线解析式化为顶点式即可得到其顶点坐标； （2）根据题意得到顶点，进而得到为等腰直角三角形，过点作交于点，结合轴对称性质证明，得到，且有轴，设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点，点坐标，根据点P在对称轴上，使得是直角三角形，设，则，，，结合勾股定理逆定理分以下三种情况①当时，②当时，③当时，建立等式，讨论求解，即可解题； （3）设直线的解析式为，利用待定系数法求出直线的解析式，利用平行的特点设的解析式为，分别得到，，进而根据表示出的表达式，再利用二次函数的最值，得到的最大值，并推出G点坐标． 【详解】（1）解：抛物线与y轴交于点， ， ， ， ，即， 抛物线过点，， ， 解得， 抛物线解析式为， ， 抛物线的顶点坐标； （2）解：时，解得，， ，即， ， 为等腰直角三角形， ， 过点作交于点， ， ， 由对称的性质可知，， ， ， ， ， 轴， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，有，解得， ，即， ， ， 点P在对称轴上，使得是直角三角形， 设， 则，，， ①当时， 有， 解得或， 的坐标为或； ②当时， 有， 解得， 的坐标为； ③当时， 有， 解得， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或； （3）解：设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 设的解析式为（其中的横坐标范围为）， 联立与，有，解得， 当时，， 即， 当时，有，即， 即， ， ， 当时，有最大值为， 此时，G点坐标为． 【点睛】本题考查了三角函数综合，待定系数法求函数解析式，二次函数顶点式，等腰直角三角形性质，轴对称性质，全等三角形性质和判定，勾股定理逆定理，二次函数的最值，解题的关键是利用分类讨论和数形结合的思想解决问题． 11．(1) (2)面积的最大值为； (3)存在，，，， 【分析】本题为二次函数综合题，涉及到待定系数法求函数表达式、二次函数最值、直角三角形的性质等 （1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）当为斜边时，则，即可求解；当为斜边时，同理可解． 【详解】（1）解：将，代入，得 抛物线的解析式为 （2）解：过作轴，交于点 当时， 设直线的表达式为将，代入，得 设， 当时， 当时， （3）解：存在，理由： 由抛物线的表达式知，其对称轴为，故设点， 由点的坐标得，，，， 当为斜边时，则， 解得：m=， 即点或； 当为斜边时，则， 解得：； 即点； 当为斜边时，则， 解得：， 即点， 综上，点Q的坐标为： ，，， 12．(1) (2)存在，点的坐标为 (3)、、或 【分析】（1）由点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，由点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点的坐标； （3）设点的坐标为，则，，，分、和三种情况，利用勾股定理可得出关于的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出的值，进而即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：将、代入中， 得：，解得：， 抛物线的解析式为． （2）解：连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 解得：，， 点的坐标为． 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线． 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则，，． 分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：，， 点的坐标为或； ②当时，有，即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有，即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时，点的坐标为、、或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点的位置；（3）分、和三种情况，列出关于的方程． 13．(1) (2)在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或 【分析】本题考查待定系数法求函数表达式、坐标与图形、等腰三角形的判定与性质、一次函数图象的平移、直角三角形的性质等知识，正确求得抛物线的函数表达式是解答的关键． （1）先求点A坐标，再利用待定系数法求函数表达式即可； （2）先根据二次函数的性质求得，点的坐标为，进而可得；当时，则，可得，设点的坐标为，然后解方程求得t值即可；求直线的函数表达式，然后平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，，可得，再利用待定系数法求得直线的函数表达式，然后联立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，，点在点左侧， ∴点的坐标为， 将，代入． ，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下：由得抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵抛物线的对称轴与经过点的直线交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为，则， ∴ 当时，则，过点作于点，如图． 则是等腰直角三角形， ∴， 设点的坐标为， ∴， 解得：，（舍）， 当时，， 点的坐标为； 设直线的函数表达式为， 将点，代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． 将直线平移至经过点，此时直线与抛物线的交点分别为，， 则，可设直线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴直线的函数表达式为． ∴，解得：或． ∴点的坐标为或． 综上可得，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，点的坐标为或或． 14．(1) (2)①是直角三角形；②；③ 【分析】（1）把A、B、C三点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得 ∴点P的坐标为， 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形 ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点（），过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $