2026年中考数学二轮复习课件 相似三角形存在性问题专题1

1 考 考 点 动点存在性问题一直是中考的热点和难点，其中相似三角形存在性问题是一种重要的题型，也是部分学生不易掌握的一类题型。我们在授课时多次强调了解题策略，但是仍有部分学生不能全面掌握，总会出现遗漏。希望通过本课能使同学们更好的理解、掌握此类题型。． 这种类型的题目综合性较强,更重要的是涉及方程与函数思想、数形结合思想、分类讨论等重要的思想方法，对学生分析、解决问题的能力具有较高的要求。 解题的关键是找到一组关键的相等角，这是第一步，而这组相等的角有时题目会很明显地交代出来，有时比较隐晦，需要自己有意识地去寻找这些特殊关系！ 中 2 考 考 点 我们知道，当题目表述成文字形式的“相似”而不是符号表达的“∽”， 此时两个相似三角形就不存在对应关系，分类复杂难辨！但此类命题大多都是有迹可循的，往往题目中涉及的两个相似三角形会存在一组关键的相等角，这组相等的角一定是对应角，从而将复杂难辨的多种分类迅速简化成最多两类情形。 下面以题来论，你会更清楚！ 中 3 识 储 备 知 判定1：三边对应成比例的两个三角形是相似三角形； 判定2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形是相似三角形； 判定3：有两组角对应相等的三角形是相似三角形． 判定4：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似，“即A型和X型”。 4 路 分 析 根据相似三角形的做题经验，可以发现，判定1基本是不会用的，这里也一样不怎么用，对比判定2、3可以发现，都有角相等！ 思 所以，要证相似的两个三角形必然有相等角，关键点也是先找到一组相等角．然后再找： 思路1：两相等角的两边对应成比例； 思路2：还存在另一组角相等． 事实上，坐标系中在已知点的情况下，线段长度比角的大小更容易表示， 因此选择方法可优先考虑思路1，构造等角两边对应成比例． 5 路 分 析 一、如何得到相等角？ 二、如何构造两边成比例或者得到第二组相等角？ 搞定这两个问题就可以了。 下面我们具体问题具体分析。 思 6 7 究 探 【2019娄底中考】如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（-1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，-3）．点Q是抛物线上的动点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，直线OQ与线段BC相交于点E， 当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标． 即∠ABC 的两边 BA、BC 与∠OBE 的两边 BO、BE 成比例即可，故可得 思路：考虑到△ABC 和△BOE 有一组公共角，公共角必是对应角 y＝x2-2x-3 8 究 探 易求直线BC解析式为y=x-3,所以设E（x，x-3） 又由于B（3，0）,所以由两点间距离公式可得 解之得：x=1 或者x=5（舍去） 9 思 反 “三步法”（即：“分类，计算，检验”） （1）分类：找出公共角， 分析出两种相似三角形，写出比例式； （2）计算: 罗列线段长，代入比例式建立方程并 解之 （3）检验：所求的值是否符合题意； 10 业 作 已知抛物线y=0.5x²+bx+c的图像与x轴交于A、B(4，0)两点（A在B的左侧），交y轴于点C（0，-4） （1）求抛物线的解析式 （2）已知点M在y轴上（不与C重合），连接AM，若△AOM与△AOC相似，试求点M点坐标。 11 析 分 解析： 第一步：找出相等的角，∵点M在y轴上，则∠AOM=∠AOC=90°， ∠AOM的两边分别为AO与OM，∠AOC的两边分别为AO与OC，存在两种相似情况： 第二步：计算并检验 ∵A(-2，0),∴AO=2，C（0，-4），OC=4 ∵点M在y轴上，可设M（0，t） （M在y轴上的位置不确定，距离是正数，带绝对值） ∴OM=|t| 分两种情形：以第一种为例讲解 所以M（0，1）或M（0，-1） 12 业 作 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3：2． （1）求直线AD和抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴与x轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，写出点Q点的坐标． 13 业 作 14 15 究 探 【2018德州中考】如图，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与抛物线 y=-x²+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D． （1）求m、n的值及该抛物线的解析式； （2）如图2，连接BD、CD，在线段CD上 是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的 三角形与△ABD相似， 若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由． 16 究 探 17 业 作 （2018·兴安盟）如图，已知抛物线y=ax²-2x+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴． （1）求这条抛物线的解析式； （2）求tan∠ABC的值； （3）若点D为抛物线的顶点，点E是直线AC上一点，当△CDE与△ABC相似时，求点E的坐标． 18 析 分 （3）思路：平行得相等角，构造两边成比例 点 D 为顶点，则 D 点坐标为（3，-2）， ∴直线 CD 解析式为：y=x-5，又直线 AB 解析式为：y=x+9，故 CD∥AB，∴∠BAC=∠DCE， 考虑∠BAC 的两边 AB、AC 与 ∠DCE的两边CE、CD 成比例，存在两种情况： E CE=9 故 E 点坐标为（-3，1） （4，1） 19 20 究 探 【2019 郴州中考】已知抛物线y=ax²+bx+3与x轴分别交于A（-3，0）， B（1，0）两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点． ①如图1，设k=AF/AD，当k为何值时，CF=1/2AD？ 抛物线y=-x²-2x+3，顶点D（-1，4） 易求OA=3，OC=3，由点点公式可得 故当 F 点是 AD 中点时， 有CF=1/2AD，此时 k 的值为1/2 21 究 探 （2）点F是线段AD上一个动点． ②如图，以A、F、O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由． ②思路：计算三角函数值得相等角 在△AFO 中，∠OAF 是定角，且 ∠OAF = ∠1+ ∠CAD 而△ABC中，∠ACB=∠2+∠BCO 易证∠1=∠2=45° 且Tan∠CAD=Tan∠BCO=1/3 所以∠CAD=∠BCO 所以∠OAF=∠ACB 考虑两边对应成比例：∠OAF 的两边 AO、AF 与∠ACB 的两边 CA、CB 成比例 22 业 作 【2018 毕节中考】如图，以D为顶点的抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23 业 作 【2018 毕节中考】如图，以D为顶点的抛物线y=-x²+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3． （1）求抛物线的表达式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使得以A、C、Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． （1）抛物线y=-x²+2x+3 （2）思路：计算三角函数值得相等角 易求 B（3，0）、C（0，3）、D（1，4） 易证Tan∠BDC=Tan∠OAC=3 故∠BDC=∠OAC． 24 25 究 探 ①AO为对角线 如图2，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． (1)求抛物线的函数解析式． (2)设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标． (3)连接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第一题，由交点式可设y=ax(x+2),代入B（﹣3，3）得a=1,所以所求的抛物线为y=x(x+2)=x²+2x 第二题，平四的存在性问题 两种方法： ➊、写出A、O、D、E四点坐标 ➋、分三种情况，利用中点坐标公式 ②AD为对角线 ③AE为对角线 　-2+0= -1+x 　0+0= y +x²+2x ｛ A（﹣2，0） O（0，0） E（-1，y） D（x，x²+2x） 26 究 探 (3)连接BC交x轴于点F．y轴上是否存在点P，使得△POC与△BOF相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 我们来看，OC是确定的，由顶点C（-1，-1）易知CO与y轴负半轴的交角恰为45°，看又出“相等角”了，这是题目的难点所在！看，这一策略与方法何其重要，多么神奇！ 分析：如图，先依题目所述连线，得到第一个确定的目标△BOF： 其三个顶点都是已知或者可求的，并且它有一个特殊角∠BOF=45°，这个特殊45°角的发现是后续解决问题的关键所在； 接下来分析运动着的第二个目标三角形POC： 依然是依托其不变的两个顶点OC以及动点P的运动路径去分析，也就说其实还是“抓不变量”的解题策略 27 业 作 已知抛物线y=0.5x²+bx+c的图像与x轴交于A、B(4，0)两点（A在B的左侧），交y轴于点C（0，-4） （1）求抛物线的解析式 （2）在直线BC上，是否存在点N，使得以点N、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点N坐标，若不存在，请说明理由。。 28 业 作 已知抛物线y=0.5x²+bx+c的图像与x轴交于A、B(4，0)两点（A在B的左侧），交y轴于点C（0，-4） （1）求抛物线的解析式 （2）在直线BC上，是否存在点N，使得以点N、O、C为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，求出点N坐标，若不存在，请说明理由。。 解析：题目中没有明确给出相等的角，但是通过由BO=CO，易得：∠NCO=∠OBC=45°， 第一步：找隐藏的相等角 由BO=CO=4，得∠NCO=∠OBC=45° ∠NCO的两边分别为OC与ON，∠OBC的两边分别为AB,BC 存在两种相似情况： (8/3,-4/3) (3,-1) 29 结 小 相似三角形存在性问题的一般策略是： 1，先找一对等角。 2，构成这对夹角的两边对应成比例，计算比例线段，通过线段求关键点坐标。注意有两种情况。 在第二步分类列方程中，建议同学们先固定一个三角形的顺序，将另一个三角形换个顺序即可. 我们这里谈及的解题分析意识与策略可能比这道题目本身重要千百倍啊！ 30 我们本节课主要介绍的是“单动点”类问题 下次直播预报： “双动点”类相似问题 98664.0 $