2026年九年级数学中考复习 二次函数与特殊四边形综合压轴题 考前冲刺专题训练

2026年九年级数学中考复习《二次函数与特殊四边形综合压轴题》考前冲刺专题训练 1．如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，连接，点为线段上一个动点（不与点C，B重合），过点P作轴交抛物线于点Q． (1)求抛物线的表达式和对称轴； (2)设P的横坐标为t，请用含t的式子表示线段的长，并求出线段的最大值； (3)已知点M是抛物线对称轴上的一个点，点N是平面直角坐标系内一点，当线段取得最大值时，是否存在这样的点M，N，使得四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知抛物线与轴交于、两点点在左侧．    (1)，、分别交抛物线于、两点，的解析式为点在第一象限，的解析式为，直接写出的值点在第三象限； (2)在（1）的条件下，若，求证：一定与定直线平行； (3)若，、、都在抛物线上，且四边形为平行四边形，求证：必过一定点． 3．如图，抛物线与轴交于点．与直线交于点．点在轴上．点为线段上一点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，请在图中画出点，作交抛物线于点，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 4．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C． (1)求证：△AOC∽△COB； (2)过点C作CDx轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ＝AC． 5．如图，在平面直角坐标系中，点，以为直角边，在第二象限作等腰直角三角形，抛物线经过点． (1)求抛物线的解析式． (2)设抛物线的顶点为，连接，求的面积． (3)在抛物线上是否还存在两点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)若抛物线的顶点为P，求的面积； (3)点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图，已知抛物线经过坐标原点，与轴交于点，点是抛物线的顶点． (1)求抛物线的函数表达式和点的坐标； (2)若点在抛物线上，点在抛物线的对称轴上，且以为顶点的四边形是平行四边形，求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，． (1)求该抛物线的函数表达式： (2)点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点为顶点的四边形是平行四边形，直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是轴上一点，点是抛物线上一点，以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标； (3)点是抛物线上的一个动点，满足，求点的坐标． 10．如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过两点．    (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点，且点坐标为，点为抛物线对称轴上一点，求的最小值； (3)点为直线上的动点，点为抛物线上的动点，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 11．如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴，且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴负半轴交于点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是线段上一点（不与点A、O重合），过点D作x轴的垂线，交抛物线于点E，交于点F，当时，求点E的坐标； (3)在（2）的条件下，点M是抛物线对称轴l上一点，点N是坐标平面内一点，是否存在点M、N，使以A、E、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，在直角坐标系中，O是坐标原点，点A在y轴正半轴上，二次函数y=ax2+x+c的图象F交x轴于B、C两点，交y轴于M点，其中B（﹣3，0），M（0，﹣1）．已知AM=BC． (1)求二次函数的解析式； (2)证明：在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形，并请求出直线BD的解析式； (3)在（2）的条件下，设直线l过D且l⊥BD，分别交直线BA、BC于不同的P、Q两点，AC、BD相交于N，求的值； 14．已知抛物线的顶点为点． （1）求证：不论为何实数，该抛物线与轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线，求的值和点坐标； （3）如图，直线与（2）中的抛物线并于两点，并与它的对称轴交于点，直线交直线于点，交抛物线于点．求当为何值时，以为顶点的四边形为平行四边形．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．（1）解：设抛物线的表达式为， 因为抛物线与x轴交于点，， 所以，则抛物线的对称轴为直线． （2）解：由抛物线表达式得：C点坐标为， 设直线的表达式为，将点B的坐标代入上式得， 故直线的表达式为， 设点，则点， 则， ，故有最大值，当时，的最大值为． （3）解：存在，理由如下： 当时，点， 设点，而点； 四边形是菱形，则， 即，解得：， 即点M的坐标为或． 2．（1）解：， 令，得， 解得：，， ，， ， 设交轴于点，交轴于点，如图，    ， ， 又， ， ， 的解析式为点在第一象限，的解析式为点在第三象限， ，， 点在轴正半轴上，点在轴负半轴上，且， ； （2）证明：的解析式为，与抛物线的解析式联立得：，， 则， 同理可得：， ， 由（1）知：， ， ， ， ， ， 设的解析式为， 则， ， ， ， 即， ， ， 解得：， 又， ，即直线与直线平行， 一定与定直线平行； （3）证明：设解析式，与抛物线的解析式联立，得， ， 设，，， ， ，且四边形为平行四边形， ，， ，， ，， ， 点在抛物线上， ， ， 解得：， 直线过定点． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 3．(1) (2)四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】本题考查求二次函数表达式，平行四边形的判定； （1）将代入求出b即可； （2）作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，．由点在上，可知，，得，，当时，，得，然后证明，即可得解． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， 解得， ∴ （2）解：四边形是平行四边形，理由如下， 作交抛物线于点，垂足为H，连接，，，． ∵点在上， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形是 平行四边形． 4．(1)证明见解析 (2)经过秒或秒时，PQ＝AC 【分析】（1）可先根据抛物线的解析式求出A，B，C的坐标，然后看OA，OC，OB是否对应成比例即可； （2）根据抛物线的对称性可知：AC=BD，四边形ABDC为等腰梯形，那么本题可分两种情况进行求解： ①当四边形APQC是等腰梯形，即四边形PQDB是平行四边形时，AC=PQ，那么QD=PB，可据此来求t的值． ②当四边形ACQP是平行四边形时，AC=PQ，那么此时AP=CQ，可据此求出t的值． 【详解】（1）解：当y=0时，即=0， 得， 当x=0时，y=－2． ∴ A（1，0），B（4，0），C（0，－2）． ∴OA=1，OB=4，OC=2， ∴，， ∴ ． 又∵∠AOC=∠BOC ∴△AOC∽△COB． （2）设经过t秒后，PQ=AC．由题意得：AP=DQ= t ∵A（1，0）、B（4，0） ∴AB=3，     ∴BP=3－t， ∵CDx轴，点C（0，－2）   ∴点D的纵坐标为－2． ∵点D在抛物线y=上 ∴D（5，－2）    ∴CD=5    ∴CQ=5－t     ① 当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC． 即t=5－t      ∴t=． ② 连结BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，PQ=BD=AC 即t=3－t       ∴t=． 所以，经过秒或秒时，PQ=AC． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键． 5．(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）过点作轴于点，则．证明，则，则，得到点．把点代入，解得，即可求出答案； （2）求出抛物线的顶点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式为．设直线和轴的交点为，得到点的坐标为，则，即可求出答案； （3）延长至点，使，过点作轴于点，证明进一步得到点．过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形．过点作轴于点，证明，进一步得到点．验证两点都在抛物线上，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，则． ∴ ∵， ∴ ． 在和中， ∵， ， ， ， 点． 把点代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为． （2）由， 点的坐标为． 设直线的解析式为． 将点代入， 得， 解得， 直线的解析式为． 设直线和轴的交点为， 当时，，解得 ∴点的坐标为， ， ． （3）存在．如图，延长至点，使，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 点． 过点作为垂足，且使，连接，则四边形为正方形． 过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 点． 当时，， 当时，， ∴两点都在抛物线上， 在抛物线上存在两点，使四边形为正方形． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、二次函数的图象和性质、正方形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 6．(1) (2)9 (3)存在，或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，求出直线的解析式，过点作轴并延长交于E，根据进行求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论，利用平移思想进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴当时，， ∴， ∵抛物线的图象与x轴交于，两点， ∴，把，代入，得：， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设的解析式为：，把代入，得：， ∴， 过点作轴并延长交于E，则：， ∴， ∴； （3）解：存在； 由（2）知，直线的解析式为：，设， ∵，且以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形， ∴； ①当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； ②当四边形为平行四边形时， ∵， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴点先向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到点，即：， ∴， 解得：或， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 综上：或． 7．(1)抛物线的函数表达式为， (2)点坐标为或 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，是解题的关键． （1）由待定系数法求函数的解析式，并化为顶点式求解即可； （2）设，，根据平行四边形的性质，分两种情况讨论：当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，利用平行四边形的性质求解即可； 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， 抛物线的函数表达式为， ， ； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设，， 当为平行四边形的对角线时， ， 解得， ； 当为平行四边形的对角线时，， ， 解得或， ； 综上所述：点坐标为或 8．(1) (2)取得最大值， (3)或或 【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可； （2）设交于，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为：； （2）解：如图，设交于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，此时； （3）解：由题意得：平移后抛物线解析式为，， ∴， ∵抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程． 9．(1) (2)或 (3)或 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）利用二次函数的对称性可得点坐标，即得，再根据平行四边形的性质可得，，进而解答即可求解； （）先求出直线的解析式，再分和点关于对称轴对称两种情况，分别画出图形解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何应用，平行四边形的性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， 解得， ∴抛物线的解析式为 （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵， ∴， ∴， ∵以为边，为另外两个顶点的四边形为平行四边形， ∴，， ∴点的纵坐标相同， 设点的横坐标为，则， ∴， ∴或； （3）解：把代入，得， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 过点作交抛物线于点，则， 设直线的解析式为，把代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 由，解得或， ∴； 当点关于对称轴对称时，可知， ∴， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 10．(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查二次函数与线段之和最短、平行四边形相结合，难度较大．数形结合的思维是解题关键． （1）先通过直线与轴交于点，与轴交于点计算出点的坐标，再代入计算即可； （2）根据对称性知点关于抛物线对称轴的对称点是，连接，则的最小值就是，从而计算即可； （3）根据平行四边形的性质分为以为边和对角线两种情况分类讨论计算． 【详解】（1）解：（1）直线与轴交于点，与轴交于点， ，， 抛物线经过两点， ， ， 抛物线解析式为． （2）解：如图，    由（1）知，抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线与x轴的另一交点为， ∵点与点关于对称轴对称， ∴的最小值就是，即， ， ∴的最小值为． （3）解：    ①为平行四边形的边时，，， 点在直线上， 设，则， ， 当时， 解得，， ， 当时， 解得，， 或； ②当为对角线时，与互相平分，交点为， ，， ，， ， 设，， ， 或， 或； 综上，满足条件的点的坐标为或或． 11．(1)抛物线的表达式为 (2)点的坐标为或或 (3)存在，满足条件的点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （2）求出直线的表达式为，设，则，得到，结合，列方程求出，即可求解； （3）画出图形，分是四边形的边和是四边形的对角线，进行讨论，利用勾股定理、相似三角形的判定与性质、函数图像的交点、平移等知识点进行解答即可得出答案． 【详解】（1）解：抛物线过原点， ， 将代入抛物线中，得， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 是抛物线上一点，轴， ， ， ， ， 解得：，（舍去），，， 点的坐标为或或； （3）存在，满足条件的点的坐标有4个． ①如图，若是四边形的边， 抛物线的对称轴为直线， 当时，， 拋物线的对称轴与直线相交于点，， 联立， 解得：或， ， 过点，分别作直线的垂线交抛物线于点，， ，，， ，，． ， ． ． 点与点重合． 当，时，四边形是矩形． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 向右平移个单位，向上平移个单位得到， 此时直线的解析式为． 直线与平行且过点， 直线的解析式为． 点是直线与拋物线的交点， ， 解得：，（舍去）． ． 当，时，四边形是矩形， 向左平移个单位，向上平移个单位得到． 向左平移3个单位，向上平移3个单位得到． ②如图，若是四边形的对角线， 当时．过点作轴，垂足为，过点作，垂足为． 可得，． ． ． 设， ． 点不与点，重合， 和． ． ，． 如图，满足条件的点有两个．即，． 当，时，四边形是矩形． 向左平移个单位，向下平移个单位得到． 向左平移个单位，向下平移个单位得到． 当，时，四边形是矩形． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 向右平移个单位，向上平移个单位得到． 综上，满足条件的点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求函数的解析式、勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，点的平移等知识，根据题意画出符合条件的图形、进行分类讨论是解题的关键． 12．(1) (2) (3)存在，，， 【分析】（1）将点A和B点的坐标带入抛物线方程，采用待定系数法求解． （2）求出直线的解析式，设，再根据题意设置F点和E点，利用列式计算即可． （3）根据菱形的性质，对是边和对角线两种情况进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：将，代入， 可得：， 解得， 抛物线解析式是． （2）解：根据（1）可得， 设直线的方程为， 将，代入， 可得： ， 解得， 直线的解析式为， 设，则，． ，， ， ， 解得或（与题意不符，舍去）， 将代入抛物线方程， 可得：， ． 故E点坐标为． （3）存在点M、N，使四边形为菱形，理由如下： 当四边形是菱形时，是等腰三角形． 根据题意，，，对称轴为， 根据勾股定理可得， ①当是边， 当， 点A到直线的距离为， 点M不存在； 当，如下图所示， 过点E作于点H， ，， 在中，根据勾股定理得， 的值为或， ，， 当点M为，由， ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 同理可得的坐标为． ②当是对角线， 可得，， 设，则有， 解得：，，由, ，解得， ，解得， 故点的坐标为， 综上，N的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合运用，运用待定系数法求函数解析式，菱形的性质．根据菱形性质，采用分类讨论法，正确设参数、列方程是解题关键． 13．(1)y=x2+x-1 (2)证明见解析，y=x+ (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式； （2）首先求出D点的坐标，可得AD=BC且AD∥BC，所以四边形ABCD是平行四边形；再根据B、D点的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式； （3）推出AC∥直线l，从而根据平行线间的比例线段关系，求出BP、CQ的长度，计算出的值. 【详解】（1）∵二次函数y=ax2+x+c的图象经过点B（-3，0），M（0，-1）， ∴， 解得a=，c=-1． ∴二次函数的解析式为：y=x2+x-1． （2）∵二次函数的解析式为：y=x2+x-1， 令y=0，得0=x2+x-1， 解得x1=-3，x2=2， ∴C（2，0）， ∴BC=5； 令x=0，得y=-1， ∴M（0，-1），OM=1． 又AM=BC， ∴OA=AM-OM=4， ∴A（0，4）． 设AD∥x轴，交抛物线于点D，如图1所示， 则， 解得x1=5，x2=-6（位于第二象限，舍去） ∴D点坐标为（5，4）． ∴AD=BC=5， 又∵AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． 即在抛物线F上存在点D，使A、B、C、D四点连接而成的四边形恰好是平行四边形． 设直线BD解析式为：y=kx+b， ∵B（3，0），D（5，4）， ∴， 解得：k=，b=， ∴直线BD解析式为：y=x+． （3）在Rt△AOB中，， 又AD=BC=5， ∴是菱形． ①若直线l∥BD，如图1所示． ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴AC∥直线l， ∴， ∵BA=BC=5， ∴BP=BQ=10， ∴． 【点睛】本题考查了二次函数压轴题，正确解答本题需要熟练掌握函数的图象与性质（二次函数与一次函数）、平面图形的性质与应用（平行四边形、菱形、相似三角形、平行线等）．本题涉及考点较多，虽有一点的难度，但相信不少考生均可顺利解答．第（3）问中，需要注意平行四边形ABCD是菱形，这样后续的计算均可迎刃而解． 14．（1）详见解析；（2），点坐标为；（3）或或时，可使得为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）从的判别式出发，判别式总大于等于3，而证得； （2）根据抛物线的对称轴来求的值；然后利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式，由此可以写出点的坐标； （3）根据平行四边形的性质得到：． 需要分类讨论：①当四边形是平行四边形，，通过解该方程可以求得的值； ②当四边形是平行四边形，，通过解该方程可以求得的值． 【详解】解：（1）， ∵不论为何实数，总有， ， ∴无论为何实数，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根， ∴无论为何实数，抛物线与轴总有两个不同的交点． （2）抛物线的对称轴为直线， ，即， 此时，抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为； （3）为顶点的四边形是平行四边形， 四边形是平行四边形（直线在抛物线的上方）或四边形（直线在抛物线的下方），如图所示，    由已知， ， ， ， ①当四边形是平行四边形， ， 整理得，， 解得（不合题意，舍去），； ②当四边形是平行四边形， ， 整理得， 解得，， 综上，或或时，可使得为顶点的四边形是平行四边形． 【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式，抛物线的顶点公式和平行四边形的判定与性质．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $