精品解析：宁夏回族自治区银川市第二十四中学2025—2026学年第二学期九年级数学期中考试试卷

2025-2026学年第二学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示，在数轴上有A、B、C、D四个点，实数在数轴上对应的位置是（ ）． A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 2. 在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 3. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 4. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 6. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝3，则 BC 的长为（ ） A. B. 2 C. 1.5 D. 8. 某位学生根据如图所示的二次函数的图像，做出了如下判断：①当时，函数有最小值为0；②点在这个函数图像上；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为；④若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则．其中说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. _________． 10. 若是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 11. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 12. 如图，，添加一个条件：____________（写出一个条件即可），可使与全等． 13. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围__________． 15. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是______． 16. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：） 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得． （2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）． 20. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数： 同学 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 9 n 9 根据以上信息；回答下列问题： （1）表中m的值为_______，n的值为_______． （2）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_______（填“甲”、“乙”或“丙”）． （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生歌唱比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 21. 如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． （1）在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． （2）根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 24. 如图，在中，，点在上，连接，以为直径作，过点作的切线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 25. 如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； （2）【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 如图所示，在数轴上有A、B、C、D四个点，实数在数轴上对应的位置是（ ）． A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】该题考查了无理数的估算，先估算出的大小，再根据数轴即可解答． 【详解】解：∵ ∴， ∴实数在数轴上对应的位置是点B， 故选：B． 2. 在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（ ） A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两直线平行，内错角相等 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 3. 如图，夜晚冬冬从点出发沿直线走向点，行进路线经过某路灯的正下方．在此过程中，他的影子会（ ） A. 一直变长 B. 一直变短 C. 先变长，后变短 D. 先变短，后变长 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心投影，掌握中心投影的定义是解答本题的关键．根据接近光源时，影子会变短，远离光源时，影子会变长解答即可． 【详解】解：如图，夜晚冬冬从点走向点，他的影子会先变短，再变长． 故选：D． 4. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 5. 袋中有50个除颜色外完全相同的小球，搅匀后随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，记为一次试验，通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在，则估计袋中红球的个数为（ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量，大量反复试验下频率的稳定值即为概率值，据此得到从中摸出一个红球的概率为，再用球的总数乘以摸出红球的概率即可得到答案． 【详解】解：∵通过多次摸球试验后发现从中摸出一个红球的频率稳定在， ∴从中摸出一个红球的概率为， ∴估计袋中红球的个数为， 故选：C． 6. 如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 将矩形纸片 ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形 AECF．若 AB＝3，则 BC 的长为（ ） A. B. 2 C. 1.5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，先根据矩形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，又根据菱形的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理与性质可得，从而可得点共线，由此可得，最后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】设， 四边形ABCD是矩形， ， 由折叠的性质得：， ， 四边形AECF是菱形， ， 在和中，， ， ，即， 点共线， ， 在中，，即， 解得或（不符题意，舍去）， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，利用三角形全等的判定定理与性质证出，从而得出点共线是解题关键． 8. 某位学生根据如图所示的二次函数的图像，做出了如下判断：①当时，函数有最小值为0；②点在这个函数图像上；③将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为；④若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点，则．其中说法正确的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的开口方向和顶点坐标，即可判断①正确；根据待定系数法求出抛物线的函数解析式，可验证点是否在抛物线上，可判断②错误；根据抛物线的平移规律可求得平移后的抛物线的解析式，即可判断③错误；联立方程组，消去y得，，当一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点时，其判别式，解方程可得，，即可判断④错误． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的顶点坐标为， 抛物线的开口向上， 当时，函数有最小值为0， ①正确； 抛物线的顶点式为，且由图可知抛物线经过点， ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， 点不在这个函数图像上， ②错误； 将这个二次函数图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，对应的二次函数图像的表达式为， ③错误； 联立方程组， 消去y得，， 若一次函数的图像与这个二次函数的图像有唯一的公共点， 则， 解得，， ④错误； 其中说法正确的个数为1． 故选：A． 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9. _________． 【答案】 【解析】 【分析】分别计算立方根、乘方、负整数指数幂，再根据有理数加减运算法则计算最终结果． 【详解】解：． 10. 若是实数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质、绝对值、数轴等知识点，根据数轴判定是解题的关键．  由数轴得出且，则，然后根据二次根式的性质、绝对值的定义化简求解即可． 【详解】解：由数轴可得且， ∴ ∴ ． 故答案为：． 11. 已知二次函数与x轴有两个公共点，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了已知二次函数的图象与x轴交点个数求参数，二次函数的定义，正确理解定义及与坐标轴交点的个数与判别式的关系是解题的关键． 根据二次函数与轴有两个公共点，则方程判别式大于零求解即可． 【详解】解：∵二次函数与x轴有两个公共点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 12. 如图，，添加一个条件：____________（写出一个条件即可），可使与全等． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查对直角三角形全等的判定定理，根据直角三角形全等的判定定理HL即可推出答案．能熟练地根据定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：条件是（答案不唯一）， ∵， 在和中 ， ∴， 故答案为：答案不唯一）． 13. 如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为______ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，尺规作图，根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 根据勾股定理，得， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，根据图象写出当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围__________． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时一次函数的图象在反比例函数图象的上方，再结合，求解即可． 【详解】解：∵，， ∴根据图象可得当一次函数的值大于反比例函数的值时，的取值范围为： 或 ． 15. 如图，与是以点O为位似中心的位似图形，其位似比为，则与的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：根据题意得：， 和是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， 与的面积比为：， 故答案为：． 16. 实验是培养学生创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为，经测得：．实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点F，且（点C，D，N，F在同一条直线上），线段的长度为_________．（结果精确到0.1，参考数据：） 【答案】21.8 【解析】 【分析】本题考查三角函数的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，过点作于点，于点，利用三角函数可解得的值，即可求得的值；过点作于点，再证明为等腰三角形，并解得，然后由求解即可． 【详解】解：过点作于点，于点，如图： 由题可得： 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 过点作于点，则四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共有6个小题，每小题6分，共36分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 整理得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算、分母有理化等知识．先把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简，再把代入即可即可． 【详解】解： ． 当时， 原式． 19. 仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结，使得． （2）如图2，在正方形网格中，A，B是格点，请找到线段的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在中，E是边上一点，请在边上找一点F，连结，使得四边形是平行四边形（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，格点和线段即为所求（答案不唯一）． ． （2） 如图，点即为所求（作法不唯一）． ． （3） 如图，点和四边形即为所求（作法不唯一）． ． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和网格、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题关键． （1）根据勾股定理和网格可得，再结合网格画出格点即可得； （2）利用平行四边形的对角线互相平分作图即可得； （3）先连接，交于点，再连接，并延长交于点，然后连接，由此即可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数和中位数： 同学 甲 乙 丙 平均数 m 中位数 9 n 9 根据以上信息；回答下列问题： （1）表中m的值为_______，n的值为_______． （2）如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_______（填“甲”、“乙”或“丙”）． （3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的2名参加全市中学生歌唱比赛，用列表或树状图法求甲和乙同学同时被选中的概率是多少？ 【答案】（1），9 （2）丙 （3） 【解析】 【分析】（1）根据加权平均数的定义，中位数的定义计算解答即可． （2）按照规则计算三人的平均分，得分最高的就是最优秀的． （3）利用画树状图法计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 故答案为：； 由， 故中位数， 故答案为：9． 【小问2详解】 解：根据题意，得， 由，得， 由，得， 由最大， 故丙最优秀， 故答案为：丙． 【小问3详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选中甲、乙的可能性有2种， 所以甲和乙同学同时被选中的概率是． 答：甲和乙同学同时被选中的概率是． 【点睛】本题考查了平均数，中位数，画树状图法求概率，平均数的决策应用，熟练掌握公式是解题的关键． 21. 如图，，是上一点，平分且过的中点，交于点，，交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）菱形； 证明：∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴． ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明，即可得出结论． （2）由菱形的性质得出，证明四边形是平行四边形，得出，，由菱形的性质得出，得出，由勾股定理得，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 22. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”． （1）在正整数①46，②40，③68中，是“双奇差数”的是____________（填序号）． （2）根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数． ①试说明：“双奇差数”都能被8整除； ②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．请给出验证． 【答案】（1）② （2） ①证明： ． 因为为正整数， 所以“双奇差数”都能被整除． ②设任意两个连续的“双奇差数”为和，则差为， 所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，且恒为． 【解析】 【分析】（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解； （2）①利用平方差公式计算整理原式即可得证；②由①可知“双奇差数”可表示为 ，设任意两个连续的“双奇差数”为和，作差即可得解． 【小问1详解】 解：（1）② 【提示】①不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意； ②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意； ③不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意． 综上所述，在正整数①，②，③中，是“双奇差数”的是②． 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键． 四、解答题（本题共4道题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分） 23. 2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房的新纪录，商家推出A、B两款“哪吒”文旅纪念品．已知购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元． （1）求A、B两款“哪吒”纪念品每个进价分别为多少元？ （2）根据网上预约的情况，如果该商家计划用不超过12000元的资金购进A、B两款“哪吒”纪念品共400个，那么至少需要购进B款纪念品多少个？ （3）在销售中，该商家发现每个A款纪念品售价60元时，可售出200个，售价每增加1元，销售量将减少5个．设每个A款纪念品售价元，W表示该商家销售A款纪念品的利润（单位：元），求W关于a的函数表达式，并求出W的最大值． 【答案】（1）A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； （2）至少需要购进B款纪念品200个 （3），W的最大值为4500 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组，函数关系式和不等式是解题的关键． （1）设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元，根据购进A款200个，B款300个，需花费14000元；购进A款100个，B款200个，需花费8000元建立方程组求解即可； （2）设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个，根据购买资金不超过12000元建立不等式求解即可； （3）根据题意可得每个A款纪念品的利润为元，销售量为个，据此列出W关于a的二次函数关系式，再利用二次函数的性质求出W的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款“哪吒”纪念品每个进价为x元，B款“哪吒”纪念品每个进价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A款“哪吒”纪念品每个进价为40元，B款“哪吒”纪念品每个进价为20元； 【小问2详解】 解：设需要购进B款纪念品m个，则需要购进A款纪念品个， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为200， 答：至少需要购进B款纪念品200个； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当，即时，W最大，最大值为4500． 24. 如图，在中，，点在上，连接，以为直径作，过点作的切线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求和的长． 【答案】（1） 证明：如图，是的切线， ， ， ， ， ， ， ． （2）， 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得到，再根据等腰三角形的性质得到，利用等角的余角相等得到，然后根据等角对等边可得结论； （2）设与交于点F，连接，根据圆周角定理可推导出，，再根据三线合一得到．利用勾股定理求得；证明求得，设，则，，在中，利用勾股定理求得即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如（1）图，设与交于点F，连接， 是的直径， ，即， ， 又， ， 由（1）知， ． 在中，， ，， ， ，即， 解得， 设，则， ， 在中，， ，解得， ． 25. 如图，抛物线经过坐标轴上，，三点，直线过点和点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积等于3时点的坐标； （3）是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可； （2）作轴交于点，求出直线的解析式，将的面积转化为一元二次方程求解即可； （3）分分别为平行四边形的对角线，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过坐标轴上三点， ∴设抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴. 【小问2详解】 解：∵， ∴设直线的解析式为，把代入，得， 解得， ∴， 作轴交于点，设，则， ∴， ∴， 解得：，， ∴或． 【小问3详解】 解：存在， ∵， ∴对称轴为直线， 设，， ∵， 当以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ②当为对角线时，，解得， ∴， ∴； ③当为对角线时，，解得， ∴， ∴； 综上：或或． 26. 如图1，已知点E为正方形内的一点，连接．将线段绕点B顺时针方向旋转得到，连接，． （1）【问题发现】 如图1，线段与的数量关系是 ，线段与位置关系是 ； （2）【问题探究】 如图2，点E为正方形外的一点，将绕点B顺时针方向旋转得到，连接，，探究线段与的数量及位置关系，并说明理由； （3）【拓展延伸】 如图3，在中，，，点D为外一点，且，点O为的中点，连接，，，若，，求的长． 【答案】（1）； （2） ，，理由如下， 线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， 四边形为正方形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， 如图，设直线交于点，交于点， ，， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据证明，得出，，延长交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （2）根据证明，得出，，设直线交于点，交于点，然后根据三角形外角的性质可得出，即可得出结论； （3）过作交的延长线于点，连接，过作，根据三角形中位线定理得出，证明是等腰直角三角形，得出，，证明，得出，则可求，在中，根据勾股定理可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：线段绕点顺时针方向旋转得到， ，， ， 四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作交的延长线于点，连接，则， ， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 过作，则， 是中点， ， 是中点， 是的中位线， ， 设，则， ， ， ， 在中，， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $