精品解析：山西长治市上党区第一中学校2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试题

上党区一中2025-2026学年第二学期高二期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列两个变量中,具有相关关系的是 A. 正方体的体积棱长 B. 匀速行驶的汽车的行驶距离与时间 C. 人的身高与体重 D. 人的身高与视力 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，正方体体积与棱长是确定的函数关系，A不是； 对于B，匀速行驶的汽车的行驶距离与时间是确定的函数关系，B不是； 对于C，人的身高会影响体重，但不是唯一因素，它们具有相关关系，C是； 对于D，人的身高与视力无任何关系，不具有相关性，D不是. 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出对数型复合函数的定义域，化简集合B，再利用补集、交集的定义求解. 【详解】由有意义，得，解得 或， 则或，，而， 所以. 故选：A 3. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】先由赋值法得到关于a的方程求出a，接着求出二项式展开式中含 和的项即可求出展开式的常数项，进而得解. 【详解】令 得，解得， 二项式的展开式的通项公式为且， 所以当 时，；当时，， 所以二项式展开式的常数项为. 故选：B 4. 某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ） A. 120分，75 B. 120分，20 C. 115分，65 D. 115分，140 【答案】D 【解析】 【详解】因为某AI公司有男性30人，女性10人，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95， 所以该公司的平均成绩为分， 该公司成绩的方差为. 5. 如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形找到异面直线与 的平行线，确定异面直线的平面角，再根据角之间的关系解出该角的余弦值，可得出答案. 【详解】 连接交 于点 ，由正方体可知， 则 与所成的角为异面直线与 所成的角. 由图可知，则， ， 设正方体的棱长为 ， ，， 则， 则异面直线与 所成的角余弦值为. 6. 年福清市元宵晚会共有 个语言类节目， 个杂技魔术类节目， 个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为 ，事件第二次抽到语言类节目为 ，求，，再根据条件概率的公式求结论即可. 【详解】设事件第一次抽到杂技魔术类节目为 ，事件第二次抽到语言类节目为 ， 则， ， 则第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率 ， 故选：D. 7. 下列结论正确的是（ ） A. 如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1 B. 命题的“，”否定是“，” C. 一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则 D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 【答案】C 【解析】 【分析】A由相关系数的意义判断；B由全称命题的否定为特称命题判断；C应用百分位数的求法列方程求参数值判断；D由残差图中水平带状区域与预报精度关系判断. 【详解】A：如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数的绝对值就接近于1，故A错误； B：由全称命题的否定为特称命题，则“，”否定是“，”，故B错误； C：由题设，则，故C正确； D：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越低，故D错误. 8. 已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过同构，将方程，转换成，构造函数，通过其单调性，问题转换成方程在 上恰有两个不同实根，进而可求解. 【详解】函数定义域为 ，令， 两边乘 整理得： ，  设，求导得 ，故在R上单调递增， 由， 可得：， 故原函数恰有两个零点，等价于方程在 上恰有两个不同实根， 令，求导： ​ 当 时，， 单调递减； 当时， ， 单调递增； 因此 的最小值为， 且，； 时，， 故方程有两个不同实根，需满足，即​， 故 的取值范围是. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） A. B. 展开式中的常数项为45 C. 含的项的系数为 D. 展开式中的有理项有6项 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知二项式写出其展开式通项，结合系数之比求得 ，进而依次分析判断各项的正误. 【详解】由题设，二项式展开式通项为，， 由，且 ，则， 所以，可得， 所以 ，A对，则，， 令，则 ，故常数项为，B对， 令，则，故含的项的系数为，C错， 令，则，故共有6项，D对. 10. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据概率乘法公式及对立事件的概率对选项逐一分析即可. 【详解】对于：该学生的眼睛近视的概率为，故正确； 对于 ：该学生是高三年级且眼睛近视的概率为，故 错误； 对于 ：如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为，故 正确； 对于 ：如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为，故 错误. 故选：AC. 11. 已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A：令代入已知等式：，得，故 ，故A正确. 选项B：令 代入已知等式：， 已知，对任意 ：若，可得； 若，在原函数关系式中令， 得， 再令，得. 因为，所以，即， 此时也有. 等式仍成立. 因此是奇函数，不是偶函数，故B错误. 选项C：由为偶函数，得，令，即， 说明关于直线 对称. 推导得：， ， 因此，故C正确. 选项D：由，得，故周期. 计算一个周期内的函数值： ，，，， 即一个周期和为. 已知，因此，故D正确. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先求导数，再求出的值从而确定的解析式，即可求出的值. 【详解】对求导得，所以， 解得，所以，. 13. 如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】求动点M的轨迹方程，首先设M的坐标为（x，y），由已知点A、B的坐标代入求得直线AM、BM的斜率，由乘积为即可得到点M坐标的关系式，将其整理化简可得到M的轨迹方程，最后去除多余点 【详解】设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－5，0）． 所以直线AM的斜率kAM＝ （x≠－5）， 同理，直线BM的斜率kBM＝ （x≠5）． 由已知有·＝ （x≠±5）， 化简，得点M的轨迹方程为 故答案为： 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ， ，则满足的情况有______种. 【答案】 【解析】 【分析】设，则有，可知的最小值为 ，最大值为，根据这三个数的构成进行分类讨论即可得. 【详解】由，可得， 所以. 不妨设，则，还有一个数为， 显然，， 对于任意 取值，都有如下情况， 当时，三个数为 ， ，，对应 ， ， ，有种方法； 当 时，三个数为 ，，，对应 ， ， ，有种方法； 当时，三个数为 ，，，对应 ， ， ，有种方法； 当 时，三个数为 ，，，对应 ， ， ，有种方法. 因为，所以一共有种. 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系 x 10 20 30 40 50 y 1 3 4 5 7 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数． 参考公式：． 【答案】（1） （2）11次． 【解析】 【分析】（1）根据表中的数据先求出，，，再利用公式求出，从而可求得回归方程； （2）将代入回归方程可估算旅客的投诉次数． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 所以y关于x的线性回归方程是． 【小问2详解】 当时，， 所以旅客的投诉次数约为11次． 16. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）先作出零假设，根据列联表计算出 ，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. （2）先写出 的可能取值为 ，再根据题目算出对应的概率，列出概率分布列，求出数学期望即可. 【小问1详解】 零假设 : 这次成绩是否优秀与性别无关. 根据表中数据，计算得到 根据小概率值 的独立性检验，推断成立，所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关. 【小问2详解】 的可能取值为 . ; ; ; 的分布列为： 0 1 2 数学期望. 17. 某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. （1）从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； （2）从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先应用正态分布求解概率再应用全概率公式计算求解； （2）应用二项分布得出概率及分布列，最后应用二项分布数学期望公式计算求解. 【小问1详解】 由正态分布可知，甲生产线生产的这种零件是优等品的概率为 ， 乙生产线生产的这种零件是优等品的概率为 从这批混合零件中随机抽取一件是甲生产线生产的概率为，是乙生产线生产的概率为， 由全概率公式可得，从这批混合零件中随机抽取一件，该零件是优等品的概率是 【小问2详解】 由题意可知， 的可能取值为0，1，2，3，4，且 所以 的分布列为 0 1 2 3 4 P 所以 18. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 时，在单调递增，在单调递减； 时，在，单调递增，在单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，单调递增，在单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，应用分类讨论及导数的区间符号确定函数的单调性即可； （3）将问题化为的图象与直线有两个不同的交点，并应用导数研究函数性质，利用其图象分析参数范围. 【小问1详解】 当时，，则， 又，则， 切线方程为，即 ； 【小问2详解】 函数的定义域为， ∴， 若 ，则，，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 若 ，令 ，则或， 当，即 时，或， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 当，即 时， 在上恒成立，此时在上单调递增； 当，即时，或，， 所以在，上单调递增，在上单调递减； 综上： 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减； 【小问3详解】 ， 令，则问题转化为的图象与直线有两个不同的交点， 所以，则 ， ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且 时， 时，，大致图象如下， 要使的图象与直线有两个不同的交点，则，即， 所以a的取值范围是. 19. 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时 的值； （2）若，用 表示前3次甲投篮的次数，求 数学期望； （3）在（2）的条件下，设第 次是甲投篮的概率为，证明： 【答案】（1）处取得最大值，. （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先分析第三次乙投的两种情况，算出对应概率相加得.是二次函数，根据开口方向和对称轴求最大值. （2）分别确定 取时的对应情况算概率，用期望公式计算. （3）根据第 次甲投的条件得递推式，变形后结合求出表达式，分析 奇偶性时的单调性，得出取值范围. 【小问1详解】 已知第一次甲投，第三次乙投有两种情况： 情况A：甲第一次未投中，第二次投中了，换乙投，其概率为. 情况B：甲第一次投中，第二次乙投且未中，第三次乙接着投，其概率为. 所以. 对于二次函数，图象开口向下，对称轴为， 所以在处取得最大值，. 【小问2详解】 已知， 表示前 次甲投篮的次数，则 的可能取值为 ， ， ， . 当时，可知乙首次投，没投中，第二次再投，又没投中，第三次再投，则 ； 当时，有三种情况：第一种乙首次投，没投中，第二次再投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第二种情况乙首次投，投中了，第二次甲投，投中了，第三次乙投，则概率为， 第三种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，没投中，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，有三种情况：第一种乙首次投，投中了，第二次甲投，没投中，第三次甲再投，则概率为， 第二种情况甲首次投，投中了，第二次乙投，投中了，第三次甲投，则概率为， 第三种情况甲首次投，没投中，第二次甲再投，投中了，第三次乙投，则概率为， 所以， 当时，只有一种情况，甲首次投，没投中，第二次甲再投，没投中，第三次甲再投，则， 所以. 【小问3详解】 已知第 次是甲投篮的概率为，则第 次是乙投篮的概率为. 那么第次是甲投篮有两种情况： 第 次是甲投篮且没投进，概率为. 第 次是乙投篮且投进，概率为. 所以. 则，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即. 当 为奇数时，，，单调递增，，且. 当 为偶数时，，，单调递减,，且. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上党区一中2025-2026学年第二学期高二期中考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内. 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米的黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列两个变量中,具有相关关系的是 A. 正方体的体积棱长 B. 匀速行驶的汽车的行驶距离与时间 C. 人的身高与体重 D. 人的身高与视力 2. ，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知的展开式中各项系数之和为64，则该展开式的常数项为（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 4. 某AI公司有男性30人，女性10人，在一次知识竞技团建中，男性平均成绩为110分，方差为55，女性平均成绩为130分，方差为95，则在这次团建中，该公司的平均成绩和方差分别为（ ） A. 120分，75 B. 120分，20 C. 115分，65 D. 115分，140 5. 如图，正方体中，的中点为N，则异面直线与CN所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 6. 年福清市元宵晚会共有 个语言类节目， 个杂技魔术类节目， 个歌舞类节目，假设从中依次不放回地随机抽取两个节目参加福州市元宵晚会，求第一次抽到杂技魔术类节目的条件下，第二次抽到语言类节目的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 下列结论正确的是（ ） A. 如果成对数据的线性相关性越强，则样本相关系数就接近于1 B. 命题的“，”否定是“，” C. 一组数据从小到大排列为4、6、7、8、10、m、16、18、19、20，若该组数据的60%分位数是14，则 D. 残差图中残差点所在的水平带状区域越窄，则回归方程的预报精确度越低 8. 已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知的展开式中第3项与第5项的系数之比为，则下列结论成立的是（ ） A. B. 展开式中的常数项为45 C. 含的项的系数为 D. 展开式中的有理项有6项 10. 某校高一、高二、高三3个年级的学生人数分别占该校学生总人数的40%，30%，30%，其中高一、高二、高三3个年级眼睛近视的学生人数分别占各自年级人数的60%，70%，80%，现从该校学生中随机调查一名学生，则下列结论正确的有（ ） A. 该学生的眼睛近视的概率为0.69 B. 该学生是高三年级且眼睛近视的概率为0.8 C. 如果该学生是高二年级，那么该学生的眼睛不近视的概率为0.3 D. 如果该学生的眼睛近视，那么该学生不是高一年级的概率为 11. 已知函数的定义域均为，，，为偶函数，则（ ） A. B. 为偶函数 C. D. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则__________. 13. 如图，设A，B的坐标分别为(－5，0)，(5，0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为－则点M的轨迹方程为________． 14. 一个盒子里装有六张卡片，分别标记有数字1，2，3，4，5，6，这六张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为 ， ， ，则满足的情况有______种. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 随着新冠肺炎疫情的阴霾逐渐消散，国内旅游行业迎来了发展机遇．飞机出行是国民旅游的重要交通方式，但由于天气，航空管制等原因，会出现飞机晚点的情况．某机场工作人员调查飞机晚点时间x（单位：）与旅客投诉次数y的相关数据如下表，调查发现，x与y有着极强的线性相关关系 x 10 20 30 40 50 y 1 3 4 5 7 （1）求y关于x的线性回归方程； （2）若某航班飞机晚点，试估算旅客的投诉次数． 参考公式：． 16. 人工智能对人们的生活有较大的影响，为了让老师更加重视人工智能，某校随机抽出30名男教师和20名女教师参加学校组织的“人工智能”相关知识问卷调查（满分100分），若分数为80分及以上的为优秀，其他为非优秀，统计并得到如下列联表： 男教师 女教师 总计 优秀 20 15 35 非优秀 10 5 15 总计 30 20 50 （1）根据小概率值 的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀与性别有关？ （2）从样本中成绩非优秀的15名老师中，随机抽取2人进行调研，记抽出的2人中女老师的人数为 ，求 的分布列和数学期望. 附：，其中 . 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 17. 某厂甲、乙两条生产线同时生产某种零件，该厂规定这种零件的内径不小于100mm且不大于120mm为优等品.已知甲生产线生产的这种零件的内径X服从正态分布，乙生产线生产的这种零件的内径Y服从正态分布，且满足，.现将甲、乙两条生产线生产的这种零件的数量按3∶2的比例混合在一起. （1）从这批混合零件中随机抽取一件，求该零件是优等品的概率； （2）从这批混合零件中随机抽取4件，记这4个零件中优等品的个数为 ，求 的分布列和数学期望. 18. 已知函数，其中. （1）当时，求在处的切线； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数有两个不同的零点、，求实数a的取值范围. 19. 为丰富学生课余生活，学校组织投篮比赛，设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为和.每次由一人投篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮.甲、乙两人首次投篮的可能性相同，且两人各次投篮是否投中相互独立. （1）若第一次是甲投篮，设第三次为乙投篮的概率为，求的最大值以及此时 的值； （2）若，用 表示前3次甲投篮的次数，求 数学期望； （3）在（2）的条件下，设第 次是甲投篮的概率为，证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $